5.4.1正弦函数余弦函数的图象课件-高一上学期数学人教A版 (3【04】)

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正弦函数、余弦函数的图象一旧知回顾口诀：奇变偶不变，符号看象限诱导公式三正弦函数的图象

取哪些点比较合适？

如何利用单位圆确定sinx0？三正弦函数的图象

三正弦函数的图象

我们已经学习了绘制正弦函数的上的某一个点，你能制定一个方案画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象吗？

在[0,2π]内任取一些横坐标的值，代入sinx,绘制各点，再用光滑的曲线连接.为方便计算，取特殊三角值三正弦函数的图象

三正弦函数的图象O1Oyx-11

AB连线：用光滑曲线将这些正弦线的终点连结起来

三正弦函数的图象三正弦函数的图象

根据y=sinx,x∈[0,2π]的图象，你能想象出y=sinx,x∈R的图象吗？

三正弦函数的图象

正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecueve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．三正弦函数的图象

正弦函数的图象叫做正弦曲线(sinecueve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．三正弦函数的图象

三正弦函数的图象问题4：正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

四余弦函数的图象

四余弦函数的图象

四余弦函数的图象

0π2π练一练练一练练一练练一练练一练练一练

练一练2.用五点法分别画下列函数在[-π,π]上的图象(1)y=-sinx(2)=2-cosx复习引入（1）具体到三角函数的每一点上，横坐标每隔2

个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律，实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sin(x+2k)=sinx(k∈Z)中得到反映，即自变量x的值增加2

整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.概念引入（1）请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：什么是周期函数？什么叫做周期？问题3一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期（minimalpositiveperiod）.概念理解（1）1、注意定义中的“对每一个x”例如:f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)x=0,x=1,x=2时都有f(x+1)=f(x),但1不是f(x)的周期，f(x)

不是周期函数，

因为x=3时f(3)=0，f(3+1)＝f(4)＝24≠f(3)3、周期函数，不一定都有最小正周期。如：f(x)＝a(a是常数)，因为f(x+T)＝a＝f(x)(T≠0)

所以它的周期是任意非零实数。2、因f(x+T)=f(x),x∈D则x+T∈D,所以D一定是无限集。概念理解（1）4、T是f(x)的周期，则-T、kT(k∈Z且k≠0)都是它的周期。①T是f(x)的周期则f(x+T)＝f(x)以x-T代x有f((x-T)+T)＝f(x-T)＝f(x)

则-T也是f(x)的周期②k＞0时

f(x+kT

)=f(x+(k-1)T+T)=f(x+(k-1)T)=f(x+(k-2)T+T)=f(x+(k-2))=……＝f(x)

k＜0时，再由①知kT(k∈Z且k≠0)都是它的周期(以x+(-k+1)T代x，也能证明此结论，你会证吗？)概念理解（1）根据周期定义，我们有：正弦函数是周期函数，2k

（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2

.类似地，余弦函数也是周期函数，2k

（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2.概念理解（1）因为sin(x+2k)=sinx(k∈Z)所以sinx是周期函数，周期是2k(k∈Z且k≠0)当k＞0时2≤2k

，所以2是它的最小正周期余弦雷同今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.同学们会证明上述结论吗？问题3巩固与练习分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x+T)=f(x)而求出相应的周期.

由周期函数的定义可知，原函数的周期为2

.巩固与练习分析：对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x，x∈R；(2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期为2

，即cos(z+2)=cosz，于是cos(2x+2

)=cos2x，所以cos2(x+

)=cos2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为

.巩固与练习

即2sin(z＋2π)=2sinz，

由周期函数的定义知，原函数的周期是4π.巩固与练习回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？(1)中3sin(x+2)=3sinx.周期是2π(2)中cos2(x+

)=cos2x，x∈R.周期是π

三角函数的周期仅仅与解析式中自变量x的系数有关。现在你能看出三角函数的周期与解析式中哪些量有关了吗？巩固与练习概念引入（2）不难看出，y=sinx的图像关于原点对称，所以它是奇函数.其实由诱导公式有sin(-x)＝-sinx(x∈R)，也能说明它是奇函数.同学们认真观察三角函数的图像你还能发现什么性质？问题4概念引入（2）不难看出，y=cosx的图像关于y轴对称，所以它是偶函数.其实由诱导公式有cos(-x)＝cosx(x∈R)，也能说明它是偶函数.同学们认真观察三角函数的图像你还能发现什么性质？问题4概念理解（2）1.当函数具有周期性时，可以首先研究它在一个周期内的图像，只需考察这一个周期内的函数的性质(值域、单调性、最值等），由各周期内性质相同，即可得出整个定义域内的性质。知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？2.当函数值具有奇偶性时，可以首先研究它