无理指数幂及其运算 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新教材

新高考第四章指数函数与对数函数4.1.2

无理指数幂及其运算人教2019A版必修第一册1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。3.体会指数幂的运算法则有有理数的范围推广到实数的范围。

新教材新

高

考学习目标分

数

指数

幂正分数指数幂规定：

1)负分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.1.

分数指数幂的意义温故知新新教材新高

考新教材2.有理数指幂的运算性质(1)rS

u

—

U

+s

r,s∈Q).(2)(a¹)=a(r,s∈Q).(3)(ab)r=a

>0,r∈Q).01)u小试牛刀1.

思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.(

)(2)5⁵=

√53.(

)(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如[答案](1)×(2)×

(3)×新教材B

[4²=54²=516,

故选B.]B.16A.25新教材干

(口于)乙新

教

材

高

考3.

已

知a>0,

则

等于(

A.√a³)B.D.新

教

材

4.(m2)⁴+(-1)0=

m²+1[(m²)⁴+(-1)⁰=m²+1.]无理数指数幂无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aa(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a(a>0,α

是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指

数幂观察下表：

5√2

的是否表示一个确定的实数?新教材新高考探究新知√

2的过剩近似值5

√

²的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752新教材新高5

√2的近似值√

2的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562新教材新高由上可以看出：5√²

可以由√2的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。2.指数幂的运算法则是：(1)ar·a⁵=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(a')⁵=as(a>0,r,s∈R);(3)(ab)'=arb'(a>0,b>0,r∈R).指数幂的运算法则新教材新

高

考典例解析例1

将下列根式化成数指数幂的形式：题型

根式与分数指数幂的互化新

教

材新

高

考9

案

(

1

)

原新

教

材

新

高考3)1

4

4百2

-二3[规律方法]

根式与分数指数幂互化的规律(

1

)

根

指

数化为刀米奴的分母，被开方数(式)的指数

化为

分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常

把根式转化成分数指数幂的形式然后利用有理数指数幂的运算性质解题

.归纳总结新教材跟踪训练1.

将下列根式与分数指数幂进行互化.新

教

材答七题型2、利用

数指数幂的运算性质化简求解例2、化简求值：典例解析(2)(a²b³)?(

4a(3)

2号

4

0h新

教

材

新

高1-2aA3一子马

—琳

6h6

阜糁

案(1)原式新

教

材

(3)原式2[规律方法]指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.归纳总结新高新教材跟踪训练2.(1)计算：(2)化简(2)原新教材新高考[答案](1)原乙.

口

的值，如何求

的值?反之呢?提示：设

,则两边平

;反之右设L=m²-2,∴m=√n+2.即典例解析题型3指数幂运算中的条件求值存在怎样的等量关系?新教材新高考提示：则

n1(1)a+a-¹;(2)

2+a-2思路探究：边平方，得a+a-¹的值，新

教

材

新

高考亚

曰

I

—1

1

0_1得a²+a-²+2=196,a+a-¹两边平方，得a²+a-²

的值。(2)将a+a-¹=14

两边下列各式的值：例3、已知故

a[

解

]

(

1

)

将

194.LL

I一

1

1

A人内-2新

教

材新不变的条件下，求a—a-1的值.下

书

。

2_

—2

k

估,

水

a*—a阻

3×14=±112

√3.[解]

2、令a—a-¹则两边平方得a²+a-²=t²十∴t²+2=194,即t²=92

0

3,

即

a—a

3母题探究：1.在本例身2.

在本例条件不变的[解]

1、由上题可知[规律方法]

解决条件求值的思路1.在利用条件等式求值时,往往先将所求式子进行有的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.2.在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方的应用.新教材

新

同

考归纳总结

[答案]A[a²a³=a²+3=(—a²)³=—a⁶≠(一a³)²=a⁶

;

1)⁰=1,若成立，需要满足a≠1,

故选A.]1.下列运算结果中，正确的是(

A.a²a³=a⁵B.(—a²)³=(—a³)²C.(√a-1)⁰=1

D.(—a

²)³=a⁶当堂达标新

教

材

新高考2.把根式aa

化成分数指数幂是(

)A.

C.

D.

A[答案]D[由题意可知a≥0,

故排除A、B、C

选项，选D.]新教材4.

若1

0m=2,10n=3,则103m-n=

[∵10m=2,∴10³m=2³=8,

又10n=3,3.

1[答案]的值是

L人合新

教

材

新

火

即m²=5\m=?√5,综上可知

新教材新高考的值

.5.若a>0

且,即t²=9案则