高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (13)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（13）

一、单项选择题（本大题共6小题，共30.0分）

1.在棱长为2的正方体力BCO-41%的£>1中，点E,尸分别是楼8C、CQ的中点，则下列结论错

误的是（）

A.AXDLAF

B.三棱锥4-BCF外接球的表面积为9兀

C.点C到平面AEF的距离为|

D.平面AEF截正方体所得的截面面积为［

2.如图，点E是正方体力BCD-&B1C1D1的棱。必的中点，点凡M分别在线段AC,BZ）i（不包含

端点）上运动，贝！1（）

A.在点F的运动过程中，存在EF〃BG

B.在点M的运动过程中，不存在B1M14E

C.四面体EMAC的体积为定值

D.四面体凡41GB的体积不为定值

3.对于直线加，〃和平面a,下列命题中正确的是（）

A.如果mua,几Ua,"〃是异面直线，那么n〃a

B.如果mua,nUa,m，〃是异面直线，那么〃与a相交

C.如果mua,n//a,m,〃共面，那么m〃九

D.如果m//a,n//a,m,〃共面，那么m〃九

4.如图，在棱长为1的正方体/BCD—4B1GD1中，若点M,N分别为线段

BDLCB］上的动点，点尸为底面A3CQ上的动点，则MN+MP的最小

值为（）

B.在

2

C.四

3

D.1

5.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示.已知半球的半径为通，则当

此几何体体积最小时，它的表面积等于

A.247rB.(18+3次)兀C.217rD.(18+4A/2)TT

6.已知正方体4BCD的棱长为4,E为BBi的中点，尸为线段。。1上靠近劣的四等分点,

平面&EF交CQ于点G,则四边形为EGF的面积为（）

A.2V65B.10V3C.4V21D.2y/21

二、多项选择题（本大题共10小题，共40.0分）

7.如图，以等腰直角△ABC的斜边上的高4力为折痕，把4ABD和4ACD折成相互垂直的两个平面,

下列结论正确的是（）

A

B.zBAC=60°

C.若AD=1,则三棱锥内切球的半径为上巡

（i

D.二面角B-AC-0的平面角的正切值为立

2

8.如图,矩形ABCD中,M为8c的中点，将△力BM沿直线AM翻折成△,连结&D,N为的

中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是

A.存在某个位置，使得CNJ.4B1

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BM,则4M1BrD

D.若AB=BM=1,当三棱锥Bi-AMD的体积最大时，三棱锥为一AMD的外接球的表面积是

47r

9.如图直角梯形ABCD,AB//CD,AB1BC,BC=CD=^AB=2,E

为4B中点，以OE为折痕把4ADE折起，使点A到达点尸的位置，

且尸。=2百，则（）J--

A.平面PDE_L平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P-DC-B的大小为3

4

D.PC与平面PED所成角的正切值为企

10.如图直角梯形ABCD,4B〃CD,4B_LBC,BC=CO=148=2.E为48中点，以。E为折痕把

△2DE折起，使点4到达点P的位置，且PC=2g.则（）

P

A.平面PDE，平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P—DC-B的大小为彳

D.PC与平面PEZ）所成角的正切值为心

11.如下图，在三棱锥S-ABC中，S41平面ABC,SA=AB=2,以AB为直径

的圆O经过点C,Z40C=60。，则下列结论正确的是

A.平面S4C1平面SBC

B.三棱锥0-SBC的体积为更

2

C.二面角S-OC—B的正切值为一延

3

D.三棱锥S-ABC外接球的表面积为8兀

12.如图，在四棱锥P—4BC0中，PCIJSffiABCD,四边形488是直角梯形，AB//CD.AB1

AD,AB=2AD=2CD=2,尸是AB的中点，E是尸8上的一点，则下列说法正确的是（）

A.若PB=2PE,则£7:7/平面PAC

B.若PB=2PE,则四棱锥P-ABC。的体积是三棱锥E-4cB体积的6倍

C.三棱锥P-HOC中有且只有三个面是直角三角形

D.平面BCP平面ACE

13.如图，矩形ABCD中，历为BC的中点，将△4BM沿直线AM翻折成△4&M,连

结N为当。的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（）

A.存在某个位置，使得CN1ABi

B.翻折过程中，CN的长是定值

C,若AB=BM,则4M1B]D

D.若AB=BM=1,当三棱锥&-AM。的体积最大时，三棱锥&一AMD的外接球的表面积是

47r

14.如图，已知矩形ABCD,"为BC的中点，将AABM沿直线AM翻

折成AABiM,连接Bi。，N为8。的中点，则在翻折过程中，下

列说法中正确的是（）

A.存在某个位置，使得CN1幽

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BM,贝UM1B]D

D.若4B=BM=1,则当三棱锥当一AMD的体积最大时，三棱锥当一AMD的外接球的表面积

是47r

15.如图，已知正方体ABCD-A/iGDi的棱长为1,点E为BBi上一点，设BE=%,x€（0,1）.给出

以下四个结论，其中正确的结论是（）

A.平面AGE，平面4BD

B.存在xe(0,1),使得AE1EC1

C.当彳=泄，AAEG的周长取得最小值

D.4也1AE

16.《九章算术・商功》记载：斜解立方，得两堑堵.如图所示

ADF—BCE为一堑堵，而斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖席.阳

马居二，鳖腌居一，即F-ABCD为阳马，E-BCF为鳖腌.其中

四边形ABCZ）和ABEF均为矩形，且平面ABCD1平面ABEF,

AB=4,AD=AF=2.则对有关几何体的描述，正确的是（）

A.阳马中四个侧面都是直角三角形

B.阳马中最长的侧棱长与鳖席最长的棱长相等且为2连

C.堑堵外接球的体积为2遍兀

D.阳马与鳖腌重合面的面积为4

三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

17.如图，在正方体4BC0-418也1。1中，E,F分别为棱8%，小名的中点，则下列结论正确的是

.（填序号）

①异面直线EF与BO1所成角的余弦值为手;

②BQ1平面ABQ

③直线4E与平面所成角的正弦值为

④二面角当一AC—。的余弦值为

18.已知正四面体A-BCD的棱长为2,点E是AZ）的中点，点下在线段BC上，则下面四个命题中:

GBC,EF//AC

②VF6BC,EF<>/3

（3）BFeBC,EF与AO不垂直

④VF6BC,直线E尸与平面BCD夹角正弦的最大值为4

所有不正确的命题序号为.

19.将正方形ABCZ）沿对角线8。折成直二面角力-BD-C.

①与平面BC。所成角的大小为60。；②△4CD是等边三角形；

③AB与CD所成的角为60。；@AC1BD-,⑤二面角B-AC-。为120。.

则上面结论正确的为

20.己知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球。的表面上.若球。的表面积为28兀，则该三棱

柱的侧面积为.

21.已知正方体力BCD-48传1。1的棱长为1,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点，过E,F,

G三点作该正方体的截面,点M为底面ABCD内一动点.若MD】与该截面平行，则直线"5与CG

所成角的余弦值的最大值为.

四、解答题（本大题共9小题，共108.0分）

22.如图，在四面体A8CD中，E,尸分别是线段AD,BD的中点，EC=奁，AB=BD=2,

乙ABD=乙BCD=90",直线EC与平面A8C所成的角等于30°.

D

B

C

(1)证明：平面EFCJ■平面BCD；

(2)求二面角A-CE-B的余弦值.

23.如图，三棱柱ABC-4B'C'中，BC=BB'=B'C=4,AB=夕，ACLAA',二面角B是

直二面角，E,F分别是A'B',CC'的中点.

(1)求证：EF〃平面4B'C；

(2)求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值.

24.如图,三棱柱ABC-AB'C'中，BC=BB'=B'C=4,AB=y/7,AC1AA',二面角B-AB'-C是直

二面角，E,F分别是ABICC'的中点.

(1)求证：EF〃平面4B'C；

(2)求EF与平面ABB'A所成角的正弦值.

25.如图，四棱锥S—45CD中，LAB,SA1DC,SBLAC,CD=2ABy/2AD=2-

(1)证明：SD〃平面AEG

(2)求点A到平面BEC的距离.

26.如图所示，直三棱柱ABC-A/G，4a4B=NCBA=45。.点M,N分别是&Bi，BC的中点.

A

(1)求证：BM〃平面4C1N；

(2)若CG=BC,探究：在线段CG上是否存在一点P,使得平面&MP工平面4GN,若存在,

请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.

27.在三棱锥ABC-A/iCi中，底面△ABC是等腰三角形，S.£ABC=90°,侧面4BB14是菱形,

Z.BAAi=60°,平面488遇1_1_平面BAC,点、M是的中点.

(I)求证：BBi1CM;

(n)求直线8例与平面CaM所成角的正弦值.

28.如图，在等腰梯形ABC。中，4。=2,BC=4,^ABC=60°,E,F分别为BC,AB边的中点.现

将4CDE沿着CE折叠到△PDE的位置，使得平面PDE，平面ABED.

P

(1)证明：平面PEF1平面PEO；

(2)求点B到平面PE尸的距离.

29.已知四棱锥P—ABCD,底面ABC。为菱形，PD=PB,，为PC上的点，过AH的平面分别交

PB,PZ）于点M,N,且BD〃平面AM/W.

(1)证明：MN1PC；

(2)当”为PC的中点，PA=PC=V5AB，PA与平面ABC。所成的角为60。,求与平面

所成角的正弦值.

30.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱P4平面A8CQ,底面ABCQ是直角梯形,BC〃4D,4B14D,

PA=AB=2,AD=3BC=3,E在棱A力上，且AE=1,若平面CEF与棱PD相交于点凡

且平面CEF〃平面PAB.

D

⑴求除的值；

(2)求点F到平面PBC的距离.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查了简单多面体及其结构和球的表面积和线面垂直以及棱锥体积等知识，属于较难题.

取DDi中点G,连接GF,G4可证4D1平面AFG,则但正方形4DD14中，G是DD1中

点，不可能有4014G,A错；

求出三棱锥4-BCF外接球的半径可判断，B正确;利用等体枳法求C到平面AEF的距离可判断C

正确；由平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形4D/E,求出面积即可判断。正确.

解：如图，取DDi中点G,连接GF,G4由于尸是CG中点，

GF//DC,

而。C_L平面40。出，

•••GF1平面4叫&,

乂&Du平面ADD141，

**•GF-LA^D,

若41。1力凡由于AFCGF=F,

ArD_L平面AFG,

乂4Gu平面AFG,

A^DJ.AGt

但正方形40。送1中，G是。名中点，

不可能有LAG,A错；

AB

设4c与8。交于点M,

则M是△4BC的外心，取AF中点N,连接NM,

则NM〃CF,

NM1平面ABCD,

•••N是三棱锥A-BCF外接球的球心，

NA=川=；卜+（2&）2=|,

球表面积为S=4兀x0=9兀，8正确；

C.S^AEC=|xECxAB=1x2xl=l,

VF-AEC=既4EC•FC=[X1X1=/

在△人£1尸中，AE=V22+l2=x/5，EF=近,AF=3,

AE?+EF2-4F2

则cosZ,1£F=

2AE-EF

5+2-9Vio.3V10

，smZ.AEF=，

2X%X鱼io----------io

SZUEF=-AE-EFsinZAEF=1义娓x®x.

22in2

设C到平面AEF的距离为近

则/TEC=匕;-AEF得,X2=3,九=3'C正确;

DiG

D连接FDi，D14易证得力Di〃BG〃EF,

平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形4D/E,

ADy=2y/2<EF-V2,AE-DrF-V5,

梯形的高为〃=J（㈣2_（穿=当,

即S=gx（&+2鱼）x¥=£。正确.

故选：A.

2.答案：C

解析：

【试题解析】

本题考查正方体的结构特征，线面平行的判定，棱锥的体积问题，涉及立体几何中的存在性和定值

问题，属于中档题.

对于4,先假若存在，可以得出EFu平面4。。送1，这与尸金面矛盾；对于8,过M作力出的

平行线，交AD】于N,可以证明只要4N14E,即可有ZE1平面为B1MN,从而判定8错误；对于

C,D,利用线面平行的判定和性质可得到M到平面ACE的距离为定值，F到平面41GB的距离是定

值，从而判定C正确，。错误.

解：若EF〃BC1，而EF0平面BCC1B1，

Bqu平面BCCiB],贝IJEF〃平面BCCjBi，

又•.•平面力。。送1〃平面BCQBi，E是棱CD1的中点，u平面4CD14,

EFu平面4叫41，这与F任面4。。出矛盾，

故A错误；

过M作必当的平行线，交于N,

因为4出1•平面4叫&,AEu平面4。取1，

・•・A1B11AE,

••・只要4N1AE（这是显然可能的），

而&NClA/1=4,&N、4出u平面&B1MN,

即可有AE，平面A/iMN,BiMu平面为B1MN,

从而BiMlAE,故8错误；

连接AC,8。交于0,

•••E,0分别为和8。的中点，

OE//BDX,OEu平面ACE,映C平面ACE,

映〃平面ACE,

M到平面ACE的距离为定值，

••・四面体EMAC的体积为定值，

故C正确；

由于力C〃&G，乂4GU平面4C1B,4CU平面4GB,

•••AC〃平面&C1B,

•••尸到平面&C/的距离是定值，

.♦.四面体凡41GB的体积为定值，

故。错误.

故选C.

3.答案：C

解析：

此题是一道立体几何题，主要考查直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，

属于基础题.

根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对A、B、C、

。四个选项进行一一判断，从而进行求解.

解：A、「mua,nCa,〃八"是异面直线，"和平面a可平行可相交，故A错误；

B、,：mua,nCa,机、〃是异面直线，可知〃与a也可以平行，故B错误；

C、n//a,相、"共面，=»m//n,故C正确；

D.n〃a,相、”共面，可知〃，与"也可以相交，故。错误；

故选C

4.答案：A

解析：

【试题解析】

本题考查空间距离和的最值问题，属中高档题，先固定M,使川W,最小，则易知产应是何在

8。上的射影,N应是M在BiC上的射影;利用线面垂直判定定理易知BGJ•平面N应为BC1，

的交点0；将和展开放到一个平面上，可得当P、M、0共线，且垂直于3。，

时PM+MN最小时，利用正弦的二倍角公式求得sin/DBCi的值，进而计算可得.

解：首先当固定用时，P点应为M在平面A8CD中的射影，在BO上，且MP1BD于P,

为使最小，MN应当垂直与B]C,垂足为M

连接8G，设BGCB1C=0,则BGJLB1C,

由DiG_L平面BCqCi得AG1BC

又•••。道1CBQ=G，:BiC_L平面BC15，

由MNIBiC,M€平面3。1。1，；.MNu平面BCiA，

:.N成为BQ,&C的交点O,

将48。久和4BGDi展开放到一个平面上，如图所示:

转化为求折线PM。的最小值，显然最小时尸、M,。共线，且垂直于5,

如图所示Mo，Po,No，为使PM+MN最小时，M,P,N的位置.

显然△BDD1m4BgD],：.乙DBD]=/.C^BDI,

：.sin乙DBCi=sin2乙DBDi=2sin^DBD1cos^DBD1=2x，x^=竽，

PoNo=yxsin/DBCi=曰x"=|,

故选：A.

5.答案：D

解析：

本题主要考查了空间几何体的三视图及其表面积的计算，球体的体积和面积公式，圆柱的体积和面

积公式，函数模型的应用，利用导数来求函数闭区间上的最值，考查了综合分析能力和计算能力，

属于中档题.

如图，设几何体的体积为匕挖去的圆柱的体积为匕，圆柱的高4B=x(x>0),利用球体的体积公

式和圆柱的体积公式，表示出几何体的体积匕求V的导数，利用导数来求函数V在闭区间上的最

值，进而得出几何体体积最小时的x的值，进而得出圆柱的底面半径，再利用球体的表面积公式，

圆的面积公式，圆柱的表面积公式，求出该几何体的表面积.

解：设几何体的体积为匕挖去的圆柱的体积为匕，

・•・半球的半径为6，

14

-X-

所以半球的体积为:237r

则几何体的体积VIvbTT-VI，

如下图，A为半球的圆心，C为圆柱上底面圆上的一点，过A点作圆柱底面的垂线，垂足为B,

A

设圆柱的高AB=x(x>0)

在中，由勾股定理得：BC2=AC2-AB2=(V6)2-x2=6-x2.

则V=4V/6TT—V\=4v^7r—7r-BC2-AB=4V/6TT—?r(6—x2)•x—JTX3—Girx+Ay/Gir(x>0),

则「—6?r,令V7=0,解得％=或或%=—企(舍去)，

当％=鱼，此几何体体积V最小，

此时圆柱底面半径为：BC=J(V6)2-(V2)2=2，

则几何体的表面积为：

-x4?r-卜缶)+Jrx卜石)—7T-BC2+IT-BC2+27r-BC-AB

=；x4?r•(4)+Jrx(+2?r■2xv^2

=127T+6”+4\/27T

=(18+40.

故选。.

6.答案：C

解析：

本题主要考查点、直线、平面的位置关系等知识，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻

辑推理，属于较难题.

首先确定点G的位置，然后判断出四边形4EG尸的形状，最后求解.

解：如图，在上取一点T,使得87=1.因为F为线段上靠近劣的四等分点，所以D]F=1,

连接CT,则&F=CT="VI=g,

22

因为E为BBi的中点，所以B7=rE=l,ArE=<4+2=2V5.

连接FC,由平面平行的性质定理可知四边形&FC7为平行四边形,

故CT〃A/,同理在CG上取一点G',使得CG'=1,

连接EG',FG',则有CT〃G'E〃4F,EG'=CT=ArF=/17.

故EG'与4F共面，即G'与G重合，且四边形&EGF为平行四边形.

取。%的中点K,连接EK,则EK=BD=WP+4?=4位,

在RtAFEK中，EF=J(4A/2)2+1=V33>

*“l.厂20+17-3341

在AAiEF中，85血/=2、2国履=福=武

2同

sinZ-EAF

1V85

故四边形&EGF的面积为2xix2V5xV17x^=4旧,

故选C.

7.答案:ABC

解析：

本题考查空间中直线的位置关系，考查三棱锥的内切球的半径问题及二面角的作法与运算，属于中

档题.

设等腰直角三角形△ABC的腰为a,则斜边BC=&a，再结合选项依次判断即可.

解：设等腰直角三角形△力BC的腰为小则斜边BC=/a,

对于A项，:0为BC的中点，••.401BC,

又平面4B0JL平面ACZ),平面48。CI平面4CD=4。，BD1AD,BDu平面A8。，

BD平面ADC,5LACu平面ADC,

BD1AC,故A正确；

对于3项，由A知，8。1平面4。0COu平面AOC,

•••BDLCD,又BD=CD=—a，

2

BC=V2x—a=a<又SB=AC=a,

2

.•.△ABC是等边三角形，故8正确；

对于C项，若AD=1,则BC=CD=1,AB=AC=BC=&，

设三棱锥内切球的半径为r,

因为以-BCD=：SMBO-R+[SABCD,R+[SA4co-r+15A4BC-r,

所以gxFxlxlxl=Y；xlxl+Jxlxl+2xlxl+4xV^x@r

323\2224/

解得,.，上Y&故c正确；

6

对于。项，•••△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点尸，

则0F14C,又AABC为等边三角形，连接3F,则BF14C,

二NBFD为二面角B-AC-。的平面角,

而。尸=弓=号,BD=4,

222

则tan乙BFD=—==V2»故。错误.

DFf

故选ABC.

8.答案：BD

解析：

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了空间中的线线、线面之间的位置关系，同时考查了

三棱锥的外接球、对学生的空间想象能力要求较高，属于难题.

逐项判断即可.

解：对于A,取A。的中点为E,连接CE交于点F,如图1

贝ljNE〃4Bi，NF"MB\

如果CNIABi，贝ijENJ.CN,

由于ABilMBi，则EN_LNF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1,由4NEC=/MABI，

且NE="BI，AM=EC,

.,.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

取AM中点为0,•••4B=BM,即4当=81",则4"JL占0

若AM-LB1。，由于B1。n=B],

且BOB/u平面ODBi，

•••AMJ_平面。岫，ODu平面。g,

OD1AM,则4。=MD,

由于AD,MD,故AMIBi。不成立，故不正确;

对于。，根据题意知，只有当平面当力M，平面AM。时，

三棱锥&-4MD的体积最大，取AQ的中点为E,

连接OE,B]E,ME,如图2

•••4B=BM=1,则AB】=BXM=1,

且Aa1B1M,平面/AMC平面AMD=AM

•••Br01AM,Bi。u平面BiAM

•••BQ1平面AMD,OEu平面AMD

•••BQ1OE,

则AM=痘，BiO="M=?，

OE=»M="M=1,

从而叫=佰『+囹=],

易知£;4=ED=EM=1,

・•.AD的中点E就是三棱锥Bi-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故。正确；

故选2D

9.答案：AC

解析：

【试题解析】

本题考查了空间中垂直关系的相互转化，线面角，面面角求解，属于较难题目.

利用面面垂直判定定理证明A选项；假设PC_LE£>可推出线面垂直，然后可得=

显然不成立；确定二面角的平面角为然后可判断C；NCP。为直线PC与平面PAD所成

角，在RtZXPCD中，tanZCF£>=-1即可判断。.

PD2

解：A中，PD=AD=JAE2+DE2=722+22=242'

在APDC中，PD2+CD2=PC2^

所以POJLC。，

又CD工DE,PDCDE=D,PD,DEu平面尸KO,

可得CD1平面PKQ，

又CDu平面EBCD，

所以平面PEDJL平面EBCD，

故A选项正确；

B中，若PC工ED,

又EDLCD,PCQCD=C,PC,PDu平面尸。C,

可得“D_L平面PDC,

则矶）_LP£），

而NEDP=NED小显然矛盾，故B选项错误；

C中，二面角「一。。一8的平面角为NPQK，

根据折前折后角度不变知/PDE=乙4DE=45。，

故C选项正确；

。中，由上面分析可知，NCED为直线PC与平面PA'O所成角,

在RtZkPCO中，tanZCPD=—=—,

PD2

故。选项错误.

故选：AC.

10.答案：AC

解析：

本题考查了空间中垂直关系的相互转化，线面角，面面角求解，属于较难题目.

利用面面垂直判定定理证明A选项；假设PCI矶）可推出线面垂直，然后可得N£OQ=NE£U，

显然不成立；确定二面角的平面角为/9K，然后可判断C；NCPO为直线PC与平面PKO所成

角，在RtZkPCO中，tanZCPD=—=—>即可判断D

PD2

2222

解：A中，PD=AD=y]AE+DE=X/2+2=2y[2'

在APDC中，PD2+CD2=PC2>

所以PD1CD，

又CDIDE,PDCDE=D,PD,DEu平面PAO，

可得C£>1平面PA'。，

又CDu平面EBCD,

所以平面PEDJ■平面EBCD，

故A选项正确；

B中，若PC工ED，

又ED1CD，PCeCD=C,PC,「。€：平面/）。0

可得平面PDC,

则《£>J_P£>，

而/EDP=NEDA，显然矛盾，故8选项错误；

C中，二面角P—OC—5的平面角为

根据折前折后角度不变知NPOE=44£>£=45°，

故C选项正确；

。中，由上面分析可知，NCPD为直线PC与平面尸AO所成角，

在RtaPCO中，tanZCPD--=—.

PD2

故。选项错误.

故选：AC.

11.答案：ACD

解析：

本题考查面面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角，锥体的体积公式，球的表面积公式，属于较

难题.

得出BC1平面SAC即可分析A选项，运用三棱锥的等积法即可分析B选项，计算二面角S-0C-4的

正切值即可分析C选项，得出三棱锥S-4BC外接球球心为SB的中点即可分析。选项.

解：由题意，SA_L平面ABC,BCu平面ABC,SA1BC,

•••点C在以AB为直径的圆。上，BC1AC,

又$4f\AC=A,SA,ACu平面SAC,BC_L平面SAC,

又BCu平面ABC,.♦.平面SAC1平面SBC,故A正确；

在△ABC中，48=2且AB为圆。的直径，二OB=OC=1,

vZ.AOC=60°,Z.BOC=120°,

•••SAOBC=|xlxlxsinl20°=争

"^O-SBC=^S-OBC=§X2Xf故B错t天；

取0c的中点为M,连接SM,AM,

在ZMOC中，/-AOC=60°,。4=OC,.•.△40C为等边三角形，

OC1AM,OC=AC=OA=1,

.-.SO=SC=V5，OCISM,

••・二面角S-OC-4为ZSM4,可知AM=gtan4sM4=专=祟

2T

•••二面角s-oc-a和二面角s-oc-B互为补角，二二面角s-oc-B的正切值为一速，故c正确；

3

取SB的中点为E,连接OE,

•••△SAB为直角三角形，.•.ES=EA=EB,

又O为AB的中点，二0E〃S4,•.•S4J•平面ABC,.•.OE_L平面A8C,

可知。为△力BC的外心，；.。力=OB=OC,EA=EB=EC=ES,即E为三棱锥S-ABC外接球

球心，

故三棱锥S—4BC外接球半径为=[x、22+22=鱼,表面积为S—（用了”，故。

正确；

故选ACD.

12.答案：AD

解析：

本题考查了棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，线面平行的判定，线面垂直的性质，面面

垂直的判定和线面垂直的判定，属于较难题.

根据线面平行的判定对A进行判断，利用棱锥的体积公式通过计算对B进行判断，利用线面垂直的

性质，结合空间直线与直线的位置关系对C进行判断，利用线面垂直的判定和面面垂直的判定对D

进行判断，从而得结论.

解：对于选项A、因为PB=2PE,所以E是PB的中点.

又因为尸是A8的中点，所以EF〃P4.

因为PAu平面PAC,EFC平面PAC,所以EF〃平面PAC,因此A正确；

对于选项8、因为PB=2PE,所以/_4BCD=2/_ABCD-

又因为AB〃CDA3LAD-2.ID2CD2,

所以梯形ABCD的面积为“CO+AB)・4。=1x(1+2)x1=|,

S&4BU=-.4D=Ix2x1=1,

o

所以/-48co=2^E-ABC'

所以Up_4BCD=^E-ABC因此B错误；

对于选项C、因为PC,底面A5CQ,

AC,CDc5?®ABCD,

所以PCL4C，PCLCD.因此aPAC，APC＞。为直角三角形.

又因为4B〃CD,AB1AD,所以40J.CD,即A.AUD为直角三角形，

所以PA?=pc2+AC2=PC2+AD2+CD2,PD2=CD2+PC2,

则PTP=2。2+人。2,所以△pa。是直角三角形，

即三棱锥P-ADC的四个面都是直角三角形，因此C错误；

对于选项。、由选项C知：PC1AC，

在RtAAC'。中，AC=y/AD2+CD2=V2.

在直角梯形ABCD中，BC=yjAD2+{AB-CD}2=V2,

所以AC?+BC2=AB2,因此.AOXBC.

因为BCnPC=C,BC,PCu平面BCP,所以AC_L平面8CP,

而ACu平面ACE,因此平面BC'P_L平面ACE,因此。正确.

故选AD.

13.答案：BD

解析：

本题主要考查了立体几何中的翻折问题，考查了空间中的线线、线面之间的位置关系，同时考查了

三棱锥的外接球、对学生的空间想象能力要求较高，属于难题.

逐项判断即可.

解：对于4,取4。的中点为E,连接CE交M。于点尸，如图1

图】

则NE〃ABrNF“MB\

如果CNJ.4B1，则ENJLCN,

由于ABilMBi，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1,由z_NEC=zMABi,

且NE=^AB^AM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

取AM中点为O,TAB=BM,即贝iL4Ml.B1。

若/MJLBi。，由于Bi。Cl当。=Bi，

且u平面。

AM1平面。ODu平面。OB1，

•••001AM,则AD=MD,

由于4。KM。，故4MlBi。不成立，故不正确；

对于。，根据题意知，只有当平面平面AMD时、

三棱锥a-4MD的体积最大，取4力的中点为E,

连接。E,B】E,ME,如图2

AB=BM=1,贝必Bi=BrM=1,

且AB】1BiM,平面&AMC平面AMD=AM

Bi。1AM,Bi。u平面&4M

J。1平面AMD,OEu平面AMD

：.B101OE,

则4M=夜，BiO=：4M=当，

OE=-2D2M=-AM2

从而%=廊百=1'

易知EA=ED=EM=1,

.•.4D的中点E就是三棱锥当一AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4万，故。正确；

故选8D

14.答案:BD

解析：

本题主要考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间

想象能力，属于较难题，

对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于4,取A。的中点为E,连接CE交何。于点尸，如图1,

图1

则NE〃4BrNF//MB1

如果CN14B],则ENJ.CN,

由于则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1,由=

且NE=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cosz.NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

图2

取AM中点为0,•••48=BM,即则AMJL占0

若AM±BrD,由于B】。nBtD=Br,

且BQBiDu平面ODBi，

•••AM_L平面。DBi，ODu平面。

OD1AM,贝1〃。=MD,

由于ADAMD,故AMIBi。不成立，故不正确；

对于。，根据题意知，只有当平面B/M，平面AM。时，

三棱锥S-AMD的体积最大，取4。的中点为E,

连接OE,B]E,ME,如图2

•••AB=BM=1,贝IjAB]=BrM=1,

且ABilBi”,平面&AMC平面AMD=AM,

Bx0LAM,B10u平面B/M,

Bi。1平面AMD,OEu平面AMD,

■■■Br01OE,

则4M=伍B]O="M=¥，

OE=-2D2M=-A2M=

从而EBL后F=】,

易知EA=ED=EM=1,

.•.2D的中点E就是三棱锥&-AMD的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4兀，故O正确.

故答案为：BD.

15.答案：ACD

解析：

本题考查空间中直线和直线的位置关系，考查面面垂直的判定，线面垂直的判定和性质，属于中档

题.

易证4GJL平面48D,可以得到平面AGE1平面&BD,故选项A中结论正确；

假设存在，证明矛盾可判断B;

面8CQB1与面488通1沿展开到同一个平面可以判断C；

易知1平面4BB14,即可判断。选项.

解：易证AG1平面&BD,又4clu平面4GE,

所以平面4QE1平面4B0,故选项A中结论正确；

假设存在xe(0,1),使得4E1ER,

由&C11平面2BB14，得B1GJ.AE,

又BiGnEC】=Q,所以4E，平面&GE,所以4E1EB1,

又当xe(0,1)时，AE与BB1显然不垂直，与假设矛盾，故选项8中结论错误；

把面BCGB1与面ABB14沿BBi展开到同一个平面，

则E为BBi的中点时，AE+EG取得最小值，故选项C中结论正确；

易知&DiJL平面力BBi&,4Eu平面4BB14,所以&D1J.4E,故选项。中结论正确.

故选ACD.

16.答案：AB

解析：

本题考查直三棱柱的结构特征及线面垂直的判定与性质，同时考查面面垂直的性质及球的体积的求

解，结合已知和面面垂直的性质，逐一分析求解即可.

解：对于4,因为四边形ABC。和AB£F均为矩形，所以A8JL4D,AB1AF,AFnAD=A,AF,

4。＜=平面£4。，所以AB_L平面FAO,

因为平面ABC。_L平面A2EF,平面ABC。n平面4BEF=4B,BCLAB,所以BC_L平面FAB,故四

个侧面都是直角三角形；即A正确；

对于8,鳖席几何体为F-BCE,且8c=2,BE=2,BF=2乖,FC=2显,同理在阳马可求得

FC=V4+16+4=2V6,即它们重合的一条最长且为2乃，所以B正确；

对于C,可知堑堵外接球的直径为FC=2瓜所以半径为r=V6,从而体积为V==)(述尸=

兀，所以C错误；

对于。，阳马与鳖席重合面为直角三角形FBC,且S=^BFXBC=3X2V^X2=2V?,所以。错

误.

故选AB.

17.答案：①②③

解析：

本题主要考查了线面垂直的判定，利用空间向量求线线角，线面角，二面角，属于较难题,建立空间

直角坐标系，写出各点坐标，代入夹角公式可得线线角，线面角，二面角，利用线面垂直的判定可

得结果.

解：以点。为坐标原点，以D4,DC,DDi所在直线为x轴，y轴，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为2,则E(2,2,1),F(O,1,2),B(2,2,0),。式0,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),8式2,2,2),

£>(0,0,0),所以前=(一2,-1,1),西=(一2,-2,2).

设异面直线EF与85所成的角为a,则cosa=翳翻=发需=等，故①正确；

福=(0,2,2)>南=(2,0,2)，因为砧•丽=-2x2+2x2=0，

西•西=-2x2+2x2=0，所以BDi_LABi，BD11CBr,

因为AB】nCBi=AB】，CBiC平面ABiC,所以_1_平面48也，故②正确；

荏=(0,2,1)，设直线AE与平面ABiC所成的角为£,

则sin"gs港西心需翻=咋等!=曾，故③正确；

n=(0,0,1)是平面AC。的法向量，所以cos5，西>==之=4，

因为二面角当-4C一。是钝角，所以二面角当一4c-0的余弦值为一手，故④错误.

故选①②③.

18.答案：①③

解析：

【试题解析】

本题考查直线与直线的位置关系，线面垂直的判定和性质，直线与平面所成角，属于中档题.

①观察图形可判断正误，②分析EF最大时F点的位置即可求解③分析AQ与平面BEC的关系即可

判断④线面角的正弦值可表示sin。=急，转化为E尸取得最小值时有最大值.

解：如图,

A

当点F为BC中点时;研为异面直线AD和BC的公垂线段，此时跖取得最小值，

当尸与重合时，EF取得最大值旧，故②正确；

^^)AD1BE,AD1CE,BECCE=E,所以401平面BEC,故4D1EF,故③错误;

因为E到平面BC。的距离为定值d,设直线EF与平面BCQ夹角为。，则sin。=岛，

当尸为8c中点时，易知EF为异面直线AD和BC的公垂线段，

此时EF取得最小值，sin。=焉有最大值，此时。5=®DE=1，故EF=73^1=鱼，

由直角三角形EFD可知，EF-DE=DF-d,解得d=量,

3

所以sin®=^=¥，故④正确.

故答案为：①③

19.答案：②③④

解析：

本题考查了空间位置关系、空间角、数量积运算性质、法向量的应用、夹角公式、数形结合方法，

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

将正方形ABCQ沿对角线8。折成直二面角4-B0-C,设对角线的交点为。.以。为原点，0C为x

轴，。。为y轴，OA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取0C=l.

①48与平面BC。所成角为乙4B。，即可判断出正误.

②由4。=CD=AC=yf2,可得△4CD是等边三角形，即可判断出正误.

③瓦？=(0,1，1)，CD=(-1,1.0),利用向量夹角公式可得cos〈而，CD>>可得AB与CQ所成

的角，即可判断出正误.

④由已知可得：BD_L平面04C,根据线面垂直的性质