新人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量的数量积运算培优练习题

1.1.2空间向量的数量积运算

学习指导核心素养

1掌.握空间向量的数量积.

1数.学抽象：空间向量的夹角及数量积

2.了解空间向量投影的概念以及投影向

的定义.

量的意义.

2.数学运算、逻辑推理：空间向量数量

3能.利用空间向量数量积解决简单的立

积的运算及应用.

体几何问题.

《必备知识工落1实

知识点一空间向量的夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作为=a,OB=b,

定义

则/AO8叫做向量a,。的夹角，记作〈a,b)

范围OW〈a,b)W兀

向量垂直如果〈a,b)=1_,那么向量a,方互相垂直，记作

阳点拨--------------------------------

(1)只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角，并规定0与

任何向量。都共线，即0〃a.

(2)当两个非零向量同向时，它们的夹角为0,反向时，它们的夹角为兀，即

<a,b>=0或b>=7tQa〃仇明8为非零向量).

令即时训练

1.如图所示，在正方体ABCO—AiBGOi中，下列各组向量

的夹角为45。的是()4"LLT'

A.AB与41cli----

B.翁与G

c.筋与

D.而与瓦

解析：选A.荏与的夹角为45。，油与的夹角为135。，箱与A781的

夹角为90。，协与而i的夹角为180。.故选A.

2.在正四面体ABC。中，BC与前的夹角等于()

A.30°B.60°C.150°D.120°

解析：选D.〈比，⑦>=180°-<CB,CD>=180°-60°=120°.

知识点二空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a,b,则⑷步|cos{a,b)叫做a,方的数量积,

记作ab.即aO=|a|依cos〈a,b〉.

(2)运算律：

①结合律：她也,(2WR)；

②交换律：ab=ha.

③分配律：(a+b)c=ac+bc.

(3)性质

垂直若a,〃是非零向量，则a_L〃Qa・〃=0

同向：a-b=\a\'\b\

共线

反向：a-b=—\a\-\b\

向量数

a*a=|a||a|cos一〈a,a〉=|a|2；

量积的

；

性质模\a\=\[a^a

|a力|W⑷物

夹角B为a,力的夹角,则cos。一同向

EJTT1如图所示，在棱长为1的正四面体ABC。中，E,

厂分别是AB,AO的中点，求:

(1)EF-BA；

(2)EFBD；

(3)ABCD.

【解】⑴讲BA=3BDBA

=；\BD||5Al-cos(BD,BA>cos60。=；.

(2)EFBD=；BDBD=g\BDF=g.

(3)ABCD^AB-(AD-AC)=屈AD-ABAC-|AB\\AD|cos

<AB,AD)一而\\AC|cos<AB,AC>=cos60°-cos600=0.

陶题技巧------------------------------

求空间向量数量积的步骤

(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；

(3)代入a山=|。仙|cos<a,b>求解.

《跟踪训练已知a=3p—2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量，

则a必=()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A.因为p_Lq且加|=|q|=l,

所以a6=(3p—2q)•(p+^)=3p2+p-^—2^2=3+0—2=1.

知识点三投影向量

(1)向量a在向量b上的投影向量

先将向量a与向量)平移到同一平面a内，进而利用平面一

图①

向量的投影，得到与向量方共线的向量c,c=|a|cos(a,力仁

如图①，向量c称为向量@在向量b上的投影向量.

(2)向量。在直线/上的投影向量

如图②，向量c称为向量。在直线/上的投影向量.

(3)向量a在平面p上的投影向量

如图③,分别由向量a的起点A和终点B作平面夕的垂线，

垂足分别为得到向量H冷，则向量卬小(称为向量

4,B',c)a图③

在平面用上的投影向量.

做点拨

如知识点中图③，向量a与向量简’的夹角就是向量a所在直线与平面B

所成的角.

<即时训练已知向量a,b,\a\=6,步|=8,（a,b>=120°,则a在8上

的投影向量为,力在。上的投影向量为.

解析：由题可得与向量明方同方向的单位向量分别为寿,由，|⑷=6,步|

=8,<a,b〉=120°,根据投影向量的定义，则a在方上的投影向量为|@|cos<a,

b~3b3a—4a2

b>而=访~=一§九8在a上的投影向量为|b|cos<a,b>而=1丁=一）

32

答案：一1万—3a

、关键能力一更E8）

考点一利用数量积求夹角

EI2]如图，在直三棱柱ABC-AiBCi（即AiA_L平面A3。中，ACA,r\—^]C,

=AB=AAi=y/2,BC=2AE=2,则异面直线AE与AC所成的角是干\

（）/

«

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【解析】因为4A_L平面ABC,所以AiALAB,AiAlAC.

因为AC=AB=6，BC=2,所以ABLAC.

又BC=2AE=2,

所以E为8C的中点，所以然=：（无方+危）.

因为AC=A4=，2,所以AIC=2.

因为施•杭=/油+用•（危一筋1）=；沅2=1,

所以cos<AE,疵〉=7^7=1，所以〈助，庆〉=60°,

1AZZ

因为异面直线所成的角为（0。，90°],所以AE,4c所成的角是60。.

【答案】C

图题技巧

利用数量积求夹角或其余弦值的步骤

根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量

把异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题

利用数量积求余弦值或角的大小

异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的

夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求

角的夫小

［注意］求两向量的夹角，必须特别关注两向量的方向，应用向量夹角定义

确定夹角是锐角、直角还是钝角.

＜跟踪训练已知空间四面体0ABe各边及对角线长都等于2,E,尸分别

为AB,。。的中点，则向量近与向量济所成角的余弦值为.

解析：由已知得丽=3(0A+OB),BF=赤-OB"0C-0B,

因此|无|=1\0A+0B|=1-^y4+4+2X2X2x1=小，

\BF|=^0C-0B=Y,X4+4-2X2xg=#.

又因为无BF{OA+OBOBj=；X2-1X2+jX2—2

rr-2

=—2,所以向量Of与向量8户所成角的余弦值COS=r-

0=\OE\\BF］小X小r-=

2

3•

2

答案：一3

考点二利用数量积证明垂直

画司如图所示，在直三棱柱ABC-AiBCi中，AC=1AAi,D

是棱A4i的中点，OCiLBD.求证：DGA.BC.

【证明】因为反1=方'+4之1,且。是棱A4的中点，所以比1=3筋i+

AC.

由。GJ_8。，得比1•前=前|•(求+无+3筋1

一危=0,

所以皮।法=0,所以。Ci_LBC.

陶题技巧------------------------------

利用空间向量解决垂直问题的方法

(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否

为0来判断两直线是否垂直.

(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量机，〃垂直，应先用向量a,b,c表

示向量利，〃，再求解向量机，〃的数量积并判断是否为0.

＜跟踪训练如图，在空间四边形O—ABC中，OB=OC,

AB=AC,求证：QA_L3C.

证明：因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以A〈一—

△OAC且△0A3,所以NAOC=NA。区又宓BC=宓(OC'

-OB)=(9AOC-OAOB=\OA\-\OC|-cosZAOC-\OA|-|OB|cosZAOB

=0,

所以a±BC,即OA,3c.

考点三利用数量积求距离

TO正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABGAiSG的各棱长都为2,

E,E分别是A8,4G的中点，求Eb的长.

G

Bl

，J

AEB

【解】如图所示，设屈=〃，AC=b,筋i=c.由题意知|a|=|〃|=|c|=2,且

〈。，b)=60°,〈a,c)=〈瓦c〉=90°.

因为辞=应+筋1+AiF=-^AB+AA\+^AC=—ga+；0+c,

所以E/^=|EF]2=Ta2+TZ>2+c2+2(—^a-c)=TX22+4x22+22

+2X(一£|X2X2cos60°=1+1+4-1=5,所以EF=y[5.

[I题技巧---------------------------------

求两点间的距离或线段的长度的方法

(1)将此线段用向量表示.

(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量.

(3)利用同=迎，计算出同，即得所求距离.

<跟踪训练如图所示，在nABCO中，AD=4,CD=3,

ZD=60°,平面ABC。，PA=6,求PC的长.

解：因为的=PA+AD+DC,所以|元F=(戌+AD+

DC)2

=|或|2+|ADF+I庆『+2或.疝+2疝DC+2DC-PA

-62+42+32+2|AO||DC|cos120°=61—12=49,

所以|近1=7,即PC=7.

4课堂巩固丁自1测

1.在正方体ABC。一ABC。中，，茄X〉=()

A.30°B.60°C.90°D.120°

解析：选D.连接3。，AZ)(图略)，因为BD"/BD,△A'B。为正三角形，所

以/A'8D=60。，由向量夹角的定义可知〈检,BD>=120°,即〈4市,而>

=120°.

2.已知i,j,A是两两垂直的单位向量，a=2i—j+k,b=i+j-3k,则。力

=()

A.-2B.-1C.+1D.2

解析：选A..ab=(2i—j+k)-(i+j—3k)=2i2—j2—3k2=-2.

3.设几何体A3CO—Ai3iCi£>i是棱长为a的正方体，则()

A..AB-CA=a2B.A7Ci=^/2a2

C.BCA?D=a2D.ABGAi=a2

37r

解析：选C.由题意知〈筋，CA>=y,则屈•画<0,故A错误.庆|是向量，

不是实数，故B错误.瑰•6acosg=q2,故C正确.

ABOAi=ABCA<0,故D错误.选C.

4.如图所示，在正方体ABC。-。中，求异面直线48

与AC所成的角.

解：不妨设正方体的棱长为1,AB=a,AD=b,AA,\=c,

则|a|=|加=|c|=l,ab=bc=ca=0,

-►-►

A\B=a-c,AC=a+b.

所以刀身而?=（。-c）・（a+5）=|aF+Q•〃-QC—b・c=1.

而|病|=|危尸也，

所以cos（府’而=悬g=4，

又0°W</kB,AC>W180。，

所以〈4及AC>=60°.

由异面直线所成角的范围知A山与AC所成的角为60。.

f课后达标三国g]

[A基础达标]

1.下列各命题中，假命题的个数为()

①y[a^a=\a\；

②mQGyb=A^R)；

③G・S+C)=S+C)・G；

22

@ab=ba(a9b不共线).

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A.因为。・。=|。匕所以=|。|,故①正确；m(Ad)-b=(mAayb=

mXab=(mX)aby故②正确；a(b+c)=a-b+ac=ba+ca=(b+c)a,故③正确；

a2b=\a\1b,b2a=\b\2a,故④不一定正确.

2.已知异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|加=1,ab=~^,则两

直线的夹角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析：选B.设向量a,8的夹角为0,则cos0==—；，所以6=120。.

则两个方向向量对应的直线的夹角为180。-120。=60。.

3.已知a,人是异面直线，且a_Lb,ei,02分别为取自直线a,。上的单位

向量，且机=2ei+3e2,〃=左ei—4e2,/〃_!_〃，则实数%的值为()

A.—6B.6

C.3D.-3

解析：选B.由题意得ere2=0,由m_L〃,#m-n=0,即(2ei+3e2>(Zei—4ez)

=0,所以2Z—12=0,所以％=6.

4.如图，已知平面ABC,ZABC=12O°,PA=AB=BC

=6,则PC=()

A.6啦B.6

C.12D.144

解析：选C.因为无=或+AB+BC,所以无2=或2+防2+反；2+2

成AB+2或BC+2ABBC=36+36+36+2X36cos60°=144,所以PC=

12.

5.（多选）己知四边形ABC。为矩形，平面ABC。，连接鼠

AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中，数量积为零的是/太、〃

（）BC

A.PC与防B.DA与丽

C.PD与初D.戌与⑦

解析：选BCD.对于A,直线PC与8。不一定垂直，故向量正与防不一

定垂直，所以数量积不一定为零，故选项A不符合；对于B,根据题意，PA1.

平面ABC。，AOu平面ABCO,则又AOLAB,A3A巩=A,则AO_L

平面刑8,因为PBu平面必8,所以AOLPB,即向量而与原一定垂直，所

以数量积一定为零，故选项B符合；对于C,因为山，平面ABC。，ABu平面

ABCD,所以必，A3,又AD^PA=A,所以AB,平面抬0,又PDu

平面勿。，所以即向量防与油一定垂直，所以数量积一定为零，

故选项C符合；对于D,因为B4_L平面ABC。，COu平面A8CO,所以%_LCD,

即向量或与诙一定垂直，所以数量积一定为零，故选项D符合.故选BCD.

6.（多选）在正方体ABCO—A1B1CQ1中，有下列说法，其中正确的有（）

A.（AA\+AD+AB）2=3AB2

B.A7C-（A7BI-A]A）=O

C.疝i与刀力的夹角为60°

D.正方体的体积为|油・筋I.屐）|

选AB.如图，（筋1+AL+油）2=（筋1+A力|+而1）2=抚[2=3筋2,故A正

确；杭•（箱i一募!）=庆•猫i=（一筋i+筋+屐>）•翁i=0,故B正确；乱।与命

的夹角是质:与仄4夹角的补角，而△ACd为正三角形，所以4与沅4的夹角

为60。，故历।与方》的夹角为120。，故C错误；正方体的体积为|成||扇1|屈

故D错误.故选AB.

7.已知a,〜是空间两个向量，若|a|=2,\b\=2,|a—回=由，则cos（a,

b）=.

解析：将|a—引=由两边平方，得（a—8）2=7.

因为|a|=2,|力|=2,所以ab=£.

又。仍=|a||A|cos<a,b>,故cos<a,b>.

1

答-

m:8

8.

如图所示，在棱长为2的正方体ABCO-AIBGDI中，。为AC与3。的交

点，G为CCi的中点，则疵>在AC上的投影向量的模为；比在平面

ABCD内的投影向量的模为.

解析：易知人》在AC上的投影向量为布，其模为也.易知虎在平面ABCO

内的投影向量为无，其模为2.

答案：\[22

9.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的4

中点，则成BC=,AECDAEBC.（填）

”或“*

C

解析：由题易知AELBC,所以崩BC=0,而崩CD=（屈+BE）CD

=AB（BD-BC）+|BCCD

=\AB\-\BD|cos120°-|Afi\-\BC|-COS120°+

1—.

2\BC\-\CDl-cos120°<0,

所以崩CD<AEBC.

答案：0<

10.在长方体ABCD-AiBCiDi中，AB=AAi=2,AD=4,E为侧面

的中心，尸为Ai»的中点，求：

(l)BCEDi；

解：如图，连接48.设矗=a,AD—b,AAi=c,则⑷=|c|=2,步|=4,ab

=b-c=c-a=0.

4FDt

(\)BCED\=BC-(EA}+Ad)i)=b-1(c-a)+b=|6|2=42=16.

⑵丽•翁i=(丽i+防•(屈+筋i)=(c-a+H(a+c)=|cF—⑷2=22-22=

0.

[B能力提升]

11.设A,B,C,。是空间不共面的四点，且满足加•沅=0,ABAD=0,

ACAD=0,则△3。。是()

A.钝角三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

解析：选B.因为施•充=0,ABAD=Q,ACAb=0,

所以反:•筋=(公一磊>(疝一屈)=/.

AD-AC-AB-ABAb+AB2=AB2>0,

nr\

所以cos8=--->0,故NDBC是锐角.同理无⑦〉。，DCDBX),可

\BC\\BD\

得/BCD,N3OC都是锐角,

故△BCO是锐角三角形.故选B.

12.（多选）在正方体ABCO-AiBiGOi中，下列结论正确的是（）

A.四边形A8GD1的面积为|成||比i|

B.历1与灰的夹角为30。

C.（AAi+A751+T1T8I）2=3/ITBI2

D.杭.（GI—A75I）=O

解析：选ACD.由AB_L平面BBiCC,得所以四边形ABGOi的

面积为同瓦|比11,故A正确；

连接AC,CDi,则△AC。为等边三角形，ZCADi=60°,即如i与庆

的夹角为60。，故B错误：

由向量加法的运算法则可以得到后i+ATbi4-ATBi=ACi,因为AC=3A0,

所以（筋i+A7bi+AT^）2=34宓J,故c正确；

易得AT^I-A力尸而1,因为在正方体ABCD-A1中，。山」平面

AAiCiC,所以Di3i_L4C,所以杭•而i=0,故D正确.故选ACD.

13.

如图，在长方体ABCO-AiBiCDi中，AD=AA\=l,AB=2,P是CIQI的

中点，则抗与刀》的夹角的大小为,BTC./G>=.

解析：方法一：连接4。（图略），则NBA。就是灰与4A的夹角.连接尸。（图

略），在△而1。中，易得PA\=DA\=PD=y[l,即为等边三角形，从而

ZMiD=60°,即灰与将的夹角的大小为60。，®JILBTC-A>=^2X^2Xcos60°

=1.

方法二：由题意可得出i=BC=蛆，B7C-A^P=（A^A+Ab）\Ab+^AB）=Ab

2=1,则小XpXcos〈友，磊〉=1,从而〈屈?，4A〉=60°.

答案：60°I

14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平

行四边形，ND4B=60。，AB=2AD,底面A8CD用向量

法求证：PALBD.

证明：在△AOB中，ZDAB=60°,AB=2AD