新高一暑假衔接班数学讲义

2020年XX教育新高一

暑

假

衔

接

班

数

学

讲

义

XX校区

2022年7月

第一讲：二次函数的图像

知识点梳理

要点一、二次函数的概念

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax?+bx+c（aWO,a,b,c为常数）的函数是二次函数.

若b=O,则y=ax"+c；若c=O,则yuax'bx；若b=c=O,则y=ax1

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而丫=2f+5*+。（aWO）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①），=ax'（aWO）;②y=ax'+土（aW0）；③,y=a（x-hY（aWO）；=a（x-hf+k（aWO）,其

中入=-&.k=——'；⑤y=a『+bx+c（aWO）.

2a4a

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a#0）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c

可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，awO）；

2.顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,k为常数，awO）；

3.两根式：y=a（x-x]Xx-x2）（"0,xx,七是抛物线与x轴两交点的横坐标）（或称交点式）.

要点诠释：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x

轴有交点，即尸-4比20时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

要点二、二次函数丫=2/（a#0）的图象及性质

1.二次函数y=ax2（aW0）的图象

用描点法画出二次函数丫=2/（a#0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=/关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图

上看，抛物线y=x.2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最

函数y=x?有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数y=ax2（aW0）的图象的画法

用描点法画二次函数y=ax?（a#0）的图象时，应在顶点的

对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应

集，描出的图象越准确.

【典型例题】

类型一、二次函数的概念

▼1.（2016•松江区一模）下列函数中，属于二次函数的是（）

A.y=2x+lB.y=（x-I）2-X2C.y=2x2-7D.y=-—

X

举一反三:

【变式】如果函数〉=（加一3）——+2+蛆+］是二次函数，求m的值.

类型二、二次函数y=ax?（a#0）的图象及性质

C2.函数y=（的图象对称轴左侧上有两点A（a,15）,B（b,L,则a-b0（填“>”、或"=”号）

4

举一反三：

【变式1】二次函数y=ox2与>=—2/的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，贝必=

【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=-x2不具有的性质是（）.

A.开口向上B.对称轴是y轴

C.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D.最高点是原点

类型三、二次函数丫=2/+（：［。0）的图象及性质

^^3.求下列抛物线的解析式：

（1）与抛物线丁=一//+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0,-5）的抛物线;

（2）顶点为（0,1）,经过点（3,-2）并且关于y轴对称的抛物线.

4.在同一直角坐标系中，画出y=-/和y=—f+i的图象，并根据图象（如图所示）回答下列问题.

.平移个单位得到抛物线y=-Y；

⑵抛物线，＞=-/+1开口方向是,对称轴为，顶点坐标为一一一；

(3)抛物线y=-f+],当x时，随x的增大而减小；当x时，函数y有最.值，其最

—值是.

C1.(1)当111=时，函数丁=(加+1)》2"川+4》一5是二次函数？

(2)当m=时，函数y=(wz+l)x2m+1+4龙-5是一次函数?

举一反三：

【变式】若y=(a—是关于x的二次函数，则a=

类型二、二次函数y=ax2(aWO)的图象及性质

2.二次函数丁="!/的图象如图所示，点A。位于坐标原点，点Ai，A2,A3,•••,A2013在y轴的正半轴上，点

2

Bi,B2,B3,…，B2013在二次函数>,=-X2位于第一象限的图象上，若△AoB]Ai,z^AiB2A2,ZkAzB3A3,…，△A2012B2013A2013

都为等边二角形，求△A2012B2013A2013的边长.

类型三、二次函数丫=2乂2+＜：俗片0)的图象及性质

有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m,跨度为8m,把它放在如图所示的平面直角坐标系中.

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)若要在隧道壁上点P(如图)安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m.求灯与点B的距离.

举一反三：

【变式】(1)抛物线,=-2--5的开口方向,对称轴是,顶点坐标是.

(2)抛物线y=ax2+c与y=3/的形状相同，其顶点坐标为(0,1),则其解析式为

(3)抛物线y=--x2+l向平移个单位后，得到抛物线y=--x2-3.

4.根据下列条件求a的取值范围：

（1）函数y=（a-2）x2,当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大;

（2）函数y=（3a-2）x2有最大值；

（3）抛物线y=（a+2）x2与抛物线y=--x2的形状相同；

⑷函数）的图象是开口向上的抛物线.

举一反三：

【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=at+c与二次函数y=af+c的图象大致为（）.

A.B.C.D.，

【答案】B.

5.（2016•安徽模拟）在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax?-b的图象可能是（）

¥%*%

法/V'小钟

A.T'B.C.D.

［课后练习］

一、选择题

1.若抛物线>=（2+m）x"'j°的开口向下，则m的值为（）.

A.3B.-3C.2百D.-2G

2

2.（2016•玉林）抛物线y=Lj,y=x,y=■x2的共同性质是：

2

①都是开口向上；

②都以点（0,0）为顶点；

③都以y轴为对称轴；

④都关于X轴对称.

其中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图所示正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与

正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0<xW10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函

数关系的大致图象是（）.

4.（2015•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx?-k和y=kx+k（kwO）的图象大致是（）.

A.

5.在抛物线①y=2x2,

6

A.①>②>③B.①下③〉②C.②下①>③D.②>③>①

6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在/处时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m,

水面宽4m.如图所示建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是（）.

二、填空题

7.（2015•崇明县一模）抛物线y=2x2-1在y轴右侧的部分是（填“上升”或“下降”）.

221

8.（2016•普陀区一模）在函数①y=ax2+bx+c,②y=（x-1）2_*2,（§）y=5x-A-,（4）y=-x+24.y关于x的

二次函数是.（填写序号）

9.已知（xi,yj,（x2,丫2）是抛物线^=。/（aWO）上的两点.当々<%<0时，必<X，

则a的取值范围是.

10.将抛物线y=向下平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是.

11.如图所示，抛物线y=ax2+c3<O）交x轴于G、F,交y轴于点D,在x轴上方的抛物线上有

两点B、E,它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧，BALOG于点A,BCLOD于点C.

四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10,则4AB。与aBCD的面积之和为.

第11题第12题

12.如图所示，二次函数y=—gf+c的图象经过点。［一与x轴交于A、B两点,

贝!)c的值为

三、解答题

13.如图所示，桥拱是抛物线形，桥拱上有一点P,其坐标为(2,-1),当水位在AB位置时，水面宽12米，求水面离

拱顶的高度h.

14.已知直线y=x+l与y轴交于点A,抛物线y=-2—的顶点平移后与点A重合.

(1)求平移后的抛物线C的解析式；

(2)若点B(x-％),C(x2,为)在抛物线C上，且一试比较M，%的大小•

15.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米

时，水面的宽度为多少米？

第二讲：二次函数实际问题

【要点梳理】

要点一、用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，aWO）；

⑵顶点式：y=a（x-h）2+k（a,h,k为常数,aWO）；

（3）交点式：y=a（x-尤JO-/）（再，3为抛物线与x轴交点的横坐标，aWO）.

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如y=ax2+bx+c或y=a（x-/z）2+上，

或y=〃（％—尤1）（工一》2），其中aKO；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）；

第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中.

要点诠释：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的

解析式为y=a?+Zjx+c；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为

y=a（x-/z）2+Z；③当已知抛物线与x轴的两个交点（x“0）,⑸，0）时，可设函数的解析式为y=。0-玉）*一乙）.

【典型例题】

类型一、利用二次函数XX际问题中的最大（小）值

C1.（2016•黔东南州）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法

是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是

每只降价0.1X（18-10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低

售价为16元.

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售x（x>10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的

取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明

发生这一现象的原因；当10<xW50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

举一反三：

【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，

试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当

x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本）

类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题

C%.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m,顶部距离地面的高度为4.4m,现有一辆满载货物的汽车

欲通大门，其装货宽度为2.4m,该车要想过此门，装货后

的最大高度应是多少m?

类型三'利用二次函数求跳水、投篮等实际问题

C»3.如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，

达到最大高度3.5m,然后准确落入篮篦，已知篮筐中心到地面的距离为3.05m,若该运动员身高1.8m,在这次跳投

中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题

一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆0,下部是一个矩形ABCD.

(1)当AD=4米时，求隧道截面上部半圆0的面积；

(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆0的半径为r米.

①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；

②若2米WCDW3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值.(页取3.14,结果精确到0.1米)

举一反三：

【变式】（2015•泗洪县校级模拟）如图，矩形纸片ABCD,AD=8,AB=10,点F在AB上，分别以AF、FB为边裁

出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是.

类型四、利用二次函数XX际问题中的最大（小）值

C1.（2016•成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产

量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每

棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树.

（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；

（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？

举一反三：

【变式】（2015•营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天

能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销

售利润最大.

类型五、利用二次函数解决抛物线形建筑问题

Cz.如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度0M为12米.现以0点为原点,

0M所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

(2)求这条抛物线的解析式；

(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB,使C、D点在抛物线上，A、B点在地面0M上，则这个“支撑架”总长的最大

值是多少？

类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题

C3.某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点0

2

的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面10三

3

m,入水处距池边的距离为4m,同时，运动员在距离水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿

势，否则就会出现失误.

（1）求这条抛物线的关系式；

（2）在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的

3

水平距离为3‘m,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.

5

举一反三：

【变式】一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，

达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.若该运动员身高1.8米,

球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

类型四、利用二次函数求图形面积问题

.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示.已知砖墙在地面上占地总长度160ni,问分

隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积？

【巩固练习】

一、选择题

1.已知某商品的销售利润y（元）与该商品的销售单价x（元）之间满足y=-20x2+1400^-20000,

则获利最多为（）元.

A.4500B.5500C.450I）.20000

2.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为了=依2+以+c（aW0）.若此炮弹在第7秒

与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）.

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

3.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则

每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）.

A.5元B.10元C.0元D.3600元

4.（2015•路南区二模）设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE=

A.17B.11C.8D.7

5.某民俗旅游村为接待游客住宿的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，

若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使

租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）.

A.14元B.15元C.16元D.18元

6.（2016•衢州）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m）,中间用两道墙隔开（如

图）.已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为

3

二、填空题

7.出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=元时，一天出售该种文具盒的总利润y

最大.

8.（2015•六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是.

AD

1

B

9.有一个抛物线形状的拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示,

则此抛物线的解析式为

10.如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离X（m）之间的函数关系式是:

1o5

V=一上12+*元+3,则该运动员此次掷铅球的成绩是m.

：yr

第11题第12题

11.某幢建筑物，从10m高的窗DA,用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图

6,如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面一m,则水流落地点B离墙的距离0B

3

是m.

12.如图，一小孩将一只皮球从4处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处1距地

面的距离物为1m,球路的最高点8（8,9）,则这个二次函数的表达式为，小孩将球抛出了约______米（精

确到0.1m）.

三、解答题

13.某商场将进价40元的商品按50元出售时;每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售量就减少20个,

当单价定为多少时，能够获得最大利润？

14.（2015•东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花

圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.

（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；

（2）当x取何值时所围成的花闹面积最大，最大值是多少？

（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积.

//////////////。

D

15.（2016•咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售.市

场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期

的销售量为y件.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

第三讲：二次函数全章复习

【知识网络】

概念

数的

二次函

2

­xJ

y=

jr?.

y=

实

际

问

题

】

梳理

【要点

义

数的定

二次函

一、

要点

数.

次函

的二

做x

y叫

那么

0）,

，a*

常数

6,c是

c（a,

+bx+

果

如

地，

一般

：

诠释

要点

b、c

，但

数了

次函

是二

就不

a=O时

，当

.这里

函数

二次

x的

叫做

么y

）,那

aHO

数，

是常

b,c

c（a,

bx+

y=ax、

如果

小.