高中数学经典题型与错题复习总结

高中数学经典题型及错题总结

上AA3C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b»c,设向量m=（a+〃,sinc）,n=

（y/3a+c,sinB—sinA）,若加||〃，则角B的大小为（）

TC57r7t2万

A——B--C——D--

6633

解析：m\\n/.（43a+c）sinc=（a+/?）（sinB-sinA）

由正弦定理可得，（②+c）c=（a+b）（h—a）=y/3ac=b2-a2-c2

（i~+c?—c~\3,,5

cosB=----------=-----故角B大小为丁

2ac26

x>\

4-已知x,y满足<x+y<4且目标函数z=2x+）的最大值为7,最小值1,贝ij

ax+by+c<0

a+b+c

--------为（）

a

A-2B2ClD-l

x>1

解析：先作出4一所表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y进行平移，可

x+y<4

2x+y=7+]—]

知目标函数z=2x+y在《」一得分交点（3』）取得7在《一的

x+y=4x=1

交点（1,-1）取得值T,故直线ax+by+c=O经过点（3,1）与点（1,-1）

且cVO,代入得["=一“故""£=-2

小结：本题需要反向思考，利用最值反去求参数

i过空间任意一点作直线/,使得/与异面直线a,b成60°角，其中异面直线a,b成60°,

则满足条件的直线/有（）条；/与a,b成75°则满足条件的直线/有（）条；/与

a,b成30°则满足条件的直线/有（）条.

解析：根据cose=cosq-cosa则。'a,，之a如右图所示:

如图所示，已知ABCD是边上为4的正方形，E,F分别是AB,AD中点，GCL面ABCD,

且GC=2,求点A到平面EFG的距离.

解：法一：(几何法)分析：A到平面EFG距离，如作图，则线段必须在图形外部有一

法二：(体积法)略

法三：(向量法)如图所示建立坐标系B(0,4,0)G(0,0,2)E(2,4,0)F(4,2,0)令法向

量〃=(x,y,z)又GF=(4,2,-2)GE=(2,4,-2)£B=(2,0,0)

4x+2y-2z=0y-x

得〈'/.n=(x,x,3x)

2x+4y-2z=0z=3x

令x=l则〃=(1,1,3):.d

11

点A(l,0)到直线的距离为2,点B(-4,0)到直线的距离为3,则满足要求的直线有()

A2条B3条C4条D5条

fO敏+干馅x

设函数f(x)=Xz,力为锐角，如果对于任何x>0,都有

siiy?sicn

/(%)<则()

7t71

A0<a+6<1B0<a+/3<—

TTT[T[

C+D—<6Z+/?<7T

TTTT

解析：在锐角三角形中0<a,，<5且〈乃

nsino>cos/?,sin(3>cosa

jrjr

在钝角三角形中0<a，Z?<,且0<a+/<,

=>sina<cosdsin/?<cosa

由题意可得，/(x)为单调递减，即sin。>cos力,sin/7>cosa

7t

.•・a+夕》一且小于乃故选D

2

小结：前面的2个基本结论一定要熟，是解答本道题的关键

方程%5+%+1=0和x+&+i=o的实根分别为a和夕，则a+月的值.

解析：x5--x-l,\/x=-x-\,对y=%5与y为反函数

故其图像关于y=x对称

lim忙T

5/14~X-1XX+1—J

+X—1(#1+X-+X—1)(>/14-X—1)(>/14-X—1)

_1(x+l)2+私+1+1_3

Jx+1+12

小结：此时求极限则必须将分母约去，然后即可直接代数字

、若A,B两点的坐标是A(3cosa,2sina,l),8(2cosa2sinai)则I的取值范围是

()

A[0,5]B[1,5]C(l,5)D(l,25)

解析：A中令元=3cos2,y=2sina,m=2cosa〃=2sin6

i在棱长为a的正方体A8CO-A4G〃中，AE=；Ag在ABC。中取一点F,使

\EF\+\FCi|最小，则最小值为

解析：由一线段与其外2点，要求过直线上一点，使得连结的两线段最小，常作出一点

关于直线的对称点，然后连结，而两点与一面是同种道理，只要其中一点关于面

对称的点，然后与另一点连结，所交平面的点即为所求的点，由此可解得最小值

.714

为----a

2

，已知曲线y=Y—%过*轴上一点A（7,0）作曲线的切线则切线最多有（）条

A1B2C3D4

解：设切点（%,/3_/）为则切线方程为y—x；+/=©勺2_］）*一毛），又（匕°）

过切线，则—$3+毛=（3%2一I）”—/。），三次方程，％最多有3个解，故最多

为3条切线

A若实数满足x2+/=1则2孙的最小值是______

x+y+1

2xyx2+y2+2xy-1(x+y/-l(x+y+l)(x+y-1)

解:--------=----------------=-----------=--------------------

x+y+1x+y+1x+y+1x+y+1

=x+y-\令%=$抽仇>=cos3

则原式=sin0+cos0—1=>/2sin(0+—)-1

4

故最小值为-—1

上定义域，值域均为R的函数y=/(x)的反函数为y=/-(x),若/的4132，

对于一切％£R成立，则广'(x-2)+/t(4-x)的值为

解析：由己知条件/(x)+/(l—x)=2,可得到y=/(x)图像关于(；,1)对称，又

y=y(x),y=/T(x)互为反函数，则关于y=x对称，则y=/T(x)关于点

(1,1)对称，得P'(x—2)+(4-x)=l

小结：关于解决一个题目，不是必须用什么方法，只是你看了相关的已知条件，会想出

什么方法，只要用你知道的方法，解法就顺其自然会出现

X已知直线/的方程Ax+为+。=0点4(％,%)和22(9，%)是两个不同的点，若满足

(Ar1+8乂+C)(Ax；2+8%+。)>0且I心+6y+C|>|Ar2+8%+。|则()

A直线I与线段P|P2相交B直线/与P1P2的延长线向相交

C直线/与P1,2的延长线相交D直线/与pip2直线平行

解析：由线性规划可知(他+孙+C)(Ar2+8%+C)>0即表示Pi,P2在直线/的

一侧，由|为+孙+C|>|例+助2+。I得Pi至川的距离大于P2至川的距离，

故选B

工设/(x)为可导函数，且lim，⑴―川7)=_],则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的

…2x

切线斜率是

解：hm-------------=—lim-------------=—lim--------------=-1

-02x21。x2xw>-x

得切线的斜率为-2

小结：对于此类型求切线斜率，要注意其对应关系，并要注重理解即可

L已知函数/(x),g(x)分别为R上的函数，其中为奇函数，g(x)为偶函数，且满

足/(x)-g(x)=e*,则有()

A八2)</(3)<g(0)Bg(0)</(3)</(2)

C/(2)<g(0)<〃3)Dg(0)</(2)</(3)

解：由题意得，/(x)—g(x)="①/(—x)—g(—x)=e-x②又由奇偶性得

一/(幻—g(x)=e-*③①+③得g(x)=^^，=

-22

p-4-p

由f\x)=-2-->。恒成立，所以/(X)为R上的增函数，得

g(0)</(2)</(3)故选D

小结：本题巧妙利用了函数的奇偶性的关系，解出函数的解析式，因此在于解决奇偶性

问题一定要注意其图形特点，及关系式

设。>1,若对于任意的xw[a,2a],都有ye[a,4]满足方程log.x+log,y=3,

这时a的取值集合为()

A{a11<a<2}B{a\a>2]C{«|2<a<3}D{2,3}

3

解：由log“x+log“y=3得log“孙=3即y=—,则此时xe[a,2a]说对应的值域

x

29

为ye[。,片c]的子集又,Cl<yK/o则u万~n。得。22故选B

小结：一定要注意理解它们之间的包含关系，只有理清了包含关系，才能有清晰的思路

如果函数/(x)=ax{ax-3a23-1)(«>0,a。1)在区间[0,+oo)上是增函数，那么实数a

的取值范围是

解：法一：令优=乙当时/(x)=f«-3a2—l),tw[l,+oo)

又f'(t)=2/-3a2-l则f'(t}在e[1,+oo)时恒大于等于0

即优一3a2-120.•./<J■与a>1矛盾，无解

3

当ae(0,1)时，f(t)=r(r-3a2-l),ze(0,1]

fXt)=2t-3a2-l,则/'⑺在re(0,1],恒小于等于0

则3/z2/-1在fe(0,1]恒成立解得迫■Wa<1

误解：在讨论0<a<1时会误解成了'⑺20才符合题意y=就在ae（0,1）时为减

函数，则y=/（，）也应为减函数才符合递增

法二：将其转化成二次函数模式，这是只需讨论对称轴的关系式即可，但一定要注意

转化以后是递增还是递减

小结：关于复合函数的增减性为“增增得增，增减得减，减减得增”在讨论复合函数

增减性时，一定要注意转化后的增减性与题目中增减性所对应的关系

（抽象函数问题）已知函数/（%）定义域为R,对任意实数m,n都有

/（〃计力=y（，浒X*且/（；）=0,当龙>;时，>0/（x）判断函数单调性,

并证明你的结论

解析：证明单调性一般会用两种方法即定义法和导数法，由于抽象函数没有解析式，因

此只能利用定义法来解决

设西</，因此要想方设法根据已知条件求出/（芭）与/（&）的大小关系，又

已知条件有“当x>g,/（x）>0”对于此条件只有当x〉g才能利用，因此要

转化到一个范围符合该条件的，即%-又可将占转化为

%—%+x则f（x2）=y（x2—％）+/（x,）+g

又了（工2—石+1）=7（-^2-X|）+/（g）得/（工2—司）=/（工2一%

f{x2）=f（x2-X,+1）+/（X,）>/（%）

小结：对于解抽象函数为题一定要把握已知条件的特征，及相关信息，要学会读题目及

利用已知条件

22

（关于内心的相关问题）已知P为椭圆二+2-=1上一点，6,居分别为椭圆的左右

63

焦点，若△/岑E得外接圆半径R为2,则AWE的内切圆半径为（）

A^2—1B2\^—2C—1D1

令内切圆半径为r,则由面积法得'2+"2=।~

222

解得：r=V2-l

小结：关于内心的三种常见解法

①切线长定理（常用于双曲线）

②比例关系（由于内心是角平分线的交点，则有比例关系式，常用于选择题中，

求关于含有内心的比例式

③面积法（可根据面积法求内切半径或反过来由半径求p点纵坐标

关于外接圆的相关知识点

①外接圆是垂直平分线的交点

All

②正弦定理中也涉及到外接圆半径——=2R

sinC

如图所示，ABCD为正方形平面PAD,平面ABCD,APAD为正，若M在底面，且

MC=MP,则M点轨迹为

法三：建立坐标轴，作出关于等式的方程，同样可得到一次式，故轨迹为直线

小结：求轨迹一般有三种解法①几何+定义法②转化到同一平面上③建立坐标轴

点0为AABC内部，且满足2Q4+4O8+3OC=0,则aABC与凹四边形BCOA的

面积比为（）

9

C2D

7

^sin0-\OA\-\OB\

milc_c_cV___2__________________AyA—A

人J50-0蝴。。—。的。]0乂飞一"j--Q

“以向1.sin^|OAl-IOfi,|243

同理得，S«OBC=LSA*.=_[

SAOB；C“12SAOAQ6

则SAQAB：S&OBC：^AOAC=3：2：4

...也ss故选B

S&ABC9

小结：①QA+QB+OC=0则O为AABC的重心

②0若为△重心，则S&0Ag=S&OBC-S^OAC

③若两三角形的其中两边在同一直线上，且有一个共顶点，且该顶点所对的两

条边比例已知，则可根据两边夹一角的面积公式求出面积比

④常见的处理技巧：若xOA+yOB+zOC=0则设OA'=xOA,OB'y=OB

OC'=zOC即OA'+OB'+OC'^O

T(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且/(2)=0则方程/(x)=0在区间(0,6)

内解个数的最小值是

解:由题意可得,/(4)=/(I)=/(-2)=/(2)=/(5),/(0)=/(3)=/(6)=0

即在区间(0,6)内/(x)=0的解个数为5

又f(x+3)=f(x),令x=即/(|)=/(-1)=-/(|)

即/(g)=0,则/§)=0,所以在区间(0,6)内解的个数的最小值是7

小结：对于“既是周期又是奇函数”其有f—心

得用)=0

1定义域在R上的函数y=/(x)满足/(x+l)=/(l—x)=0,/(x+2)=/(2—x)若

将方程/(%)=0在区间[一3,5]上的个数为

解：由题意得，函数图像关于点(1,0)中心对称，且关于x=2对称，令x=()

则/(D=/(I)=0即/(I)=0=/(3)=0=/(-1)=0=/(5)=0

n/(-3)=0故最小值为5个

上函数/(%)=--ln(Vx2-3x+2+V-x2-3x+4)定义域为

x

解得：[—4,0)D(0,1)

，已知函数/(x)=d—3x过点p(l,〃z)可作曲线y=/(x)的三条切线，则实数m的取

值范围是

解析：设出的关于直线的方程为三次方程，只要其满足有3个解即可得me(-3,-2)

X已知实数M=7则实数M的取值范围是

Q—3

b~二2

解析：又M=7a令。一l=x

ci—3

2

Jl-X

则——-(xe[-l,l])

x-2

所以实数M可以看成点p(2,0),Q(x,-Y)两点连线斜率而点Q位于圆

x2+y2=l(xe[-l,l],y>0)±,

当直线PQ与半圆相切时，此时斜率最小Kp°=-方■结合图形知：

Me,0]

〃+/7+「

已知对于任意实数X,实系数函数/(X)=依2+/ZX+C恒大于0且。<b则--------的

a-b

取值范围

解析：由题意可知，/(—2)=4a-2Z?+c=a+/?+c+3(a—3>0

；・a+〃+c>-3(〃-b)所以〃+〃+(<-3,(a<b)

a-h

即空空得取值范围是(-00,-3)

a-b

22

已知相〃一2加一〃=0(m>0,«>0)则当〃2+〃取得最小值时，椭圆二+A=1的离

m~n

心率为______

解析：求加+〃最小值，若用消元思想，然后用函数去解决，显然计算太大，而对于2

个未知数求最值，一般思路为数形结合与重要不等式两种解法

.21/、/21、2mn八

2m+〃=mn=>—+一=1=>/%+〃=(“+〃)(一H——)=-F一>2

nmnmnm

当且仅当网=巴即2病=〃2...离心率e=立

nm2

小结：对于多元不等式求最值要灵活，巧妙利用其式子特点

x>0

y>0

若不等式《」一表示的平面区域为三角形，则S的取值范围是_______

x+yWs

2x+y<4

解析：误解：0<sW2

正解：0<s<2或sN4

小结：本题解答时容易遗漏掉另一种情况，因此解决此类题型题目一定要用心，这也是

解决数学题目的重中之重

如图所示，在平行四边形ABCD中，0且41A+2|8。|2=1沿BD折

成二面角A-BD-C则三棱锥A-BCD的外接球表面积()

V2111

A——7tB—71C—71D—TC

244842

即21ABl2+\BD|2HAC|2=-AC邛

2

小结：“割补法”，对于求三棱锥的外接球相关问题，经常地转化思想是将其转化入

长方体内，如本题，由已知可得，有2个垂直，显然转化入长方体内

如图4ABC为边长为2的正三角形，AABC中，NCBD=120°,3C=即,A,。两点

间距离为何

(I)证明：平面ABC_L面BCD

(II)求异面直线AD与BC所成的角

(III)求点C到面ABD的距离

已知曲线c:y=V过p（_3,2）作PM,PN与C相切于点M,点N：①MN的长度；②MN直

线方程

解：①令"（牛弘）川（X2，%）V=2x

则4":=2x,（x-玉）又过P（-3⑵

则+6玉+2=0同理得，与2+6%+2=0

则不是方程f+6x+2=0的两根

，%+马=-6xix2=2

则|MN|=J（X|-々）2+（%-%）2=-^2）2+（^|2~X2）2

②由①得，6尤］+弘+2=0,同理6&+必+2=0

则/.：6x+y+2=0

小结：本题属于圆锥曲线中的切线问题，其解题思路与常见的圆锥曲线的处理方法截然

不同，一般常见的是联立方程组利用判别式，而本题同样用到了判别式，但其是

根据方程得出来的，因此该解题思路常用于圆锥曲线中的切线问题，但并非都是

这样处理，如圆的切线问题有着其独特的解题技巧

129

已知X£（0,：）,则4+一^的最小值为_______

2x1-2x

49

解析：原式二---1------令2X=Q,1-2x=ft,（<7>0,/?>0）

2xl—2x

4949

则原式=—+7又。+。=1则原式=（一+）（。+与

abab

4b9a

4+9+—+—>13+12=25故最小值为25

ab

小结：对于4+a形求最值，其常隐含着a与b的一个定值式，则通常用重要不等式

ab

解答，又如而然后求。+匕最值，处理方法也是如此上+当一=1

ahab

在4ABC中，AC=2BC,若AB=3,则4ABC最大面积为

小结：若三角形中一条边已知且另两条边倍数关系，则该顶点的轨迹即为圆

、.1+tan10°,口2+,、

▲设。=---------，/?=J3则有（）

1-tan10°

A"3。Bb<a<^-Ca<b<^Db<^<a

2222

,1+tan10°tan45°+tan100__

解析r：a=---------=-----------------=tan55°o

1-tan10°1-tan10°tan45°

2j2

b=tan60°则Q</?又a=tan55°>1得a<b<—

2

1+tan10°

小结：本道题解题关键在于如何转化a这条件，但一般转化常利用到两角

1-tan10°

和差公式，因此要充分利用其特点解题

1,

工过点p（l,l）作一直线与抛物线y交于A,B两点，过A,B两点分别作抛物线

1,

>=—尤2的切线，设两切线的交点为M,则点M的轨迹为

-2

则为+1=%）则M点方程为x-y-l=0

法二：（交轨法）设4>1,凹）,8（毛,必）lAB:y-1=k1

y-l=Z(x-l)

X]+々=2k

得《12A

y--xx,•x2=2k-2

2

则"y_y=xGf)G：yf2：

y—M=X|(X-X|)\y=k-\

得\

y-y2-x2{x-x2)x=k

则苫=^+1即x-y-l=O

小结：关于抛物线的切线问题，其有着特殊的技巧和处理方法与交轨法相比较其大大减

少了计算量,且能即快又准的求出方程但要注意此时两个方程结构虽然完全相似,

但不能直接代入，因为此时还未转化为直线方程，但交轨法也有其可取之处，但

在处理等式要注意，此时求x时只需将y消去，但求出x后，不是直接代入然后

解出y值，因为这样处理只有王，而依据韦达定理只知西，马关系，因此应想方

设法将x消去，然后求出y值

下列判断：①4ABC内一点0满足03・OC=OC・=。4・08则0是AABC垂心；

②设G是△ABC重心则G4+G3+GC=0；③0是AABC的外心，H是△ABC所在平面

内一点，则QH=OA+OB+OC则H是aABC的重心，则Q”=Q4+OB+OC,则

H是△ABC的垂心；④0,H分别是aABC的外心和垂心，则=OA+OB+OC,其

中成立的有（正确的有）

4已知函数；y=/(%)的定义域为域为］,{(x,y)|y=/(x),a〈xWb}c{(x,y)|x=O}

只有一个子集则()

Aab>0Bab>0Cab<0Dab<0

解析：由2"=1得〃=0故{(x,y)|y=/(x),tz<x<Z>}n{(x,y)|x=0}=0

得而>()选A

i已知|z|=3—i+z,则复数2是（）

4.4.4.4.

Az----FiBz=------1Cz--+iDz=z

3333

解：|z|表示复数的模，如|出+>|=址+及故可解得z=—g+i,故选A

'x>0

工已知点M（a,6）在由不等式组<y>0确定的平面内，则点（a+仇。一切所在平面区

x+y22

域的面积是（）

A8B4C2D

1

X+V

正解：令X=Q+Sy-a-E得。=-----

2

小结：此时不能单独对于a+仇。-人进行求范围，若它们要同时成立，范围就必然会

缩小，本题主要处理方法“反解法”

已知数列｛a“｝满足q=1,%=5,an+i=an+2a,)_I,(H>5,/7GTV*)

1)求｛a“｝通项；

、…1113

2)求证:---1------F...4-----<一

a

4。2n2

a+xa

解：1)设上——-=y=>atl+x+xan=yan+xyan_x

4Hl

即4+1=(y-x)an+xyan_｝

,y-x=1fx=1、fx=-2

得r=>《或i

x-y=2[y=2[y=-1

则｛«用+4｝为等比数列｛《用一24｝也为等比数列

得a向+a“=6・2"T=3•2"①a,用—2a„=3•(一1尸②

①-②得，3凡=3[2"+(-1)"]则an=2"+(-1)"

11111

2)----F---+・・・d-----=2'-1+22+1+'"+'"

qa2

12"+2"+1

当n为偶数，则」-+二-=------•----;---=-------;--------

2"+12'向-12"-2"+,+2"-1

4«„+1

2"+2n+'113

V----------<-----1-----T...+<一

2"-2,,+|2"2,,+|2

当n为奇数，则—-+—+—=—+(­+—)+--—I---)<—

2

«1。2a,4a2464

当n为偶数，贝!|1------F...H=----1-(----1----)+..(.----1------)-------

«2%qa2a3anan+laH+i

1,11、/11、3

<—+(—+—)+..(•一+---)<-

444an2

公一1113

综上得，---1------1-...H----V—

4a2an2

设函数/(x)=^ax3+bx2+cx(a<b<c),其图像在点A(1,/(1)),B(m,f(m))处的

切线斜率分别为0,-。

1)求证：0W2<1；

a

2)若函数/(x)的递增区间为区门，求|s—，|的取值范围；

3)若当X2Z时(k是a,b,c无关的常数)，恒有/。)+。<0试求k最小值

解：1)证明：/z(l)=a+2h+c=0又avb<c

则Q+2Q+Q<Ona<0由a<b且a<0得一!<?<1

3a

又''(加=cvc+2bx+c=anr+2bm+c=—a

即airr+2bm+a+c=O则4=4Z?2—4a(a+c)>0

4b2+8fl/j>0=>(-)2+2(-)>0

aa

得夕20或2综上得，042<l

aaa

2)/'(x)=G?+2/犹+c则s,t为方程ar?+2"+。=。两根，

I—I=4+八4s”\[竺)2—生=2J(与—土^

Vaa\aa

=2l(-)2+2-+l=2(-+l)

Vaaa

又042<1则|s—t|e[2,4)

a

3)fr(x)+a=ax2+2Z?x+c+。<0

即izx"+2bx—2b<0=>%2H---------〉0=>(一)(2x—2)+x~>0

aaa

>0

,得—1或xW—A/3—1

2%-2+x2>0

又xi左时恒成立，则左26一1故k最小值为G-i

小结：等式即消元，合理观察题目条件是解决不等式及代数问题的关键，有时条

件中就往往隐藏着解法

已知平面a与夕所成的角为80。，p为a,夕外一定点，过p点的直线与生月所成的角

是30。，则这样的直线有且仅有()

A1B2C3D4

20

已知函数f(x)=-x5+—X3-20X+1,若/(a)+/(a—2)>14则实数a的取值范

围是()

2020

解析：由题意得，-20。+7+［一①-2)5+?-(〃—2)3

-20(4—2)+7>14

20

令g(a)=-a5+—a3-20。+7则g(a)为单调递减函数且为奇函数，

则由g(a)+g(a-2)>0即g(a-2)>g(-a)则。-2<一。

即2。v2na<1

设Q是直线x—5y+5=0上的点，过Q引轨迹方程为)二—三=1,(丁>0)的两条切线

45

QA.QB(A,B为切点)，求证：直线AB过点A

=4xr,一=5划一4%x=20设Q(5几一5,n)则5〃y—4芯(5〃-5)=20

同理得，5ny2-49(5力-5)=20故lAB:5ny-4x(5〃-5)=20

二>〃(5N-20幻+20尢—20=0得直线AB恒过点(1,4)

22

▲设。若〃2=108/°,〃=108/°/=108/则有()

Ar>m>nBr>n>mCm>n>rDm>r>n

如：已知函数/(x)=sinx-lnx,则()

A/g)>W)13/£)>/(3C/(e)〉/(；)D吟>/(》

选A

工把半径都为1的四个球装入一个大球内，则此大球半径最小值为()

A"迈B1+走C2+V6D1+空

223

四面体ABCD的体积为2,E为棱AD的中点，F在AB的延长线上，且BF=AB,过C,E,F

三点的平面交BD于G,则四面体CDEG体积为

ixn十41—

数列｛2｝中4=3,2+1=之一(neN)求证：V1+石

h+2

证明：1）当n=l时，0<&=3<1+，5

2）假设n=k成立，贝!|当n=k+l时，

又d>0显然d+i>o得o<"w<i+J5

贝（I当n=k+l时也成立

综上得0<么<1+正对于“eN*恒成立

小结：1）对于常规思维，首先想到的可能是用不动点法，求出瓦的解析式，显然计算

量太大

2）对于证明范围，可能利用函数单调性，对于本题，由于血』是单调递减，无

法解答

3）若知道。与。山关系式，且所求证的是定值，数学归纳法是比较常用的（如

本题解法）

已知△ABC,如果对于一切实数t,都有—以AC|则4ABC一定为（）

A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D与t的值有关

设。>2,给定数列{4},其中玉=“，〜"，、，(〃=1,2,....)求证:

2(x„-1)

1)天〉2,—<1,(〃=1,2,....)

当

2)如果QW3,那么玉W2+2“_],(〃—1,2,.…)

解析：1）可将所求的转化为2<%讨〈天然后利用数学归纳法证得

X：9X：-4x“+4(x“―2)2

2(x„-1)2(x„-1)2(x„-l)

-n-i--i---=---n----=------------<j-

X〃-22当—222(七一1)2

3-2(1

Xn-l-22

9-2<!

X)—22

又％=a且ae(2,3］则x,-24(；)"i•(玉-2)=(1)"-'.(a-2)<

即e+击

小结：对于七<2+*符合等比数列的通项公式，则可将多余的两项移到不等式左

边，即天-2〈击然后可往这方面去考虑

x2y2

当过点P(4,l)的动直线与椭圆C:上+L=1相交于A,B时,在线段A.B任取一点Q,

42

使Q满足IAP|•IQ3RAQ|•||,求动点Q的轨迹方程.

1+A1-2

得=><

1=-------------y=-------------

1+2U1-2

片-乃才=2()，：—=2靖一2储必2

1-22)―1-/L2―1-22

2

则4x+2y=无/+2斤--(岑+2)，22)=4(1-A)=4

-1-A21-/12

故动点Q轨迹为2x+y-2=0

如图，在三棱锥P-ABC中，NAP3=NBPC=NAPC=9()。,M在4ABC内，

NMPA=60°,NMP3=45'则NMPC的度数()

A30°B45°C60°D75°

已知/(x)=cos2x-l,g(x)=/(x+m)+〃，则使g(x)为奇函数的实数m,n可能取

值为()

71717171

Am--,n=-1Bm=一,〃=1Cm=---,/i=-1Dm-----,n-\

2244

选D

已知函数y=/T(x)的图像过(-1,0),则^=/(g无一1)的函数图像一定过点(-1,2)

已知正方体中，M为AB中点，棱长为2,p是底面ABCD上的动

点，且满足条件PD,=3PM则动点p在底面ABCD上形成的轨迹是()

A圆B椭圆C双曲线D抛物线

工方程《『=|lgx|两根为西,々且王•马满足关系()

A-X,>1B0<Xj-X2<1CA,^2=1DXj-x2<1

小结：合理观察图像特征及单调性是解答类似题目关键

已知如图，AABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,BC=J7,则8C等于()

C2D3

已知过点加(9,2)的函数y=/(x)反函数为y=(a2-3«-l)',则实数a如取值

集合为()

A{-1,1,2.4}B{1,2)C{-1,4}D{1,2,4}

选C

x-my2m-3>0

1)已知实数x,y满足约束条件2x+3y>0,且目标函数z=2x+5y仅

x<3

在点p(3,2)处取最大值，则m取值

2)已知实数x,y满足约束条件47且目标函数2=〃/+5N仅在(3,2)

2x+3y>0

最大值，求实数m

△常见线性规划中已知可行域求目标函数最值得题型

①z=or+by(截距)

②Z=%2+y2(即点到原点)

③z=|公+力+c|可转化为,%=叱+初+，|即调到某定直线距离的最