塑性成形力学 第一章 应力分析

第一章应力分析材料受力三个阶段：弹性→塑性→破坏弹性力学塑性力学破坏力学断裂力学等1.1变形体的内力和外力基本概念：外力、内力、应力1.外力体力、面力（材力：集中力、分布力。）(1)体力——变形体内单位体积上所受的外力xyzO——体力分布集度（矢量）X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的

(如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。(2)面力——作用于物体表面单位面积上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。2.应力(1)一点应力的概念内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)的方向(1)P点的内力面分布集度(2)应力矢量.----P点的应力由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度ΔAΔQPn(法线)应力分量应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力单位:与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的是场量(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：用矩阵表示：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号的意义：第1个下标x

表示τ所在面的法线方向；第2个下标y

表示τ的方向.应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO与材力中剪应力τ正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时的剪应力τ为正，反之为负。在用应力莫尔圆时必须按此规定求解问题xyzO

1.2物体内任一点的应力状态

（Chauchy公式/斜面应力公式）

如左图所示，当平面ABC无限趋近于P点时，平面ABC上的应力就成为经过P点的斜面上的应力。分别把应力向x、y、z方向投影，可以得到斜面上应力分量、、的表达式，也就可以得出斜截面上正应力和剪应力的表达式。l、m、n为法线的方向余弦可以根据平衡方程和几何关系推导设三角形ABC上的正应力为，则由投影可得自己推导下面的公式！采用求和约定可写成由这些投影的平衡条件,假使ABC是物体的边界面,就可以得出变形体的应力边界条件:设三角形ABC上的全应力为而剪应力为，则所以可见，在物体的任意一点，如果已知六个应力分量，就可以求得任意斜面上的正应力和剪应力。也就是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。将斜面应力矢量S(

n)沿坐标轴方向分解

S(

n)＝Sxex+Syey+Szez

斜截面公式

Sx＝

xl+

yxm+

zxn

Sy＝

xyl+

ym+

zyn

Sz＝

xzl+

yzm+

zn张量表示

Sj

=

ni

ij

归纳一下：求斜截面的各种应力（1）正应力

n=S(n)

n

=

Sxl

+Sym+

Szn

n＝

xl2+

ym2+

zn2+2

xylm+2

yzmn+2

zxnl

＝

ijninj

（2)剪应力确定力边界条件求在面上的法向正应力和切向剪应力

解例题：1.3微分平衡方程平衡方程：即：由其余两个平衡方程，和，可以得出类似的两个方程，简化后即得空间问题的平衡微分方程。平衡方程的推导：以x轴为投影轴，由得：剪切力互等定理：剪应力的互等关系在弹塑性力学中可以由下述方法得到：首先，以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程：

除以，合并相同的项，得：略去微量以后，得同样可以得出：，1.4三维应力状态下的应力及应力主项在过任一点所作任意方向的单元面积上都有正应力和剪应力。如果在某一方向剪应力为零，则此方向称为主方向，而这时在该面上的正应力便称为主应力。剪应力等于零，所以该面上的全应力等于该面上的正应力，也就等于主应力，于是该面上的全应力在坐标轴上的投影为：于是，对上图中四面体分别在三个坐标轴方向列平衡方程，得很自然的得出如下行列式等于零，即：(三元齐次方程组有非零解的条件)Si=

lj

ij

由该行列式等于零，可以得出如下三次方程：可以很容易的证明，在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力，于是可以得到下面方程在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变，因而，上面方程中的系数和常数项也不会改变，分别称为应力状态的不变量，写成张量形式如下：（直接展开可以推导证明）1.5应力偏量张量在弹塑性力学中，常假设静水压力作用下，应变与应力服从弹性规律，并且不影响屈服，因此在一般情况下，应力张量可分解为两个分量：球形应力张量，为该点的平均正应力；偏量应力张量，其表达式为：可以应用相同的方法推导出应力偏张量不变量的表达式如下：（课下自己推导一下，，代入平衡方程）应力偏张量的第二不变量还可作如下表示：上式为八面体剪应力，八面体上的应力可以归结为研究等倾面上的应力状态，八面体平面的法线的方向余弦为：（代入、展开、整理可以推导证明这些公式）（主剪切应力和八面体上的应力在后面讲）因为所以又因为带入上式得上式分别对和求偏导,并令其等于零,就能得到的极值.1.6主剪应力和最大剪应力建立主应力坐标系？,如图有这样也就可以得到剪应力取极值时所在斜面的方向余弦.下面给出结果:如果已知三个主应力的次序,最大剪应力为此时最大剪应力出现在图示的黑框表示的平面内.1.7八面体应力应力强度什么是八面体?已知物体内某一点的主应力和主方向,取此主方向为坐标轴,取通过该点与这个坐标轴成相等夹角的平面,这样在八个象限有八个平面,组成八面体.我们来研究第一象限的四面体的斜面上的应力.称为八面体的应力.

八面体的应力如图所示,该斜面的外法线的法线余弦为由公式得八面体正应力八面体的总应力为得到八面体上的剪应力为

应力强度定义为在单向应力状态,应力强度等于单向应力.所以在某种意义来说,就是将原来的一个复杂应力状态化作为一个具有相同效应的单向应力状态.所以,应力强度又称为相当应力,有效应力或广义应力.q=J23J2单向拉伸时所以在三轴试验中，以压为正，所以有定义纯剪应力即剪应力强度1.8应力空间、应力路径和平面在弹塑性力学中，常用的应力空间是以应力方向为坐标方向构成的空间在右图所示的主应力空间中，通过原点，与三条坐标轴成相同夹角的直线称为等倾线，或叫主对角线。包括等倾线的平面称为子午面在传统塑性理论中，把通过主应力空间原点，与等倾线垂直的平面称为平面，一般把垂直于等倾线的任意平面都叫做平面，其方程如下：1-5应力空间应力状态矢量应力点

什么是应力空间?我们设法用几何方法来表示物体内一点的应力状态,但它要用六个独立应力分量来描述,也就是说需要六维应力空间中的一点来表示,这是无法直观表示的.但如果用三个主应力维坐标轴的应力空间来表示,就可以得到直观的几何图像.我们说应力空间就是指这个主应力空间.(如图)应力路径物体内一点的应力状态对应主应力空间的一点称为应力点,矢量表示此点的应力状态,称为应力状态矢,或应力向量.物体内这一点的应力状态的变化对应主应力空间的一条轨迹,称为应力路径(历史).

平面在主应力空间中我们要特别注意一条直线（等倾线）和一个平面（平面）,一个应力向量在其上的投影是很有意义的.特别是这个平面对于塑性力学很有意义.见图,这条直线L,它是过原点且和三个坐标轴的夹角相等,这个平面是过原点并且与L直线垂直的平面。在应力空间中的一个应力向量OA可以写成显然向量是在直线L上,,向量是在平面上.在直线L上的投影代表静水应力不影响塑性变形,在平面的投影表示应力偏张量,塑性力学是关心这个平面.物体中一点的应力状态可以用应力空间中的一点（应力点）来表示。一点应力状态的变化可以用应力点在应力空间的运动轨迹来描述，应力点的运动轨迹称为应力路径各正应力与平均应力八面体应力

平面上正应力分量应力张量第一不变量各正应力与应力张量第一不变量之间的关系各剪应力与广义剪应力八面体剪应力纯剪应力

平面剪应力分量应力偏量第二不变量各剪应力与应力偏量第二不变量之间的关系应力圆在材料力学中已经学过，在应力圆中，对应于法向应力和剪应力的点必定落于右图中的阴影部分,1.9应力圆和应力Lode参数即满足右式：如果对某一应力状态迭加一个附加的各向均匀的应力状态时，三个应力圆的直径并不改变，即应力圆本身的图形与应力球张量无关。对于一点的应力状态，各个主应力按同一比例缩小或增大，则应力变化前后的应力摩尔圆是相似的，这相当于应力偏张量的各个分量的大小有了改变，而应力偏张量的形式保持不变。可以用Lode参数来描述应力偏张量的形式，即右式Lode参数的几何意义是应力摩尔圆上线段O2C与O2B之比，的