新人教版高中数学选择性必修第一册第二章3圆与圆的位置关系培优练习题

2.5.2圆与圆的位置关系

学习指导核心素养

1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的

1.逻辑推理、数学运算：圆与圆的位置

位置关系.

关系的判断.

2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问

2.直观想象、数学运算：两圆相交及相

题，体会用代数方法处理几何问题的思

切的问题.

想.

知识点圆与圆的位置关系

1.代数法

通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断.

,相交;

万］4一元二次方程/=0今内切或外切;

圆。万程JL＜。今内含或外离w.

2.几何法

若两圆的半径分别为ri,n,圆心距为d,则两圆有以下位置关系:

位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示

两圆外离d>n+n

0

两圆内含d<\n—n\

两圆相交2\r\—ro\<d<n-\-n

两圆内切d=\n-r2\

1

两圆外切d=r\-\-n

幽11已知圆Ci：x1-\-y2—2mx-\-4y+m2—5=Q,圆Ci：x2-\-y2+2x—2my

+m2-3=O,问：机为何值时，⑴圆G与圆C2外切？⑵圆G与圆C2内含?

【解】对于圆Cl,圆C2的方程，

配方得方:(x-m)2+(y+2)2=9,

C2:(x+l)2+(y—m)2=4.

⑴如果圆。与圆Q外切，

则有4(、+1)(—2—m)2=3+2,

即m2+3m—10=0,

解得m=—5或m=,2.

故当机=—5或2时，圆G与圆C2外切.

(2)如果圆G与圆C2内含，

贝U有\l(m+1)2+(—2—m)2<3—2,

即(加+l)2+(m+2)2<l,整理得m2+3m+2<0,

解得一2(加<—1.

故当一2<m<—1时，圆Ci与圆。2内含.

胭题技巧------------------------------

几何法判断两圆位置关系的步骤

(1)将两圆的方程化为标准方程.

(2)求出两圆的圆心距d和半径n,n.

(3)根据d与|n―拉|,n+n的大小关系作出判断.

♦跟踪训练

1.圆。1：%2+,2-2%=0与圆。2：%2+y2-4y=0的位置关系是()

A.外离B.相交C.外切D.内切

解析：选B.圆。1:f+y2—2x=0与圆。2：f+y2—4y=0,故圆心坐标与半

径分别为01(1,0),。2(0,2),n=1,9=2,|01。2|=小,n—n=l,n+r2=

3,1<^5<3,所以两圆相交.

2.圆A：/+尸=1与圆球》2一版+尸―5=0的公共点个数为()

A.0B.3C.2D.1

解析：选D.因为圆3:(x—2)2+>2=9,其圆心为3(2,0),半径为3,圆A

的圆心为A（0,0）,半径为1,所以圆心距为|A3|=2,半径之差为2,所以两圆

内切，只有一个公共点.

《关键能力日限E3%

考点一两圆相切问题

距1已知以C（4,—3）为圆心的圆与圆（9：x2+y2=l相切，求圆C的方程.

【解】设圆C的半径为叶又圆心距小=7（4—0）2+（—3—0）2=5,

所以当圆。与圆。外切时，r+1=5,厂=4,当圆。与圆。内切时，r—1=5,r

=6,所以圆。的方程为（x—4）2+0+3）2=16或（x—4）2+（y+3）2=36.

胭题技巧---------------------------------

处理两圆相切问题的两个步骤

;电江「而瓦质灌荡兔隹而而居而万虚宴不访1

定性若只是相切，则必须分两圆内切或两圆外切，

:两种情况讨论

［转化思想，即将两圆相切的问题转化为两：

蛀仍，圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值，

［（内切时）或两圆半径之和（外切时）的

:问题:

《跟踪训练若圆x2+j?2=m与圆x2+y2+6x—8^—11=0内切，则m=

解析：圆一十产二根的圆心坐标为（0,0）,半径,

圆x2+y2+6x—8y—11=0的圆心坐标为（一3,4）,半径rz=6.因为两圆内切，

且圆心距d—5,

所以|6一|=5,

解得m=1或m=121.

答案：1或121

考点二两圆相交问题

-3］已知圆Ci：x2+y2+2x—6y+l=0,圆C?：j?+y2—4x+2y_11=0,

求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

【解】设两圆交点为A,B,则A,B两点的坐标均满足方程组

'x2+y2+2x-6y+l=0,①

<

f+y2—4x+2y—11=0.②

①一②，得3x—4y+6=0.

因为A,B两点坐标都满足此方程，所以3x—4y+6=0即为两圆公共弦所

在直线的方程.

易知圆Ci的圆心为Ci(—1,3),半径厂=3.

1-1X3-4X3+619

又点Ci到直线A3的距离d=-J/,、1=与.

\3-+(-4)。

所以以司=2炉工^=2X小2—闿=y,

24

即两圆的公共弦长为W.

胭题技巧---------------------------------

(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆Ci:f+V+Dix+Eiy+RiMO与圆。2：芦十丁十力4十及丁十八二。相交，

则两圆公共弦所在直线的方程为(Di—»)x+(Ei—E2)y+B—仍=0.

(2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出

弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构

成的直角三角形，根据勾股定理求解.

《跟踪训练若圆X2+^2=4与圆九2+,2+2〃>-6=0(4>0)的公共弦长为

2小，则。=.

解析：两圆的公共弦所在的直线方程为分一1=0(。>0),

圆/+>2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆心到公共弦所在直线的距离d=

I-H_1

a，

所以=2。，4—gj,解得a=L

答案：1

课堂巩固日自1测

1.圆(x+3)2+(y—2)2=1和圆(x—3)2+(y+6)2=144的位置关系是()

A.相切B.内含C.相交D.外离

解析：选B.因为两圆的圆心距d=d~(3+3)―2+~(—6—2)~=10<12—1

=11,所以两圆内含.

2.已知圆”的圆心坐标为(2,0),圆/与圆。：f+y2=l外切，则圆M

的方程为()

A.(X-2)2+/=2B.(x-2)2+y2=l

C.f+(y—1/=1D.x2+(y-2)2=l

解析：选B.两圆圆心距2,圆M的半径为2—1=1,所以圆M的方程为(x

—2)2+y2=1.

3.已知圆x1+y2—4x+6y=0和圆x1+y2-6x=0交于A,B两点，则公共

弦A3的垂直平分线的方程为()

A.尤+y+3=0B.2x—y—5=0

C.3x-y-9=0D.4x—3y+7=0

解析：选C.由题意知公共弦A3的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线.两

-3—0

圆的圆心分别为(2,—3),(3,0),所以所求直线的斜率左=不~丁=3,故所求

Z—3

直线方程为3%—y—9=0.

4.已知以C(3,4)为圆心的圆与圆f+y2=l外切，求圆C的方程.

解：设圆C的半径为r,则圆C的方程为(x—3)2+(>一4)2=/.

由题意得两圆圆心距d=~\j(3—0)2+(4—0)2=5,

因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即5=厂+1,解得厂=4.

故圆C的方程为(x—3)2+0—4尸=16.

课后达标一检测

[A基础达标]

1.圆Ci：d+yul和02：d+产―6y+5=0的位置关系为()

A.外切B.内切

C.相离D.内含

解析：选A.方程x2+y2—6y+5=0化为x1+(y—3)2=4,所以两圆的圆心为

Ci(O,0),。2(0,3),半径为n=1,n=2,而|CiQ|=3=ri+r2,则两圆相外切，

故选A.

2.圆％2+丁2—2%+尸=0和圆x1+y2+2x+Ey—4=0的公共弦所在的直线方

程是x—y+l=0,则()

A.E=-4,F=8B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8D.E=4,F=3

%2+y2_2x+/=0,

解析：选C.由题意联立两圆方程｛99:八得4%+£>—4—尸

x£+y^+2x+Ey—4=0,

E-4-F

=0,则4=—1,=1，解得E=—4,R=-8.故选C.

3.已知圆A,圆3相切，圆心距为10cm,其中圆A的半径为4cm,则圆

B的半径为（）

A.6cm或14cmB.10cm

C.14cmD.无解

解析：选A.当两圆外切时，d=rAJ（-rB,即10=4+FB,所以「B=6cm;当两

圆内切时，rB-rA=10,则5B=10+4=14(cm).

4.圆4y+7=0与圆4x+10y+13=0的公切线的条数

是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选D.两圆的圆心距d=N（—2—2）2+（2+5）,=-\y65,半径n

=1,n=4,所以d>n+f2,所以两圆相离，故有4条公切线，故选D.

5.已知直线丁=-x被圆M：x2+y2+Ey=o（E<o）截得的弦长为2霹，且

圆N的方程为好十丁―2%—2y+l=0,则圆”与圆N的位置关系为（）

A.相交B.外切

C.相离D.内切

解析：选A.圆炉+产+与/心。）的圆心“0,一§,半径为—号.

£122

所以4=2+(-^-)2,解得E=—4.

所以圆M的圆心”(0,2),半径为2.

圆N的圆心N(l,1),半径为1.

因为(0—1)2+(2—1)2=y[2,且2—1V|MN|<2+1,所以两

圆相交.

6.(多选)半径为6的圆与x轴相切，且与圆3)2=1内切，则此圆的

方程可以是()

A.(x—4)2+(y—6)2=6

B.(x+4)2+(y—6产=6

C.(x—4)2+(y—6产=36

D.(x+4)2+(y—6)2=36

解析：选CD.由题意可设圆的方程为(x—a)2+(y—6产=36,又由两圆内切，

得弋a*1+(6—3)2=5,所以/=16,所以。=±4,所求圆的方程为(x—4>+(y

—6户=36或(x+4)2+(y—6户=36.

7.两圆交于点A(l,3)和3(m，1),两圆的圆心都在直线x—y+4=0上，

贝I]m=.

3—1

解析：直线A3与两圆圆心所在直线垂直，所以——Xl=-1,解得机=

1—m

3.

答案：3

8.已知两圆(x+2)2+(y—2)2=1与(X—2)2+(>一5)2=户(厂>1)相交，则实数「

的取值范围是.

解析：因为两圆的圆心距为d=5,又因为两圆相交，所以彳所以

r+l>5,

4<r<6.

答案：(4,6)

9.若点A(Q,b)在圆f+Vud上，则圆(元—〃)2+y2=i与圆d+o—byMi

的位置关系是.

解析：因为点4。，力在圆V+上，所以〃2+62=4.

又圆一十❶一〜y二1的圆心Ci(O,b),半径ri=l,

圆(%—〃)2+y2=1的圆心C2(Q,0),半径及=1,

则圆心距d=|CC2|=yja2+b2=木=2=r\+n,

所以两圆外切.

答案：外切

10.已知圆环^+产一2砂=0(〃>0)截直线工+尸0所得线段的长度是2爽,

判断圆M与圆N：(%—1)2+。一1)2=1的位置关系.

解：把圆M的方程化成标准方程为x1+(y—d)2=a2,

所以M(0,〃)，n=a.

所以点M到直线x+y=0的距离d=g,

由题意可得，卜"十2=/,又Q>0,所以〃=2,

所以M0,2),n=2.又N(l,1),「2=1,

所以|m7|=啦，所以|ri—「2|<|MN|<ri+2

所以两圆相交.

[B能力提升]

11.(多选)(2022・厦门高二期末)已知圆O：%2+,2=4和圆M：/+产+公一

2y+l=0相交于A,5两点，贝U()

A.圆。与圆M有两条公切线

B.圆。与圆又关于直线AB对称

C.线段A3的长为手

D.若E,R分别是圆。和圆〃上的点，则|£网的最大值为4+小

解析：选ABD.圆。：f+y2=4的圆心为(0,0),半径厂=2,圆M:x2+y2

+4x-2y+l=0,即(x+2)2+(y—1)2=4,其圆心为(一2,1),半径R=2.对于A,

因为圆。与圆M相交，所以有两条公切线，A正确；对于B,两圆方程相减得

4x—2y+5=0,即直线A3的方程为4x—2y+5=0,易知圆心。(0,0)与圆心般(一

2,1)关于直线A3对称，又两圆半径相等，所以B正确；对于C,由B的结论，

可知依3|=2\^?2—(号J=2\^3|=VT1,故C错误；对于D,若E,F

分别是圆。和圆M上的点，则|EW的最大值为|“。|+叶7?=小+4,故D正确.故

选ABD.

12.已知M,N是圆A：x2+y2-2x=0与圆B：x2+y2+2x-4y=0的公共

点，则△§网的面积为.

解析：由题意，可知圆B的圆心坐标为(一1,2),半径为小.联立

金+y2-2%=0

<

97'可得直线MN的方程为％—y=0,所以5(—1,2)到直线

X+V+2x—4y=0,

MN的距离为।=乎,线段MN的长度为2yj(小)2—［啕2=

也，所以的面积为3义X^/2.

答案：I3

13.已知点P(2,—2)和圆C：(x+1)2+(>一2)2=16,则P在圆C(填

内”、“外”或“上”)；以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为

解析：由题知C(-1,2),圆C的半径为4,所以\PC\=

7(2+1)2+(—2—2)2=5>4,所以尸在圆C外.设以尸为圆心且和圆C

内切的圆的标准方程为(x—2)2+(>+2)2=/，r>0,则|PC|+4=r,即r=9,所

以以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x—2)2+(y+2)2=81.

答案：外(x—2)2+(y+2)2=81

22

14.已知圆Ci：x+/-2x-6y-l=0^nC2：jr+y-10x-12y+45=0.

(1)求证：圆Cl和圆C2相交；

(2)求圆Ci和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.

解：(1)证明：将圆C1的一般方程化成标准方程，为(X—1)2+。-3)2=11,

则圆G的圆心Ci(l,3),半径.将圆。2的一般方程化成标准方程，为(工

-5)2+。-6)2=16,则圆。2的圆心C2(5,6),半径相=4.

两圆圆心距d=|CQ|=5,n+n=\[li+4,|n—r2|=4—*\/Tl,

所以|ri—r2|<dOi+r2,所以圆Ci和Q相交.

(2)将圆。和圆C2的方程相减，得4x+3y—23=0,所以两圆的公共弦所在

直线的方程为4x+3y—23=0.设圆心。2(5,6)到直线4x+3y—23=0的距离为di,

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