高中数学必修一函数

高中数学必修一函数

一、函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的，如果按照*个确定的对应关

系f,使对于集合A中的任意一个数*,在集合B中都有的数f(*)和

它对应，则就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作：

y=f(*),*£A.函数的三要素为

找错误：」其中，*叫做自变量，*的取值范围A叫做函数的定义

域；

•与*的值相对应的y值叫做函数值，所以集合B为值域。

注意：1、如果只给出解析式y=f(*),而没有指明它的定义域,

则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数

的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

专项练习1.求函数的定义域：

V*2-2x-15

y="Q

类型1.⑴x+3⑵y=(2x-l)⑶

y=log2(X+])+l4-X"总结:

能使函数式有意义的实数*的集合称为函数的定义域，求函数的

定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)

偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)

指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些根

本函数通过四则运算结合而成的.则，它的定义域是使各局部都有意

义的*的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题

中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

（注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。）

类型2抽象函数求定义域：

1.〃幻的定义域，求复合函数“9（x）1的定义域方法总结

练习1.函数f（x）的定义域为[-L5],求“3》一5）的定义域为

练习2、设函数/*）的定义域为[。，＞],则函数.〃/）的定义域为

2.复合函数/恰（,切的定义域，求的定义域方法总结

练习1.假设函数〃x+i）的定义域为1-2,3],求函数“X）的定义

域.

练习2.函数“x2-2x+2）的定义域为[0,3],求函数/（X）的定

义域.

3.复合函数r【g（x）i的定义域，求“力（x）l的定义域方法总结

练习1.假设函数/（x+1）的定义域为[-2,3],则函数的定

义域是

练习2、函数，=*g（x+D]的定义域为04心9,则

y=f（3*-5）的定义域为_。

4."x）的定义域，求四则运算型函数的定义域

假设函数是由一些根本函数通过四则运算结合而成的，其定义域

为各根本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

核心方法总结上

些

专项练习2一样函数判断方法L

些

例1.

专项练习3函数的值域

一次函数'=kx+匕（卜工。）的值域为R.

二次函数y二Qx2+bx+c（aw°）,当。＞0时的值域为，当QV0时的值域

反比例函数'的值域为{ywR|yw0}.指数函数

y-且"1）的值域为

对数函数°x（a＞0且owl）的值域为R

1.二次函数在给定区间上的值域问题

（1）尸出+2/知（0W运2）（2）y=3—2求一必（一

⑶尸和+2*+3（—3★常1）（4）9=3—2次一切（一2WQ1）

2.kGR,求函数yk/+2kx+l,求£[—3,2]的最值

3.函数广（求）=一必+2a求+1—&在时有最大值2,求a

的值.

总结二次函数求值域方法上

些

2.换元法

（1）.=2求一3+I?（2）＞=*+1+、T-2x（3）

y=4*-3x2l1(0<X<2)3.单调性法

y=logi*(x>2)

(l)y=1Og2(T2+2X)(2)24.别离常

_c*+dx+22x+2

数法形如'QX+b⑴y=x+1(2)y=X-l(3)y=l-X(l<*<4)

类型4求函数的解析式

1.待定系数法：在函数解析式的构造时，可用待定系数法.

例1设f(x)是一次函数，且flf(x)l=4x+3,求f(x).

2、换元法：复合函数「【9(x)1的表达式时，还可以用换元法求

f(x)的解析式注意函数定义域

例2r(4+l)=x+2«,求/x)

变式2.，(X+D=X2+2X+3,求f⑸的解析式.

3、配凑法：复合函数/lg(x)l的表达式，求/")的解析式，注

意所求函数/'(X)的定义域

例3八4+1)=x+2、G,求/Xx)

变式3./"(x+1)=x2t2Z3,求/1(/)的解析式.

4、构造方程组法：假设的函数关系较为抽象简约，则可以对变

量进展置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式.

,al,J(x)滴足/(X)-2/(J)=x,“)

例4设*求1IX).

变式4./(X)_2/(_*)=x求函数〃*)的解析式.

二、函数的性质

1.函数单调性

(1).设函数y=f(*)的定义域为I,「如果对于定义域I内的*

个区间D内的任意两个自变量*1,*2,

，则就说f(*)在区间D上是增函数。，区间D称为y=f(*)的单调

增区间；如果对于区间D上的任意两个自变量的值*1,*2,

，则就说f(*)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(*)的单调

减区间.

注意：1、函数的单调性是在定义域内的*个区间上的性质，是函

数的局部性质；

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量*1,*2；当*1<*2时-，

总有f(*l)<f(*2)〔或f(*l)>f(*2))

练习

3、函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性一

样的区间和在一起写成其并集.

用定义证明在仆)=2言^在(0.+8)上是减函数.

用定义证明

1

r（x）=x+7在ILI8)上单调递增

总结：函数单调区间与单调性的判定方法

(A)定义法：

1任取*1,*2GD,且*1<*2；2作差f(*l)—f(*2)；3变形(通

常是因式分解和配方);4定号〔即判断差f(*D—f(*2)的正负)；

5下结论〔指出函数f(*)在给定的区间D上的单调性).

2.求函数的单调区间

(2).函数的单调区间求参数的范围

练习函数/00二十+2(。-1)》+2在区间(-8,4]上是减函数,

则实数a的取值范围

(3).复合函数

u=g(*)y=f(u)y=f[g(*)]

增增增

增减减

减增减

减减增

如果y=f(u),(uEM),u=g(*),(*£A),则y=f[g(*)]=F(*),(*e

A)称为f是g的复合函数。复合函数的单调性：复合函数f[g(*)]

的单调性与构成它的函数u=g(*),y=f(u)的单调性密切相关，其规

律如下：

复合函数单调性：口诀：同增异减

(4)、判断函数的单调性常用的结论

①函数=一/⑴与P=的单调性相反；

1

y=----

②当函数y=/(.r)恒为正或恒有负时，/⑶与函数y=/(.r)的单

调性相反；

③函数P=〃x)与函数y=/(K)+C(C为常数)的单调性一样；

④当c>o(C为常数)时，."/(•")与y=c・/(K)的单调性一样;

当c<o(c为常数)时，y=/a)与y=c・/(x)的单调性相反;

⑤函数“X）、g（x）都是增（减）函数，则〃x）+g（x）仍是增（减）

函数；

⑥假设〃外＞O，g（x）＞0且“X）与g（x）者B是增（减）函数，贝IJ〃、）唔（幻

也是增〔减）函数；

假设/（x）＜0，g（、）＜0且与g（x）都是增（减）函数，贝lj/（'）・g（x）

也是减〔增）函数；

⑦设〃幻＞0,假设/（x）在定义域上是增函数，则师、

1

都是增函数，而同是减函数.

2.函数的奇偶性

（1）偶函数

一般地，对于函数f（*）的定义域内的任意一个*,都有，则f（*）

就叫做偶函数.

奇函数

一般地，对于函数f（*）的定义域内的任意一个*,都有，则f（*）

就叫做奇函数.

注意：1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的

奇偶性是函数的整体性质；

函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、由函数的奇偶性定义可知具有奇偶性的函数定义域关于原点

对称.

3.具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;

奇函数的图象关于原点对称.

4假设一个函数为奇函数且在原点有定义则八°)=5既奇又偶函

数有无穷多个/(*)二°,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

(1)判断函数的奇偶性

/(x)=x+■—

1.''X2.F(次=必，[2,3].

6.定义在R上的函数f[*)满足对任意*,y£R都有f(*+y)

=f1*)+f(y〕，求证：f[*)为奇函数.

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1首先确定函数的定义域，并判断其定义域；

2确定f(一定与f(*)的关系;

3作出相应结论：假设f(—*)=f(*)或f(—*)—f(*)=0,

则f(*)是偶函数；假设f(—*)=—f(*)或f(—*)+f(*)=0,则

f(*)是奇函数.有时用f(-*)±f(*)=0或f(*)/f(-*)=±1来判定。

(2)奇偶性与单调性的关系

奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性完全;

偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性恰恰

相反.

(3)用奇偶性求函数值

(4)函数的奇偶性求函数的解析式

三、常用函数的性质

一、指数函数

指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y叫做指数函数，其中*

是自变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和i.即

a>0且aWl

2、指数函数的图象和性质

定义域R，值域

⑴过定点即*=0时，y=l

⑵在R上是减函数(2)在R上是增函数

性质

(3)当*>0时，

(3)当*>0时,0<y<l;

y>l；

当*<0时,y>l

当*<0时,0<y<l

二、对数函数

1、对数函数的概念：函数"二l°g网5>0,且aWl)叫做对数函

数，其中*是自变量，函数的定义域是10,+8).

注意：(1)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义,

注意区分。

如："bgy=log.x+2都不是对数函数，而只能称

其为对数型函数

2、对数函数的图像与性质：对数函数了,0S(a>0,且aWl)

0<a<1a>1

定义域：_值域：R

过点—

性在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数

质当*>1时，y<0当*>1时，y>0

当*=1时，y=0当*=1时，y=0

当0<*<1时，y>0当0<*<1时，y<0

注意1.y=a*(a)0且aW1)与y=loga*(a>0且a#1),图象关

于y=*对称。

2指数函数.当a>l时a的值越大图像越

当O〈a〈l时a的值越小图像越

对数函数.当a>l时a的值越大图像越

当时a的值越小图像越

对数运算性质

如果且