分层随机抽样教案

9.1.2分层随机抽样

教材分析

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章«9.1.2分层抽样》，本节的主要内

容在本章的结构上，通过大背景的“串联”，从大背景中不断提出新问题，从而通过问题.链进行探究学习，

合理选择抽样方法的必要性并掌握分层抽样方法。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心

素养。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.理解分层抽样的基本思想和适用情形..1.数学建模：结合实际问题情景，理解分层抽样的必

B.掌握分层抽样的实施步骤.要性和重要性；

C.了解二种抽样方法的区别和联系.2.逻辑推理：学会用分层抽样的方法从总体中抽取样

本；

3.直观想象：对简单随机抽样、分层抽样方法进行比

较，揭示其相互关系.

4.数学运算：总体平均数的估计方法

教学重难点

1.教学重点：理解分层抽样的基本思想和适用情形..

2.教学难点：掌握分层抽样的实施步骤，会计算总体平均数.

课前准备

多媒体

教学it程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

1、简单随机抽样的概念：

设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为M如果通过逐个抽取由生活中的问

的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相题出发，提出问题，

等，就称这样的抽样为简单随机抽样.让学生感受到采用

2、简单随机抽样的特点：分层抽样的必要性。

①总体个数有限；②逐个进行抽取；③机会均等抽样.发展学生数学抽象、

3、简单随机抽样的常用方法：直观想象和逻辑推

①抽签法；②随机数表法.理的核心素养。

抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总

体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可

能会出现比较“极端”的样本，

二、问题探究

例如,在对树人中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50

个个体大部分来自高个子或矮个子的情形，这种“极端”样本的平均数

会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.

能否利用总体中的•些额外信息对抽样方法进行改进呢？

在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采取简单随机抽样的方

式抽取了50名学生。

1.抽样调查最核心的问题是什么？

2.会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情

形？

3.为什么会出现这种“极端样本”？

4.如何避免这种“极端样本”？

样本代表性;会;抽样结果的随机性个体差异较大;分组抽样，减少组内

差距

在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有

386名。

［一警分配］［¥例分配—1

样本量在男生、女生中应如何分配？

男生样本量;韶•><总样本量

女生样本量总样本量

巧广塞x50,23〃小患—27

假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000

人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，

要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽

取样本？

通过具体问题，

让学生感受分层抽

样的概念及方法，发

展学生数学抽象、逻

辑推理的核心素养。

你认为哪些因素影响学生视力？抽样要考虑哪些因素?

分层抽样

该层个体数

每一层抽取的样本数=总体个体数

二抽样比例X该层个体数

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个

体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽

样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样

方法称为分层随机抽样（stratifiedrandomsampling）,每一个子总体

称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，

那么称这种样本量的分配方式为比例分配.X总样本量

做一做

1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（）

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家

庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，

要从中抽取一个容量为100的样本

C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

【解析】A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；

C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中

总体个体差异明显，适合用分层抽样.

【答案】B

2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆,6000辆和2000

辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行

检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、

________辆.

【解析】三种型号的轿车共9200辆，抽取样本为46辆，则按n

yNU1U

-200的比例抽样，所以依次应抽取1200、200—6（辆），6000、200—

30（辆），2000*20G—10（辆）.

【答案】63010

1.分层抽样的步骤

按某种特征将总体分成若干部分（层）

通过实例分析，让

见辟”［一样本容\

抽样比'总体容员

学生掌握分层抽样

十I

按抽样比确定每层抽取的个体数的基本步骤，并熟悉

各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方的应用能力，提升推

<m>—法抽取样本

理论证能力，提高学

综合各层抽样，组成样本

生的数学抽象、数学

2.分层抽样的特点有哪些？

建模及逻辑推理的

【提示】（1）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成

核心素养。

的；（2）分成的各层互不交叉；（3）各层抽取的比例都等于样本容量在

总体中的比例，即1，其中〃为样本容量，N为总体容量.

3.计算各层所抽取个体的个数时，若M玲的值不是整数怎么办？

【提示】为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比若

M看的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多

余的个体.

探究3分层抽样公平吗？

【提示】分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、

分层无关.

如果总体的个数为M样本容量为〃，N,•为第i层的个体数，则第i

层抽取的个体数中我,每个个体被抽到的可能性是华=热吟/

4.简单随机抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？

【提示】简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分

层抽样中.简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关.

分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两种抽

样方法都具有代表性.

分层随机抽样的平均数

两种抽样方法的特点及其适用范围如下表：

1.在简单随机抽样中如何估计总体平均数？

2.那么在

类别简单随机抽样分层抽样

分层随机抽

各自从总体中逐个将总体分成几层，分

样中如何估

特点抽取层进行抽取

计总体平均

\

在各层抽样时采用简

相互数呢？

单随机抽样或系统抽

联系是否也可以

样

直接用样本

适用总体中的个体总体由存在明显差异

平均数进行

范围数较少的几部分组成

估计？

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含

的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为胆和〃.我们用Xi，

X1....X”表示第1层各个个体的变量值，用为，X2，…，X",表示

第1层样本的各个个体的变量值；用H，%，…，加表示第2层各

个个体的变量值，用力，竺，…，力表示第2层样本的各个个体的变

量值,则:

分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

第1层的总体平均数和样本平均数为：又=二十八2+…八"，=

M

-X+%,+...其“i"i

x=------------—

m

第2层的总体平均数和样本平均数为:

歹」+乙+.%_13

'NNM

y-

n

总体平均数和样本平均数为:

MN

yx.+yr--

白,白1_MX+NY_M-N-

-----------------------------AH-------I

M+NM+NM+NM+N

E^+E^rrix+riym_n_

j=l1=1---------=-------x+-------y

m+nm+nm+“m+n

由于用第一层的样本平均数无可以估计第1层的总体平均数

X,第二层的样本平均数歹可以估计第2层的总体平均数

「，因此我们可以用

Mx+NyM-N-

-------------=-----------XH--------y

M+NM+NM+N

估计总体平均数而

对各层样本平均数加权（层权）求和

,£M>+£N>•__

;1m〃n

w=-------—=—=---------尤+-------y

m+几加+〃m-vn

m_n_m+n

M+N

MmNnM-N-

--------=-------;---------=-------=---------xH-------------y

M+Nm+nM+Nm+nM+NM+N

◎分层随机抽样如何估计总体平均数

--------X4------------V

M+NM+N.

在比例分配的分层随机中抽样中

MN

M-N-m-〃一一2七+2乂

----------x+-----------y=-------x+--------y-co=^i___—

M+NM+Nm+nm+n

例1.在树人中学高一年级的712名学生，男生有326名、女生有

386名，分别抽取的男生23名男生、27名女生样本数据如下

173.174.166.172.170.165.165.168.164.173.

0000000000

172.173.175.168.170.172.176.175.168.173.

0000000000

167.170.175.

000

16161615161616151616

3.04.01.07.02.05.08.05.04.02.5

15151614151617171514

4.04.04.09.09.01.00.01.05.08.0

17161515151617

2.02.58.05.57.03.02.0

样本女生平均身高=160.6,样本男生平均身高=170.6

M—N—326386,_

--------X4----------y=-----X170.6H------x160.6«165.18

M+NM+N712712

高一年级有男生490人，女生510人，张华按照男生女生进行

分层，得到男生女生平均身高分别为170.2cm和160.8cm。

(1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100.那么男生、

女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高一年级全体学生

的平均身高。

4951

—x170.2+—X160.8»165.4

100100

（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,那么

在这种情况下，如何估计高一全体学生的平均身高。

小明用比例分配的分层抽样方法，从高一年级的学生中抽取了十

个样本量为50的样本，计算出样本平均数。与相同样本量的简单随

机抽样的结果比较。

序号12345678910

简单随

165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.3165.7165.0

机抽样

分层随

165.8165.1164.3164.3166.4164.6165.2164.9166.1165.1

机抽样

167

166.5

166

165.5

165

164.5♦简单随机抽样

164・分层舐机抽样

163.5一实际值

163

162.5

12345678910

三、达标检测

1.下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是（）通过练习巩固本

A.从一箱3000个零件中抽取5个入样节所学知识，通过学

B.从一箱3000个零件中抽取600个入样生解决问题，发展学

C.从一箱30个零件中抽取5个入样生的数学抽象、逻辑

D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入推理、数学运算、数

样学建模的核心素养。

【答案】D

【解析】D中总体有明显差异，故用分层抽样.

2.一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是4：3：

1,现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽

取的个数为（）

A.20,15,5B.4,3,1C.16,12,4D.8,6,2

【答案】A【解析】三种灯泡依次抽取的个数为40x*=20,40x於

l5,40x1=5.

3.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有

25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中

抽20人，各年龄段分别抽取的人数为（）

A.7,5,8B.9,5,6C.7,5,9D.8,5,7

【答案】B

【解析】由于样本容量与总体个体数之比为需=/，故各年龄段抽

取的人数依次为45x1=9（人），

25xg=5（人），20—9-5=6（人）.

4.某企业三月中旬生产4,B,C三种产品共3000件，根据分层抽

样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

：品类型ABC

士数量（件）1300

2本容量130

由于不小心，表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清

楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,

根据以上信息，可得C产品的数量是_______件.

【解析】抽样比为130：1300=1：10,即每10个产品中抽取1

个个体，又4产品的样本容量比C产品的样本容量多10,故C产品

的数量是[（3000—1300）—100]x；=800（件）.

【答案】800

5.某市化工厂三个车间共有工人1000名,各车间男、女工人数如

下表：

第