2024贵州中考数学一轮知识点复习 微专题 辅助圆在解题中的应用（课件）

微专题辅助圆在解题中的应用模型一

点圆最值模型分析一、圆中最值问题例1如图，⊙O的半径为2，点E为⊙O上的动点，点D为⊙O外一定点，且DO＝4，在图中画出DE最大及最小时点E的位置，并求出DE的最大值及最小值．【思维教练】点D在⊙O外，当点E位于DO的延长线上时，DE取得最大值，当点E位于线段DO上时，DE取得最小值．例1题图当点E位于点E1时，DE1＝DO＋r＝4＋2＝6，∴DE的最大值为6，当点E位于点E2时，DE2＝DO－r＝4－2＝2，∴DE的最小值为2.解：如解图，连接DO并延长交⊙O于点E1，此时DE取得最大值；设线段DO与⊙O的交点为E2，此时DE取得最小值．例1题图E1E2例2如图，⊙O的半径为6，点E为圆上的动点，点D为圆内一定点，且DO＝3，在图中画出DE最大及最小时点E的位置，并求出DE的最大值及最小值．例2题图【思维教练】点D在⊙O内，当点E在DO延长线上时DE取得最大值，当点E在OD的延长线上时，DE取得最小值．当点E位于点E1时，DE1＝DO＋r＝6＋3＝9，∴DE的最大值为9，当点E位于点E2时，DE2＝r－DO＝6－3＝3，∴DE的最小值为3.解：如解图，连接DO并延长交⊙O于点E1，此时DE取得最大值；作OD的延长线交⊙O于点E2，此时DE取得最小值；E1E2例2题图模型应用1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径作⊙D，E是⊙D上一点，若AB＝8，BC＝6，则线段AE长的最小值为______，AE长的最大值为______．第1题图2.已知PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的半径为3，∠APB＝60°，点C在⊙O上运动，则PC长的最大值为________．第2题图9模型二线圆最值模型分析例3如图，⊙O的半径为3，点P为圆上的动点，直线l与⊙O相离，且圆心O到直线l的距离为5，在图中画出点P到直线l的距离最大及最小时点P的位置，并求出该最大值及最小值．例3题图【思维教练】直线l与⊙O相离，过圆心O向直线l作垂线，且当点P位于该垂线段上时，点P到直线l的距离取得最小值，当点P位于垂线段的反向延长线上时取得最大值.【解法提示】过点O作直线l的垂线于点N，延长NO交⊙O于点P1，此时点P到直线l的距离最大；设线段NO交⊙O于点P2，此时点P到直线l的距离最小；当点P位于点P1时，NP1＝r＋ON＝3＋5＝8，∴点P到直线l的最大距离为8；当点P位于点P2时，NP2＝ON－r＝5－3＝2，∴点P到直线l的最小距离为2.解：5，画出点P如解图．NP2∟P1例3题图例4已知⊙O的半径为3，AB为⊙O的一条弦，点C为圆上的动点，且圆心O到直线AB的距离为2.(1)如图①，当点P在优弧AB上时，在图中画出点P到直线l的距离最大时点P的位置，通过计算可知该最大值为________；图①图②例4题图【思维教练】直线l与⊙O相交，过圆心O向直线l作垂线．若点P在优弧上时，垂线与优弧的交点即使得点P到直线l的距离最大；若点P在劣弧上时，垂线与劣弧的交点即使得点P到直线l的距离最大．图①图②例4题图当点P位于点P1时，点P到直线l的距离最大，最大值为d＋r＝2＋3＝5；【解法提示】过点O作直线AB的垂线于点N，延长NO交优弧AB于点P1，NP1答案：5例4题图①(2)如图②，当点P在劣弧AB上时，在图中画出点P到直线l的距离最大时点P的位置，通过计算可知该最大值为________．【思维教练】直线l与⊙O相交，过圆心O向直线l作垂线．若点P在优弧上时，垂线与优弧的交点即使得点P到直线l的距离最大；若点P在劣弧上时，垂线与劣弧的交点即使得点P到直线l的距离最大．1当点P位于点P2时，点P到直线l的距离最大，最大值为r－d＝3－2＝1.【解法提示】延长ON交劣弧AB于点P2，NP2例4题图②模型应用3.如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，OM＝5，以M为圆心，2为半径作⊙M，则⊙M上的点到直线OA的最大距离为________，最小距离为________．第3题图拓展：求圆中三角形面积最值问题时，若高经过圆心或者高所在的延长线经过圆心时，面积往往取最大值．4.已知AB为⊙O的直径，点P为⊙O上一点，AB＝4，则△APB的最大面积为________.第4题图4二、构造辅助圆模型一定点定长模型模型分析已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(如图①)(依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合)．图①模型应用5.如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，且∠BAC＝40°.(1)定点(圆心)为点________，定长(半径)为线段___________________的长；画出辅助圆草图；第5题图AC(或AB或AD)A(2)求∠CAD的度数．第5题图∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝2∠BDC＝40°，∴∠CBD＝∠BAC＝40°，∴∠CAD＝2∠CBD＝80°.(2)∵AB＝AC＝AD，∴点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上．如解图，6.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的角平分线，将线段AD绕点A逆时针旋转，点D的对应点为D′.(1)定点(圆心)为点________，定长(半径)为线段________的长；画出辅助圆草图；第6题图ADAD′(2)当旋转角为120°时，求点D运动的路径长；第6题图D′(2)由题意可知，点D的运动轨迹为

，如解图，∵△ABC为等腰三角形，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝60°，∴∠ABD＝30°.∵AB＝6，∴AD＝

AB＝3，由题意知∠D′AD＝120°，∴点D的运动的路径长为

＝2π；(3)在线段AD旋转的过程中，求CD′的最大值．第6题图D′(3)当C、A、D′三点共线且C、D′在点A的两侧时，CD′取得最大值，由(2)知，AD＝3，∴AD′＝AD＝3，∴CD′的最大值为AC＋AD′＝6＋3＝9.7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF折叠，得到△GEF，点A的对应点为点G，点F沿AD边从点A运动到点D停止运动．(1)画出辅助圆草图；第7题图

解：(1)辅助圆草图如解图所示第7题解图(2)在这一过程中，求点G运动的路径长；(2)∵AB＝4，E是AB的中点，∴AE＝

AB＝2，由折叠的性质得GE＝AE＝2，∠GEF＝∠AEF，∴点G在以点E为圆心，AE长为半径的圆弧上运动，如解图，当点F与点D重合时，AD＝

，∴tan∠AED＝

，∴∠AED＝60°，∴∠AEG＝2∠AED＝120°，∴点G运动路径长为第7题解图(3)求DG的最小值．(3)当D、G、E在同一直线上时，DG取得最小值，∴DG＝DE－EG，在△DAE中，DE＝

，∴DG的最小值为4－2＝2.第7题解图模型二定弦对定角模型(黔西南州2017.26)模型分析若已知角为定角，且该角所对的线为定长时，则构造△ACB的外接圆．当∠C＜90°时，如图①,∠C＝90°时，如图②,当∠C＞90°时，如图③.图①图②图③模型应用8.如图，已知AB＝6，∠ACB＝90°.(1)定弦为________，定角为________，画出辅助圆草图及面积最大时点C的位置；(2)△ABC的面积的最大值为______．第8题图解：(1)以AB为直径构造辅助圆，如解图，当OC⊥AB时，△ABC的面积最大AB∠ACB∟O99.如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D.连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，已知CD＝2.(1)定弦为________，定角为________，画出辅助圆草图及线段OE最大时点E的位置；第9题图CD∠AOB解：(1)辅助圆草图及线段OE最大时点E的位置如解图第9题解图(2)OE的最大值是________．第9题解图10.如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP.(1)定弦为________，定角为________，画出辅助圆草图及线