高中数学总复习提纲

第一章集合与简易逻辑

集合及其运算

集合的概念、分类：

二.集合的特征：

⑴确定性⑵无序性⑶互异性

三.表示方法：

⑴列举法⑵描述法(3)图示法(4)区间法

四.两种关系：

从属关系：对象€、正集合；包含关系：集合三、U集合

五.三种运算：

交集：AB={x|xeAExeB}

并集：AB={x|xeeB}

补集：«A={x|xeU且xwA}

六.运算性质：

(1)A0=A,A0=0.

⑵空集是随意集合的子集，是随意非空集合的真子集.

⑶若AqB,则AB=A,AB=B.

(4)A(aA)=0,A，(aA)=U,粼心)=4.

(5)(楙”、(uB)=a,(AB),(瘠A)1(uB)=Qj(AB).

⑹集合{q,%，%，…，%}的全部子集的个数为2"，全部真子集的个数为2"-1,全部非空真子集

的个数为2"—2,全部二元子集(含有两个元素的子集)的个数为C〉

简易逻辑

逻辑联结词：

1.命题是可以推断真假的语句的语句，其中推断为正确的称为真命题，推断为错误的为假命题.

2.逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.

3.不含有逻辑联结词的命题，叫做简洁命题，由简洁命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复

合命题.

4.真值表：

Pq非Pp且qP或q

真真真真

假

真假假真

假真假真

真

假假假假

二.四种命题：

I.原命题：若p则q

逆命题：若P则q,即交换原命题的条件和结论；

否命题：若q则P，即同时否定原命题的条件和结论；

逆否命题：若rP则iq，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定.

2.四个命题的关系：

⑴原命题为真，它的逆命题不肯定为真；

⑵原命题为真，它的否命题不肯定为真；

⑶原命题为真，它的逆否命题肯定为真.

三.充分条件与必要条件

1.“若p则q”是真命题，记做

“若p则4”为假命题，记做“％4，

2.若pnq,则称p是q的充分条件，q是p的必要条件

3.若pnq,且“%q,则称p是4的充分非必要条件；

若"4q,且则称〃是4的必要非充分条件；

若p=>q,且puq,则称p是q的充要条件；

若〃4q,且〃/q,则称p是q的既不充分也不必要条件.

4.若p的充分条件是q,则qnp；

若p的必要条件是q，则p=>4.

其次章函数

指数与对数运算

分数指数幕与根式：

假如X"=4,则称X是〃的〃次方根，0的"次方根为0,若则当"为奇数时，”的"次

方根有1个，记做标；当〃为偶数时，负数没有〃次方根，正数”的〃次方根有2个，其中正的〃

次方根记做人.负的〃次方根记做-标.

1.负数没有偶次方根；

〃为奇数

2.两个关系式：(折)"=4;

〃为偶数

竺

3、正数的正分数指数哥的意义:”=

-巴1

正数的负分数指数幕的意义：

Na1"

4、分数指数'幕的运算性质：

(1)a"'-an=am+n；(2)am^an=am-ni

⑶(am)n=a'm；(4)(abr=am-bm；

⑸a0=\,其中〃?、〃均为有理数，a,b均为正整数

对数及其运算

1.定义:若ab=N(a>0,且”1,N>0),则b=log〃N.

2.两个对数：

(1)常用对数：。=10,h=logl()N=.

(2)自然对数：a=e=2.71828,b=\ogeN=\nN.

3.三条性质：

(1)1的对数是0,即log“1=0；

(2)底数的对数是1,即logd=l；

⑶负数和零没有对数.

4.四条运算法则：

M

(1)log„(MN)=log„M+log„N；(2)log„—=logM-logN；

Nan

(3)log„Mn=nlogM；(4)log,,VM=-log„M.

an

5.其他运算性质：

⑴对数恒等式：。喘)=6；

(2)换底公式：log*=^f；

logrb

⑶log,,blogjc=log。c；log„b-logta=l；

n

(4)log,„^=-log^.

mfl

函数的概念

映射：设A、B两个集合，假如依据某中对应法则/,对于集合A中的随意一个元素，在集合

B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.

函数：在某种改变过程中的两个变量x、y,对于x在某个范围内的每一个确定的值，依据某

个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做y=/(x),其中x称为

自变量，x改变的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的改变范

围叫做函数的值域.

三.函数)=/")是由非空数集A到非空数集B的映射.

四.函数的三要素：解析式；定义域；值域.

函数的解析式

一.依据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：已知/(J7+l)=x+24,求函数f(x)的解析式.

已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：已知/(x)是一次函数，且f[/(x)]=4x+3,函数f(x)的解析式.

三.由函数八幻的图像受制约的条件，进而求/(x)的解析式.

函数的定义域

一.依据给出函数的解析式求定义域：

(1)整式：xwR

⑵分式：分母不等于0

⑶偶次根式：被开方数大于或等于0

(4)含0次幕、负指数幕：底数不等于0

⑸对数：底数大于0,且不等于1,真数大于0

二.依据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：已知y=/(x)定义域为[2,5],求y=f(3x+2)定义域;

已知y=/(3尤+2)定义域为[2,5],求y=/(x)定义域;

三.实际问题中，依据自变量的实际意义确定的定义域.

函数的值域

一.基本函数的值域问题：

名称解析式值域

一次函数y=kx-¥hR

Q>0时，—―,+00)

4Q

二次函数y=ax2++c

Q<0时，(-00,4ac_b_^

4a

k

反比例函数y=—{ylyeR,且"0}

X

指数函数y=ax{y|y>0}

对数函数y=iog“xR

y=sinx

{y|-l<y<l}

三角函数y=cosx

y=tanxR

二.求函数值域(最值)的常用方法：函数的值域确定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域

的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：视察法、配方法、换元法(代数换元

与三角换元)、常数分别法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*

导数法等.

反函数

—.反函数：设函数y=/(x)(xeA)的值域是C,依据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，

得到x=9(y).若对于C中的每一y值，通过x=°(y),都有唯一的一个x与之对应，那么，

x=/(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=e()>)(yeC)叫做函数

y=F(x)(xwA)的反函数,记作x=/T(y),习惯上改写成y=/T(x).

二.函数f(x)存在反函数的条件是：X、y---对应.

三.求函数的反函数的方法：

⑴求原函数的值域，即反函数的定义域

⑵反解，用y表示x,得了=广()0

(3)交换x、y,得y=/i(x)

⑷结论，表明定义域

四.函数y=/(x)与其反函数y=/T(x)的关系：

⑴函数y=/(x)与＞=的定义域与值域互换.

⑵若y=/(x)图像上存在点①涉)，则尸尸(X)的图像上必有点S,a),即若/(&)=〃，则

P\b)=a.

(3)函数y=/(x)与＞=的图像关于直线y=x对称.

函数的奇偶性：

定义：对于函数/(X)定义域中的随意一个X,假如满意/(-x)=-/(X),则称函数f(x)为奇函

数；假如满意A—x)=/(x),则称函数f(x)为偶函数.

二.推断函数/(X)奇偶性的步骤：

1.推断函数/(X)的定义域是否关于原点对称，假如对称可进一步验证，假如不对称；

2.验证f(x)与f(-x)的关系，若满意/(-x)=-/(x),则为奇函数,若满意f(-x)=/(x),则为偶

函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数.

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于谢对称.

三.已知f(x)、g(x)分别是定义在区间M、N(MN/0)上的奇(偶)函数，分别依据条件推

断下列函数的奇偶性.

1

/(X)g(x)一以X)f(x)+g(x)，(x)—g(x)f(x)-g(x)

/(X)

奇奇奇奇偶

奇

奇偶奇

偶奇奇

偶

偶偶偶偶偶

五.若奇函数/(尤)的定义域包含0,则/(0)=0.

六.一次函数旷=日+力(&H0)是奇函数的充要条件是…；

二次函数片加+法+c(”0)是偶函数的充要条件是它.

函数的周期性：

定义：对于函数/(X),假如存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有

/(x+T)=7(x),则/(x)为周期函数，T为这个函数的一个周期.

2.假如函数/(》)全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/")的最小正周

T

期.假如函数/(x)的最小正周期为T,则函数/(以)的最小正周期为

函数的单调性

一.定义：一般的，对于给定区间上的函数/(x),假如对于属于此区间上的随意两个自变量的值再，

々，当办＜々时满意：

⑴/(X,)</(x2),则称函数/(x)在该区间上是增函数；

(2)/(%,)>/(%2),则称函数/*)在该区间上是减函数.

推断函数单调性的常用方法：

1.定义法：

⑴取值；⑵作差、变形；⑶推断：⑷定论：

*2.导数法：

(1)求函数段)的导数的⑺；

⑵解不等式尸(x)〉0,所得x的范围就是递增区间；

⑶解不等式/(x)<0,所得x的范围就是递减区间.

3.复合函数的单调性：

对于复合函数y=/[g(x)],设〃=g(x),则y=/(〃)，可依据它们的单调性确定复合函数

y=/[g(x)l，详细推断如下表：

y=f(u)增增减减

u=g(x)增减增减

y=加(尤)]增减减增

4.奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同.

函数的图像

一.基本函数的图像.

—.图像变换：

>=/”)fy=f\x)+k

将『=/")图像上每一点向上伏>0)或向下伏〈可平移|&|个单

位，可得y=/(x)+Z的图像

y=/(x)ty=f(x+h)

将y=/(x)图像上每一点向左(〃>可或向右(〃<0)平移I川个单

位，可得y=/'(x+〃)的图像

y=/(x)-y=叭©

将旷=/(X)图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(a>1)

或压缩(0<。<1)为原来的。倍，可得y=qf(x)的图像

>=f(x)-y=f(ax)

将y=/(x)图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩

3>1)或拉伸(0<。<1)为原来的工，可得y=/(ar)的图像

______________________________a

y=f(x)ty=f(-x)

关于y轴对称

y=f(x).y=-f(x)

关于X轴对称

y=/(x)-»y=/(|x|)

将y=/(x)位于>轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像沿y轴

对称到左侧，可得y=/(|x|)的图像

y=f(x)ty=I/(x)I

将y=f(x)位于x轴下方的部分沿x轴对称到上方，可得

y="(x)l的图像

三.函数图像自身的对称

关系图像特征

f(x)=f(-x)关于y轴对称

/(x)=-/(-x)关于原点对称

f{a-x)^f(x-a)关于y轴对称

f(a+x)=f(a-x)关于直线x=a对称

f(x)=f(a-x)关于直线x=与轴对称

2

关于直线=叱对称

f{a+x)=f(b-x)X

2

/(x)=/(x+a)周期函数，周期为a

四.两个函数图像的对称

关系图像特征

y=/(x)与y=/(-%)关于y轴对称

y=f(x)与y=-/(x)关于x轴对称

y=/(x)与y=-f(-x)关于原点对称

y=/(x)与y=/“(x)关于直线y=x对称

y=f(x-a)^y=f(a-x)关于直线x=a对称

y=/(a+x)与/(a-x)关于y轴对称

第三章数列

数列的基本概念

一.数列是依据肯定的依次排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

二.假如数列｛%｝中的第〃项册与项数”之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做

这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式.

三.数列的分类：

按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列

按项数可分为有穷数列和无穷数列

四.数列的前"项和：S“=q+4+。3+…+%T+4,

五.假如已知数列｛%｝的第1项（或前几项），且任一项4与它的前一项（或前几项）间的关系可以

用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种

方法.

如：在数列伍“｝中，4=1,4,=；a,i+l，其中即为数列｛%｝的递推公式，依据

数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可依据数列的前几项推断出数列｛%｝的通项公式，

至于揣测的合理性，可利用数学归纳法进行证明.

如上述数列｛%｝,依据递推公式可以得到：%=,，%=（，%=：，进一步可揣

等差数列

一.定义：假如一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等

差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

二.通项公式：

若已知四、d,则=q+（〃一l）d；若已知a,,,、d,贝（I=a,“+

三.前八项和公式：

若已知q,an,则S“=%x"；若已知4、d,贝+电^——i/

22

注：⑴前〃项和公式S”的推导运用的是倒序相加法的方法.

⑵在数列｛对｝中，通项公式％,前〃项和公式S,均是关于项数〃的函数，在等差数列｛4｝通

项公式%是关于〃的一次函数关系，前〃项和公式S“是关于〃的没有常数项的二次函数关

系.

⑶在等差数列中包含q、d、〃、a”、S“这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因

此在数列运算中，只需知道其中随意3个，可以求出其余基本量.

四.假如a、b、c成等差数列，则称人为a与c的等差中项，且匕=色二.

2

五.证明数列｛《｝是等差数列的方法：

1.利用定义证明：an-a„_,-d(n>2)

2.利用等差中项证明：b=—

2

3.利用通项公式证明：an=an+b

4.利用前〃项和公式证明：S„=an2+bn

六.性质：在等差数列｛““｝中，

1.若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，

即：若若〃?+〃=23则a,“+a“=2a«.

2.若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，

即：若机+〃=左+/,则a,“+a“=a«+q.

3.依次相邻每左项的和仍成等差数列，

即：Sk,S2k-Sk,S3*-S2A成等差数列.

4.%,a,-,an_2,—,a2,为仍成等差数列，其公差为-d.

三.等比数列

定义：假如一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做

等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母q(qwO)表示.

—,通项公式：

n

若已知q、q,则a“=；若已知、q，则«„=amq~"'

三.前八项和公式：

当公比q=1时，Sn=na1

当公比qwl时.，若已知/、a“、q,则S“=幺二股

i-q

若已知可、勺、"，则s"="CT)

i—q

注：(1)等比数列前〃项和公式s”的推导运用的是错位相减的方法.

⑵在等比数列中包含⑷、q、〃、4、S,这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因

此在数列运算中，只需知道其中随意3个，可以求出其余基本量.

四.若a、b、c成等比数列，则称6为。与c的等比中项，且b、c满意关系式8=±疝.

五.证明数列｛4,｝是等比数列的方法：

1.利用定义证明：-^-=q(n>2)

%

2.利用等比中项证明：h2=ac

3.利用通项公式证明：a“=aq

六.性质：在等比数列｛/｝中，

1.若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，

即：若加+〃=2Z,则

2.若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等,

即：若〃?+〃=%+/,则

3.若数列公比则依次相邻每％项的和仍成等比数列，

即又，S2k-Sk,邑*-52«成等比数列。

4.an,an_t,an_2,a,,q仍成等比数列，其公比为

q

数列求和

1.常见数列的前n项和：

(1)自然数数列：1,2,3,n,•••

(2)奇数列：1,3,5,…，2n-l,S“=〃2

(3)偶数列：2,4,611,,,2〃，…s„=〃(〃+1)

2^(^1X2^1)

(4)自然数平方数列：/，22,32,…

2.等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式.

3.数列｛%｝满意：cn=an+bn,其中%、3为等差或者等比数列•

方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和(差).

4.数列｛c,J满意：cn=a„-hn,其中｛%｝是公差为d的等差数列；｛2｝是公比为夕的等比数列.

方法：错位相减.

5.若数列｛%｝满意：---―,~~-,其中2、。、6均为常数.

方法：裂项法，设4=-------J-------=p(---------),其中P为可确定的参数.

(knta>(kn+b)kn+akn+b

第四章三角函数

角度与弧度制

1.弧度与角度的互化：万=180

2.终边相同角：与角a有相同终边的角的集合可以表示为：

｛(3\(3=a+2k;r,keZ｝

3.特别角的集合:

⑴各个象限的角的集合

第一象限角：{a|2k兀<a<%+2k兀,keZ}

rr

其次象限角：{a\—+2k7v<a<兀+2卜兀、kGZ}

3

第三象限角：{a17t4-2k7r<a乃+2匕r,ZGZ}

3

第四象限角：{aI；■乃+2匕a<2乃+2%",左eZ}

⑵角的终边在各个坐标轴上的角的集合

终边在X轴的角：{a|a=&•肛ZwZ}

终边在>轴的角：{a|a=]+Z肛&eZ}

终边在坐标轴上的角：{a|a=hM#£Z}

2

终边在第一三象限角平分线上：{a|a=K+br,左eZ}

4

3

终边在其次四象限角平分线上：{a|a=±乃+br,ZeZ}

4

4.弧长公式和扇形面积公式

设扇形的半径为r,圆心角为a,则

弧长/=|a",扇形的面积S=L/-r=L|a"2

22

随意角三角函数的定义：

定义：以角a顶点为原点0,始边为x轴的非负半轴建立直角坐标系。在角a的终边上任取不

同于原点。的一点尸(x,y),设P点与原点。的距离为r(r>0),则|？。|=r=,则角a

的六个三角函数依次为：

X

sina二=2,cosa=一,tanor=—

rX1

rX

esca-——,seca=立，cotcr=—A

yXyJ

二.三角函数的定义域与值域：0

定义域值域

sinaR

cosaR[-u]

兀R1

tana{a\a^—+k7r,kGZ]

三.三角函数值的符号:

四.三角函数线

正弦线、余弦线正切线

以角a的终边与

过点41,0）作x

单位圆的公共点P作

轴的垂线交a的终边

x轴的垂线PM_Lx

或终边的延长线于T

1轴，垂足为〃，则

点，则：

sina=MP

tan=AT

cosa=OM

同角三角函数基本关系式:

倒数关系:sinacsca=1、cosaseca=1、tana-cota—\

sinacosa

商数关系:tana=-------、cota=-------

cosasina

平方关系:sin2or+cos2a-1

正弦、余弦的诱导公式:

sin(2Ai+a)=sina；cos(2攵4+a)=cosa.

7i-asinQr—a)=sina；cos(7F-a)=-cosa.

zr+asin(;r+a)=-sina；cosO+a)=-cosa.

2万一。sin(2万-a)=-sina；cos(24-a)=cosa.

-asin(—a)=—sina；cos(-a)=cosa.

71

——asin弓-a)=cosa；cos弓-a)=sina.

2

71,,71..71、.

\-asm(—+a)=cosa；cos(»+a)=-sina.

2

3〃.,3兀、/3%、.

------asin(--cr)=-cosa；cos(-—a)=-sina.

2

34♦/34、/34、

-----FOCsin(——+a)=-cosa；cos(—+a)=sma.

22

诱导公式可简洁的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶不变”的含义为：当

女为奇数时，h工±。的三角函数值为a的余函数，当上为偶数时，八三±。的三角函数值为a的原

22

函数；“符号看象限”的含义为在。的三角函数前加上一个把a看作锐角时原三角函数值的符号.

两角和与差的三角函数：

一.基本公式：

sin(a+尸)=sina•cosp+cosa•sin/

sin(a-/?)=sina•cosft-cosa-sin/?

cos(cr+£)=cosa-cosJ3-sina-sin0

cos(cif-/?)=cosa-cos/?+sincif-sin0

八、tana+tan/?tana-tanZ?

tanz(a+0)=....................-tan(zcr=....................-

1-tanor-tan(31+tana•tan°

二.常见关系：

1.协'助角公式：asinx+bcosx=4a2^-^sin(x+(p)

如：sina+cosa=gsin(a+—)；sinar-cosar=V2sin(^z--)

44

sina+Gcosa=2sin(a+马；cosx-\/3sinx=2sin(----a)

36

2.两角和与差的正切公式的变形：

tana+tan/=tan(6z+/?)•[1—tana•tan/?]

tana-tan/?=tan(a-/)•[1+tana•tanp\

二倍角公式

一,基本公式：

sin2a=2sin。•cosa

cos2。=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

c2tana

tan2a=-------；—

l-tarra

二.常见关系式:

1.1+sin2a=(sina+cosa)21-sin2a=(sina-cosa)2

l-cos2a=2sin2a1+cos=2cos2a

c.21-COS2(71+cos2a

2.sina-------------cos2a--------------

22

三角函数的图像:

正弦、余弦、正切函数的图像:

1.y=sinx」^^)，=Asinx：将y=&11》图象上各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(A>1)或压

缩(0<A<1)为原来的A倍得到.

2.y=sinx—嗯变第—>y=sin①x:将y=sinx图象上各点纵坐标保持不变，横坐标压缩(。>1)或拉

伸(0<。<1)为原来的,倍得到.

CD

3.y=sinx—相位交换一>y=sin(x+*)：将y=sinx的图象向右"<0)或向左(°>0)平移|0|个单位得

至

4.函数丁=4§皿5+0)(43>0,4工1)的图象可以看作是由函数了=71^的图象分别经过下面的两

种方法得到：

⑴)=sinx—>y=sin(x+(p)

—―变.—>y-sin(cox+(p)

--u'-y=Asin(0x+e)

①将〉=5由了的图象向左(0>0)或向右(0<0)平移|°|个单位，可得到函数y=sin(x+〃)图

象；

②将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩a>1)或拉伸(0<3<1)为原来的工倍，得

CD

到函数y=sin(Gx+e)图象；

③将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(A>1)或压缩(O<A<1)为原来的A倍，可得

函数y=Asin(5+e)图象.

(2)y=sinx——换>y=sin(ox

—相位变换>y=sinCD{X4--)=sin(5+(p)

co

—振幅变松->y=Asin(d>x+(p)

①将丁二出!!》图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩3>1)或拉伸(0<3<1)为原来的,倍，

CD

可以得到函数y=sins图象；

②将得到的图象向左(*〉0)或向右"<0)平移助个单位就得到函数y=sin(s+e)图象；

CD

③将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(A>1)或压缩(OvA<l)为原来的A倍，可

得函数y=Asin(0x+e)的图象.

三.形如y=Asin(s+p)的函数图像的画法----五点法，即依据5分别取0、■、万、与、

2)时对应的x与y的值描点作出y=Asin(〃)x+0)的一个周期的图像.

三角函数的性质

函数正弦函数余弦函数正切函数

名称y=sinxy—cosxy=tanx

冗

定义域RR{a\a^—+k7i,keZ}

值域[-1,111-1JJR

\

Wax=1Wax=1

最值

>min=TWin=T

图象

分布

最小正

212TC71

周期

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称轴X=k7T+—,kGZx—k九keZ

2

对称7tj,。)

(Z肛0)(^+-,0)

中心

.71.71

增[2^--,2^+-][2k/r,2&4+7t\(zk兀---,k7TT——)

单2222

调

性jr3

减[2k/rH——,2k兀+—zr]\2k7i+兀,2k兀4-2/r]

22

三角形中的边角关系

正弦定理：

在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直径，即:

sinAsinBsinC_

-----=------=------=2K

abc

二.余弦定理：

三角形随意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即:

+。2—•COSA

b2=a2-^-c2-2ac•cosB

c2=a2+h2-2ab-cosC

22

4R、人A+c-a_

推论：cosA=-----------；cos3=

2bc2clelab

三.相关结论：

在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c

A+3_7TC

(1)A+J?+C=%,4+3=%—C，

2一2一万

(2)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A4-B)=-tanC

A+3CA+8.CA+BC

sin=cos—cos------=sin—,tan-----=cot—

222222

(3)依据正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

«:/?:c=sinA:sinB:sinC

(4)三角形面积公式：

①三角形的面积等于三角形随意一边与对应边上的高的乘积的一半，即：

C1/1AA,1

SAABC.C,为

②三角形的面积等于三角形的随意两边与其夹角的正弦值乘积的一半，即:

^SABC=-ahsinC=­Z?csinA=-tzesinB

222

第五章平面对量

向量的基本概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示.

2.向量的长度：向量A8的大小，也就是向量A8的长度(也称为4