2024贵州中考数学一轮知识点复习 第18讲 二次函数的实际应用（课件）

第18讲二次函数的实际应用

重难点分层练1

贵州近年真题精选2类型一利润问题回顾必备知识例1某一品牌手机的进价是每部2400元，售价为x元，则每部手机的利润是________元，若一天售出30部，则获得的总利润是__________元．x－240030(x－2400)重难点分层练例2某店销售一种小工艺品．该工艺品每件进价12元，售价为20元．每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．若每件工艺品涨价x元，则此时每件的售价为_______元，每件工艺品的利润为______元，此时每周可售出工艺品________件，总利润为______________元．20＋x8＋x40－2x(40－2x)(8＋x)销量随着售价改变的题目关键是确定每件售价变化时销量的变化．利润＝售价－进价；总利润＝单件利润×数量；提升关键能力例3张师傅在市民广场内制作并销售竹雕小摆件，①每件成本为10元，②物价部门规定销售单价不高于成本价的1.8倍，在销售过程中发现，日销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；例3题图解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将点(12，140)和(16，120)代入，得解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋200；(2)当销售单价定为15元时，每天获得的利润是多少？【分层分析】

每件成本为_____元，销售单价为x元，则单件利润为______元，由(1)知，日销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系式为_____________，结合①可得总利润w＝__________________，将x＝15代入求解即可；10(x－10)y＝－5x＋200(x－10)(－5x＋200)(2)设每天获得的利润为w元，根据题意得w＝(x－10)(－5x＋200)＝－5(x－25)2＋1125，当x＝15时，w＝625元，答：当销售单价定为15元时，每天获得的利润为625元；例3题图(3)当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？【分层分析】由②可列不等式为_____________，解不等式知销售单价最高为____元，利用二次函数的性质即可求得最大利润．18x≤10(1＋80%)(3)∵物价部门规定销售单价不高于成本价的1.8倍，∴10(1＋80%)＝18(元)，∴10≤x≤18.∵－5＜0，∴当x＜25时，w随x的增大而增大，∴当x＝18时，w最大，最大利润w＝－5×(18－25)2＋1125＝880(元)．答：当销售单价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润是880元．例3题图例4

(2021黄冈节选)红星公司销售一种①成本为40元/件的产品，②若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；③月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件)．(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；【分层分析】设售价为x元，由①知单件利润为_______，由②知，若售价不高于50元/件，一个月总利润w＝________，由③知，若售价高于50元/件，结合(1)可知一个月总利润w＝__________________；x－405(x－40)(x－40)(－0.1x＋10)【解法提示】当40≤x≤50时，y＝5，当x＞50时，y＝5－0.1(x－50)＝－0.1x＋10.∵－0.1x＋10≥0，x≤100，∴当50＜x≤100时，y＝－0.1x＋10；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？【分层分析】由(1)知w关于x的函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可．(2)设月销售利润为W万元，则W＝(x－40)y.①当40≤x≤50时，W＝5(x－40)＝5x－200；∴当x＝50时，W最大＝50万元．②当50＜x≤100时，W＝(x－40)(－0.1x＋10)＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1(x－70)2＋90.∴当x＝70时，W最大＝90万元．∵90＞50，∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元．类型二抛物线型回顾必备知识例5题图①例5

(2021衢州改编)如图是一座抛物线型拱桥的侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m.(1)如图①，若以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线型拱桥的函数解析式为__________；(2)如图②，若以拱桥与水面AB的交点A为原点，水面AB为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线的函数解析式为_____________．例5题图②提升关键能力例6某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝(x－5)2＋6.(1)求喷泉的最高点到x轴的距离；【分层分析】要求喷泉的最高点到x轴的距离，即要求二次函数的最大值；例6题图解：(1)由抛物线的表达式y＝(x－5)2＋6可知，抛物线的最值为6，则喷泉的最高点到x轴的距离为6m；例6题图(2)求雕塑OA的高；

【分层分析】要求雕塑OA的高度，可利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标______，进而可得出雕塑OA的高度；(2)当x＝0时，y＝(0－5)2＋6＝

，∴点A的坐标为(0，)，∴雕塑OA的高为m；例6题图(3)求落水点C，D之间的距离；【分层分析】要求落水点C、D之间的距离，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标_______，进而可得出OD的长度____，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长____，结合CD＝OC＋OD即可求出落水点C，D之间的距离；

(11，0)1111例6题图(3)当y＝0时，(x－5)2＋6＝0，解得：x1＝－1(舍去)，x2＝11，∴点D的坐标为(11，0)，∴OD＝11m.∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC＋OD＝22m.∴C，D之间的距离为22m.例6题图(4)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD.问：顶点F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【分层分析】要判断顶点F是否会碰到水柱，将x＝10代入抛物线的解析式中，得到点F的纵坐标为____，可通过比较点F的纵坐标与线段EF的大小关系即可求解．(4)当x＝10时，y＝(10－5)2＋6＝

，∵

≈1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱．例6题图此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c值，落地点为抛物线与x轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．(1)抛球运动判断球是否过网即判断此点的坐标是否在抛物线上方；(2)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；满分技法(3)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(4)判断船是否能通过拱桥即判断船两端的高度是否比桥上对应点到水面的距离小；(5)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高高．满分技法贵州近年真题精选命题点二次函数的实际应用(黔西南州2考，黔东南州4考，贵阳3考)x(元)152030…y(袋)252010…1.(2023三州联考24题14分)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；解：(1)设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx＋b,则由表格可得，解得，∴日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝－x＋40；(6分)(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？(2)设所获利润为W元，则W＝(x－10)·y＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225，∵－1＜0，∴当x＝25时，W取得最大值，最大值是225.答：每袋的销售价应定为25元，此时每日销售的最大利润是225元．(14分)2.(2023黔东南州23题12分)凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价购买？解：(1)设一次至少购买x只计算器，才能以最低售价购买，则每只降价为0.1(x－10)元，由题意得：20－0.1(x－10)＝16，解得x＝50，答：一次至少购买50只计算器，才能以最低售价购买；(4分)(2)写出该文具店一次销售x(x＞10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当10<x≤50时，由题意得y＝[20－12－0.1(x－10)]x，即y＝－0.1x2＋9x(10<x≤50)；当x>50时，y＝(16－12)x＝4x.综上所述，y与x的函数关系式为；(8分)(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？(3)由y＝－0.1x2＋9x得，对称轴为直线x＝＝＝45，∵a＝－0.1<0，当10≤x≤45时，y随x的增大而增大，当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，又∵50>46>45，∴当x＝46时的函数值大于x＝50时的函数值，即卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多；由二次函数的性质可知，当x＝45时，y最大值＝－0.1×452＋9×45＝202.5，这时售价是20－0.1×(45－10)＝16.5(元)，答：为了获得最大利润，店家一次应卖45只，这时的售价是每只16.5元．(12分)3.(2021贵阳24题12分)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；第3题图解：(1)由题意得B(4，4)，A(8，0)，设y＝ax2＋bx(a≠0)，将点B(4，4)，A(8，0)代入抛物线的表达式得，解得，∴拱桥部分抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x(0≤x≤8)；(3分)第3题图(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；(2)1.2÷2＝0.6m，0．6＋0.4＝1m.当x＝1时，y＝1.75，∵1.75>1.68∴不会触碰；(6分)第3题图(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．(3)由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为y＝x2－2x，当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y＝x2＋2x，∴新函数表达式为，第3题解图∵将新函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，∴O′(m，0)，A′(m＋8，0)，B′(m＋4，－4)，如解图所示，根据图象可知：当m＋4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x的值增大而减小．(12分)4.(2022贵阳24题12分)2021年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9<x≤15)时间x(分钟)012345人数y(人)0170320450560650时间x(分钟)67899～15人数y(人)720770800810810(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；解：(1)根据表中数据的变化趋势可知：①当0≤x≤9时，y是x的二次函数．∵当x＝0时，y＝0，∴二次函数的关系式可设为y＝ax2＋bx.当x＝1时，y＝170，当x＝3时，y＝450.将它们分别代入关系式，得，解得.∴二次函数的关系式为y＝－10x2＋180x.将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足；②当9<x≤15时，y＝810.∴y与x的关系式为：；(4分)(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(2)设第x分钟时的排队人数是W，根据题意，得，①当0≤x≤9时，W＝－10x2＋140x＝－10(x－7)2＋490.∴当x＝7时，W最大＝490；②当9<x≤15时，W＝810－40x，W随x的增大而减小，∴210≤W<450.∴排队人数最多时有490人．要全部考生都完成体温检测，根据题意，得810－40x＝0，解得x＝20.25.∴排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(8分)(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？(3)设从一开始就应该增加m个检测点，根据题意，得12×20(m＋2)≥810，解得m≥.∵m是整数，∴m≥的最小整数是2.∴从一开始就应该至少增加2个检测点．(12分)贵州其他地市真题5.(2023黔南州24题10分)2022年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”——罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮．某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．(1)设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；解：(1)已知A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元，b元，根据题意得，解得；(4分)(2)B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系？(2)①根据题意，当售价为x元(x≥50)时，销量为100－5(x－50)＝350－5x(件