2024贵州中考数学一轮知识点复习 第28讲 与圆有关的位置关系（课件）

第28讲与圆有关的位置关系

贵州近年真题精选1

考点精讲2

重难点分层练3贵州近年真题精选1命题点与圆有关的位置关系(黔西南州2023.18)1.(2023黔西南州18题3分)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足

＋(n－2)2＝0，圆心距O1O2＝

，则两圆的位置关系为________．相交第2题图与切线性质有关的计算(黔西南州2考，黔东南州2考，贵阳3考)2命题点2.(2015黔西南州6题4分)如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于(

)A.150°B.130°C.155°D.135°B第3题图3.(2021贵阳9题3分)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是(

)A.144°B.130°C.129°D.108°A第4题图4.(2021黔西南州23题12分)如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE.(1)求证：∠CAD＝∠CAB；∵直线l切⊙O于点C，∴OC⊥l.∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB；(6分)(1)证明：如解图，连接OC，(2)若EC＝4，sin∠CAD＝

，求⊙O的半径．(2)如解图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°.∵∠CAD＝∠CAB，∴sin∠CAD＝sin∠CAB＝

，

，∴BC＝EC＝4，∴

，∴AB＝12.∴⊙O的半径为6.(12分)第4题图第5题图5.(2022三州联考22题12分)如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B.(1)若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠OCB＝90°－∠ACO＝60°，∴∠BCP＝90°－∠OCB＝30°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∠OBC＝60°，∴∠P＝∠OBC－∠BCP＝30°，∴∠P＝∠BCP，∴BP＝BC，∵OA＝OB＝BC，∴OA＝OB＝BP，∴PA＝3PB；(6分)第5题图(1)证明：如解图，连接OC，(2)∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC.∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠ACO＋∠OCB＝∠BCP

＋∠OCB，∴∠ACO＝∠BCP，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COB＝2∠A＝2∠BCP，∵∠P＋∠COB＝90°，∴∠P＋2∠BCP＝90°，∴∠BCP＝

(90°－∠P)．(12分)(2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝(90°－∠P)成立．请你写出推理过程．第5题图6.(2022贵阳23题10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．(1)求证：OP∥BC；第6题图(1)证明：∵点A关于OP的对称点是点C，∴∠AOP＝∠COP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB，∴2∠AOP＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴OP∥BC；(4分)(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D，如果∠D＝90°，DP＝1.求⊙O的直径．第6题图∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∵∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠A＋2∠AOP＝180°，由(1)知，∠AOP＝∠B，∴∠A＋2∠B＝180°①，∵OA＝OP，∴∠A＋∠OPA＋∠AOP＝2∠A＋∠B＝180°②，由①②得∠A＝∠B＝60°，∴△AOP，△COB都是等边三角形，∴∠POC＝60°，第6题图(2)解：如解图，连接PC，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，∴OC＝PC，∠DCP＝∠DCO－∠PCO＝90°－60°＝30°，在Rt△PCD中，PC＝2PD＝2，∴⊙O的直径为2OC＝2PC＝4.(10分)第6题图第7题图7.(2023贵阳23题10分)如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD.(1)求证：AD＝CD；(1)证明：在⊙O中，∵∠ABD与∠ACD都是

所对的圆周角，∴∠ABD＝∠ACD.∵∠CAD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD；(4分)(2)解：∵AF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠FAB＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°.∵∠FAD＋∠BAD＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠FAD＝∠ABD.又∵∠ABD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠FAD.第7题图(2)若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(ASA)，∴AE＝AF，ED＝FD.(6分)在Rt△BAF中，∵AB＝4，BF＝5，∴AF＝3，即AE＝3.∵

AB·AF＝

BF·AD，∴AD＝

.第7题图在Rt△ADF中，

，∴BE＝5－

×2＝

.∵∠BEC＝∠AED，且∠ECB＝∠EDA，∴△BEC∽△AED，∴

，即BC＝

.第7题图∵∠BDC与∠BAC都是

所对的圆周角，∴∠BDC＝∠BAC.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴sin∠BAC＝

，即sin∠BDC＝

.(10分)第7题图第8题图贵州其他地市真题8.(2022黔南州10题4分)如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为(

)A.54°

B.36°C.30°

D.27°D第9题图9.(2023遵义12题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是(

)A.B.C.D.B第10题图10.(2021遵义12题4分)如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，且CD∥AB，连接OA，OB，OP，AD.若∠COD＋∠AOB＝180°，AB＝6，则AD的长是(

)A.B.C.D.C第11题图3命题点与切线判定有关的证明与计算(黔西南州4考，黔东南州4考)11.(2021黔东南州23题12分)如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B.(1)求证：PB是⊙O的切线；(1)证明：如解图，连接OB，BC，设AB与OP的交点为D，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，∴△AOP≌△BOP(SAS)，∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∵OB为⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线；(6分)第11题图D(2)若AB＝6，cos∠PAB＝

，求PO的长．(2)解：如解图，∵AB⊥OP，∴AD＝

AB＝3，∵cos∠PAB＝

，∴，∴AP＝5，∴PD＝

＝4，∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∠APO＝∠DPA，∴△PAO∽△PDA，∴

，即

，∴PO＝

.(12分)第11题图D∵AC＝BC，AD＝CD，OB＝OC，∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2，∵∠ACO＝∠DCO＋∠2，∴∠ACO＝∠DCO＋∠1＝∠BCD，又∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠ACO＝90°.∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(6分)第12题图12.(2023黔西南州22题12分)如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC＝BC，AD＝CD.(1)求证：AC是⊙O的切线；解：(1)如解图，连接OC，21第12题图21(2)若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．(2)由题意可知△DCO是等腰三角形，∵∠CDO＝∠A＋∠2，∠DOC＝∠B＋∠1，∴∠CDO＝∠DOC，∴△DCO是等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，CD＝AD＝OC＝2.在Rt△BCD中，BC＝

，又∵AC＝BC，∴AC＝2.如解图，作顶点C到AB边上的高，交AB于点E，在Rt△BEC中，∠B＝30°，∴CE＝

BC＝

.∵AB＝AD＋BD＝6，∴S△ABC＝

AB·CE＝

×6×＝3.(12分)第12题图21∵D是

的中点，∴

.∴∠CAD＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切；(6分)第13题图13.(2022黔西南州22题12分)如图，已知AB为⊙O的直径，D是

的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F.(1)求证：直线DE与⊙O相切；(1)证明：如解图，连接OD，(2)已知DG⊥AB且DE＝4，⊙O的半径为5，求tanF的值．第13题图(2)解：∵BF是⊙O的切线，∴BF⊥AB.∵DG⊥AB，∴DG∥BF.∴∠F＝∠ADG.由(1)知AD是∠CAB的平分线，且DE⊥AC，DG⊥AB，∴DG＝DE＝4.在Rt△ODG中，OD＝5，DG＝4，则OG＝3，∴AG＝8.∴tan∠ADG＝

＝2.∴tanF＝tan∠ADG＝2.(12分)第14题图14.(2023黔东南州22题12分)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2＝PE·PO.(1)求证：PC是⊙O的切线；∵PC2＝PE·PO，∴

.∵∠P＝∠P，∴△PCE∽△POC.∴∠PCO＝∠PEC＝90°.又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(6分)(1)证明：如解图，连接OC，(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．第14题图(2)解：设OC＝OA＝x，∵OE∶EA＝1∶2，∴OE＝

x.∵∠OCE＋∠PCE＝∠PCE＋∠P＝90°，∴∠OCE＝∠P.∵∠COE＝∠POC，∴△OCE∽△OPC.∴

，即

.解得x＝3或x＝0(舍去)，∴⊙O的半径为3.(12分)第15题图15.(2023黔西南州25题12分)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC.(1)求证：CD是⊙O的切线；∵DE垂直平分OB，∴DB＝DO.在⊙O中，OD＝OB，∴DB＝DO＝BO，∴△ODB为等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°.∵BC＝BO＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝

∠DBO，∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°.又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(6分)(1)证明：如解图①，连接OD，DB，第15题图第15题图(2)小明在研究的过程中发现

是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．(2)解：这个确定的值是

.证明：如解图②，连接OP，由已知可得OP＝OB＝BC＝2OE，∴

.又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴

.(12分)第16题图贵州其他地市真题16.(2023毕节26题14分)如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF.(1)求证：直线CD是⊙O切线；(1)证明：如解图，连接OF，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵点F是

的中点，∴

，∴∠OAF＝∠CAF，∴∠OFA＝∠CAF，∴OF∥AC，∵∠C＝90°，∴∠OFC＝90°，即OF⊥CD，∵OF为⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；(6分)第16题图(2)若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．(2)解：由(1)可知AC∥OF，∴△OFD∽△ACD，∴

，∵BD＝2，OF＝OB＝4，∴OD＝6，AD＝10，∴AC＝

，∴CD＝

，第16题图∵AC∥OF，OA＝4，∴

，即

，解得CF＝

，∴tan∠AFC＝

.(14分)第16题图第17题图17.(2022安顺25题12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∵OD是⊙O的半径，∴DH与⊙O相切；(4分)(1)解：DH与⊙O相切．理由如下，如解图①，连接OD，(2)求证：点H为CE的中点；第17题图∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠B＋∠AED＝180°，∵∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B，∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴点H为CE的中点；(8分)(2)证明：如解图②，连接DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴DC＝

BC＝

×10＝5，∵在Rt△ADC中，cosC＝

，∴AC＝

，∵在Rt△DHC中，cosC＝

，∴HC＝

，由(2)知点H为CE的中点，∴CE＝2CH＝

，

∴AE＝AC－EC＝.(12分)(3)若BC＝10，cosC＝

，求AE的长．第17题图(3)解：如解图③，连接AD，关系判定切线的性质与判定定义定理切线长三角形内切圆圆心的名称性质角度关系点与圆的位置关系点在圆外点在圆上点在圆内圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含确定圆条件直线与圆的位置关系与圆有关的位置关系考点精讲【对接教材】人教：九上第二十四章P92－P104；

北师：九下第三章P89－P96.＞点与圆有关的位置关系点与圆的位置关系点在圆外⇔d______r，如右图中点A点在圆上⇔d________r，如右图中点B点在圆内⇔d________r，如右图中点C（设圆的半径为r，平面内,任一点到圆心的距离为d）确定圆条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆＝<直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)位置关系示意图d与r的关系公共点的个数相离d________r没有公共点________d________r有且只有________个公共点相交d<r有两个公共点相切＝＞一圆与圆的位置关系(设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2(r1＜r2)，⊙O1与⊙O2的圆心距为d)位置关系示意图d与r1和r2之间的关系公共点个数外离d>r1＋r2没有公共点外切d＝r1＋r2有且只有一个公共点位置关系示意图d与r1和r2之间的关系公共点个数相交r2－r1<d<r1＋r2有两个公共点内切d＝r2－r1有且只有一个公共点内含d<r2－r1没有公共点切线的性质与判定数量关系：圆心到切线的距离等于半径位置关系：切线________于过切点的半径若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可．可简述为：有切点，连半径，证垂直若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径．可简述为：无切点，作垂直，证半径判定和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义)经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线圆心到已知直线的距离________半径长，则这条直线是圆的切线●满分技法垂直垂直等于切线长(如右图)定义：经过圆外一点作圆的一条切线，这一点和切点之间的线段长度定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，那么PA＝PB，且∠APO＝∠BPO三角形内切圆(如右图)1.圆心的名称：内心(即三角形三个内角的________的交点)2．性质：三角形的内心到三角形_____________________________3．角度关系：∠BOC＝90°＋∠A平分线三条边的距离相等●拓展延伸如图，△ABC为直角三角形，则外接圆半径R＝

；内切圆半径

重难点分层练例1题图例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，O为AB上一点，以OA为半径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，且E为OB的中点，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．突破设问1切线的判定类型一切点不确定，作垂直，证半径

解：BC与⊙O相切，理由如下：如解图，过点O作OH⊥BC于点H.∵∠ACB＝90°，∴OH∥AC，∵∠A＝60°，∴∠HOB＝60°，∴OH＝

OB，∵E为OB的中点，∴OE＝

OB，∴OH＝OE，∴OH是⊙O的半径，又∵OH⊥BC，∴BC与⊙O相切．例1题图H∟∵AE⊥BD，∴∠E＝90°，∵∠AOE＝∠BAE，∴∠ABE＝∠OAE.又∵BC为⊙O的切线，∴∠BCO＝90°＝∠E，∵∠BOC＝∠AOE，∴∠OBC＝∠OAE＝∠ABE，又∵OB＝OB，∴△OBC≌△OBF，∴OF＝OC，即OF是⊙O的半径，又∵OF⊥AB，∴AB为⊙O的切线．重难点分层练例2题图例2如图，⊙O与Rt△ABC的直角边BC相切于点C，连接BO交⊙O于点D，过点A作AE⊥BO交BO的延长线于点E，且∠AOE＝∠BAE.求证：AB为⊙O的切线．证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，∟F例3题图方法1已知角平分线，连半径构造平行，证垂直例3如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，求证：ED是⊙O的切线．类型二切点确定，连半径，证垂直∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．证明：如解图，连接OD.例3题图满分技法“角平分线”＋两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行．例4题图方法2已知中点，构造中位线，证垂直例4如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，延长AD至点C，使AD＝DC，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E.求证：直线DE是⊙O的切线．∵AD＝DC，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线．证明：如解图，连接OD，满分技法若已知中点，则连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行．方法3等角转换证垂直例5如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙C经过点A，交BC于点D，点E是CD上一点，连接AE并延长交⊙C于点F，连接BF，且BF＝BE.求证：BF是⊙C的切线．例5题图例5题图∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF，∵∠BEF

＝∠AEC，∴∠BFE＝∠AEC，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC＋∠EAC＝90°，∵CA＝CF，∴∠EAC＝∠CFE，∴∠BFE＋∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°，∵CF是⊙C的半径，∴BF是⊙C的切线．证明：如解图，连接CF，例6如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，D为

的中点，连接AD交BC于点E，延长BC到点F，且EF＝AF.求证：AF为⊙O的切线．例6题图证明：如解图，连接OD交BC于点G.∵BC为⊙O的弦，D为

的中点，∴OD⊥BC，∴∠DEG＋∠ODA＝90°，∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠FEA＝∠DEG，∴∠FAE＝∠DEG，∴∠FAE＋∠OAD＝90°，即∠FAB＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴AF为⊙O的切线．G方法4三角形全等证垂直例7如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，EC、AB的延长线交于点P.求证：EC是⊙O的切线．例7题图证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，OD⊥AC，∴OD所在直线是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.在△EAO和△ECO中，∴△EAO≌△ECO(SSS)，∴∠EAO＝∠ECO.又∵EA是⊙O的切线，∴∠ECO＝∠EAO＝90°.∵OC为⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线．例7题图方法1利用勾股定理例8如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.若AD＝8，DE＝5，求BC的长．突破设问2求线段长或线段比值例8题图∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，解：如解图，连接OD、DC，例8题图在Rt△ADC中，DC＝

，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋62，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋8)2－102，∴x2＋62＝(x＋8)2－102，解得x＝

，∴BC＝

.例8题图例9题图方法2利用三角函数例9如图，OA，OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝

，求⊙O的直径长．解：如解图，延长AO交⊙O于点D，连接CD，∵BA与⊙O相切，∴DA⊥AB，∴∠DAC＋∠BAC＝90°.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BAC.∵tan∠BAC＝

，∴tanD＝

，即

.∵AC＝4，∴CD＝12.在Rt△ACD中，由勾股定理得

.D例9题图例10题图方法3利用三角形相似例10如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，过点B作BD⊥CD于点D，延长DB交⊙O于点E，连接CE.若BD＝2，BE＝4，求BC的长．解：如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠BCD.∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠BCD＝∠CAB.∵∠CAB＝∠CEB，∴∠BCD＝∠CEB.∵∠D＝90°，∴△CDB∽△EDC，∴

.∵BD＝2，BE＝4，∴DE＝6，∴

，解得CD＝2(负值已舍去)，∴

，∴BC的长为4.例10题图例11如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M.若

，求

的值．例11题图解：如解图，连接OC、AC.∵OC＝OB，BC⊥OP，∴∠COP＝∠BOP，∵OP＝OP，∴△PBO≌△PCO，∴∠OCP＝∠OBP，∵PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，∴∠OCP＝90°，∵∠OCP＝∠CDO＝90°，∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，∴

，∴OC2＝OD·OP.例11题图∵

，∴设OD＝x，则PD＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝

x，∴CD＝3x，AB＝2x，∴BC＝6x.∴AC＝