高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (11)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(11)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.如图，在△04B中，点P为直线43上的一个动点，且满足存=4荏.

OB

(1)若4用向量市，而表示前；

(2)若|市|=4,|而|=3,且NAOB=60。，请问2取何值时使得m荏？

2.如图,在平行四边形4BCZ)中，点E,F,G分别在边AB,A£),BC上,且满足ZE=[4B,AF="C,

BG=.BC,设===

⑴用不表示外，FG;

(2)若EF1EG,4h.函，2a-6-求角4的值.

_历Q

3.在平面直角坐标系xoy中，已知向量加=(---------,n=(sinx,cosx),xG(0,^-).

222

(1)若沅1n,求tanx的值;

(2)若石与〃的夹角为多求x的值•

4.已知不共线向量a力满足|矶=3,\b\=2,(2a-3K)-(2a+b)=20.

(1)求2与b夹角。的余弦值；

(2)若仔+2%)J.g一砌,求实数人的值.

5.在平行四边形ABC。中，AD=1,^BAD=60。，点E为C£>的中点.若尼.丽=1，求A8

的长.

6.已知向量五和石,|a|=|K|=1.且|方+kB|=遍|五一』|(k>0).

(1)若方与方的夹角为60。，求k的值；

(2)求向量方和石夹角的最大值.

7.如图，在矩形A3C。中，BC=3AB=6,E为AB的中点，F是3c边上靠近点

8的三等分点，A尸与DE交于点G.设方=五，AD=b.

DC

⑴求“GF的余弦值;

(2)用方和B表示E.

8.在回ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=4,A=^.

(I)AD是BC边上的中线，若AD=夕，求c的值；

(11)若(1=48，求团ABC的周长.

9.已知团A8C中NC是直角，C4=CB,点。是C8的中点，E为AB上一点.

(1)设石5=方，CD=K1当荏=3荏，请用2，「来表示四，CE-,

(2)当荏=2前时，求证：AD1CE.

10.已知实数0<9<n,a=(cos。,sin。)，1=(0,1),若向量了满足Q+1),；=。，且口•至=0.(1)

若忖一川=2,求石.

(2)若f(x)=区+%。-3)1在后，+8)上为增函数，求实数。的取值范围；

11.在RtZXABC中，zBAC=pAB=AC=6,设配AB?(A>0).

(1)当4=2时，求反强定的值；

(2)若熊-AD=18.求4的值.

12.若五=(6,2),fe=(-3,fc).当:为何值时:(l)a//6

(2)0*17

(3)胃与石的夹角为锐角

13.已知向量之工满足同=2,b=1,a+2b=a-b.

(1)求之在了上的投影；

(2)求；与热—2%夹角的余弦值

14.已知|引=4,㈤=3，(2五一3方)•(21+1)=6L

(1)求|弓+方|;

(2)已知3是向量五+方方向上的单位向量，求向量日在向量运+至方向上的投影向量.

15.已知三个点4(2,1),B(3,2),£>(-1,4).

(1)求证：AB1AD：

(II)要使四边形A8CZ)为矩形，求点C的坐标，并求矩形A8C。两对角线所夹锐角的余弦值.

16.平面几何中有如下结论：“三角形A8C的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之

比，即■=空.”已知44BC中，4B=2,4C=120',4。为角平分线.

DCAC

A

(1)求线段A。的长度；

(2)过点。作直线交AB,AC的延长线于不同两点E,F,且满足港希，AF=yAC，

①求:+；的值，并说明理由；

②求％+2y的最小值.

17.已知等边三角形ABC中，点尸为线段A8上一点，且晶=；16(0《；141).(1)若等边三角形

边长为6,且♦=,求&

(2)若而=;而，求；I的值；

(3)若&>.前》总.康，求实数a的取值范围.

18.如图，在AOAB中，已知P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB.

(1)若丽=方求x，y的值；

(2)若前=2万，|鼐|=4，|而|=2，且玄与丽的夹角为60。时，求丽•屈的值.

19.在4aBe中，AC=2,BC=6,乙4cB=60。，点。为41BC所在平面上一点，满足元=m比[+

nOB(m,n6R且m+n丰1).

(1)证明：CO=-^-CA+^-CB；

'Jm+n-1m+n-1

(2)若点。为448C的重心，求“、附的值；

(3)若点。为ZL4BC的外心，求机、〃的值.

20.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足说:=5市+|南.

⑴求鬻值；

(2)已知4(l,cosx),F(14-cosx,cosx),xE[0,,/(%)=函•泥一(2m+1)|通|若/(x)的最

小值为g(m),

求g(m)的最大值.

21.已知而•前:=0，M是BC的中点.

(1)若|而|=2\AC\,求向量荏-而与向量荏+》的夹角的余弦值；

(2)若O是线段AM上任意一点，S.\AB\=2\AC\=2,求瓦？•加+元•瓦?的最小值；【】；

P'l

22.已知点4(2,0),5(0,2),C(cosa,sina),O为坐标原点，且0<a<兀.

(1)若+而|=⑺，求成与小的夹角。；

(2)若前1~BC，求sinacosa的值.

23.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足说:=5市+|南.

⑴求鄙；

(2)已知4(l,cosx),B(l+cosx(cosx),x6[0,^],/(x)=U7-OC-(2m+|)|^B|,若/(x)的

最小值为g(m),求g(m)的最大值.

24.如图，在AOAB中，已知尸为线段AB上的一点，OP=x-0A+y-0B.

(1)若郁=证，求x,y的值;

(2)若丽=3前,|殖|=4,|而|=2，且殖与丽的夹角为60。时，求丽•丽的值.

25.如图，在AABC中，。是BC的中点，E在边A8上，BE=2EA,AO与CE交于点0.

(1)设面f=x丽+yAS，求x+y的值;

(2)若品•丽=6前•前，求般的值.

26.已知向量沅=(gcosx,1),元=(sinx.siMx—1),函数/'(x)=记,记+%

⑴若XG[0,5，/(X)=y.求COS2x的值；

(2)在4ABC中,角4B,C1对边分别是a,b,c,且满足2bcos4W2c—ba,当B取最大值时,a=l,

△ABC面积为立，求就土的值.

4sini4+sinC

27.已知圆C经过(2,4),(1,3)两点，圆心C在直线x—y+l=0上，过点4(0,1)且斜率为左的直线

/与圆C相交于M,N两点.

(1)求圆C的方程；

(2)①请问祠.丽是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

②若丽•而=12(0为坐标原点)，求直线/的方程.

28.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点4(1,0)和点B(-l,0),\0C\=1，且乙4。。=。，其中

O为坐标原点.

(1)若9=半，设点。为线段。4上的动点，求|万？+而|的最小值；

(2)若。6”,外，向量记=近，亢=(1—cos8,sin0—2cos。)，求记•五的最小值及对应的。值.

29.已知椭圆C:捻+3=19>6>0)的离心率为土以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆

与直线工一丫+e=0相切，过点P(4,0)的直线/与椭圆C相交于4B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若原点0在以线段AB为直径的圆内，求直线/的斜率k的取值范围.

2

30.已知4(一1,0),8(0,2),。(一3,1),同・而=5,而=10-

(1)求点D的坐标；

(2)若点。在第二象限，用而，而表示旅；

(3)设荏=(m,2)，若3荏+而与荏垂直，求荏的坐标.

【答案与解析】

1.答案：解：⑴•.T=q,.•.Q=g荏,

--->--->1--->>

OP-OA=^OB-OA'),

化为：OP=lOA+^OB.

(2)由题意知：万？•赤=4x3xcos60。=6-

•■AP=AAB，

.-.OP=(<1-A)OA+XOB，

vOP1AB，

：.OPAB=[(1-A)OX+AOB]•(05-0U4)=0.

•••(1-2A)x6-(1-2)x42+Ax32=0,

解得4=出

解析：本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、方程的解法，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

(1)由4=/可得存=1荏，OP-OA=^(OB-OA),化简即可得出.

(2)由题意知：OAOB=4x3xcos600=6,由而=AAB，可得而=(1—4)瓦？+4抽，根据前1

AB,可得而•屈=[(1一；I)方+4而]•(诂一万?)=0，即可得出.

2.答案：解：(1)因为EF=EA+A尸=—^48+：AD=-5五+[b

EG=IB+BG=-AB+-BC=-a+-b.

3333

(2)若EFlEG,则前•布=0，

即(―[五+]b).(|五+|b)=—|/+触-0>即片=才,所以|矶=也|

2

AB-FG=a-(|a+|K)=|a+|a-K=2a-b,即整=2a-b

所以|五|2=2|五12cos4,则C0Si4=

又因为.4W(U.7T),所以4=最

解析：本题主要考查向量的向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积，向量垂直的判断，属于

基础题.

(1)根据题意得到前=而+而=一：赤+：而，前=前+前=|荏+|就即可；

(2)EF1EG,则前•前=0,得到同=同，进而得到五2=2五小即可.

3.答案：解：(1)若蔡1n，

则？n•n=~sinx——cosx=0,

22

E|Jsinx=cosx,B|Jtanx=1.

(2)v|m|=J0)2+(一J)2=i，|n|=Vsin2%+cos2%=1,m-n=ysinx-苧cosx,

，若蓝与蔡的夹角为全

则m•n=|m|•|n|•cos^=

即它sin%——cosx="»

222

则sin(%_q)=I，

vxe(O^),

AX—~6

4'4'4“

则T=3

BPX=§-

解析：本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查向量垂直与向量数量积之间的关系，

考查同角三角函数间的关系式及其应用，考查学生的计算能力，比较基础.

(1)若藐_L£，则蔡7=0,结合三角函数的关系式即可求tanx的值；

(2)若藐与靛勺夹角为以利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值.

4.答案：解：⑴门五|=3,同=2,(2五一3「)・(22+1)=20,

2

・・・4\a\2-4a-b-3同=4x32-4a-h-3x22=20，

解得方-b=1»

ab11

••・必。n=丽=初=£

方与石夹角。的余弦值为士

O

(2)若(ka4-2b)1(a—kb\

则02+2方)・但一上至)=0,

2

k\a\2+(,2-k2)a-b-2k\b\=0,

9k+(2-X1-2kx4=0,

整理得k2-k-2=0,

解得k=-1或A=2.

解析：本题主要考查了向量的夹角、向量的模、向量的数量积以及向量垂直的计算，属于中档题.

(1)由题意计算可得1，代入向量的夹角公式即可求得五与石夹角。的余弦值；

(2)由(k五+2加),Q—k石)可得(卜日+2B)•(五—k3)=0,展开化简计算即可得到实数&的值.

5.答案：解：如图，由题意可知，AC=AB+BC=AB+AD>

~BE=~BC+~CE

=而+癖=-浑+彷

因为前•屈=1，

所以（四+而）•（-［荏+初）=1,

^AD2+-AB-AD--AB2=1.

22

因为|而|=1，4BAD=60°,

所以上式可化为1+；|南|一段说『=1.

解得|AB|=0（舍去）或|AB|=p

所以48的长为点

解析：本题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量的数量积和线性运算，属于中档题.

以同，而为基底，把前，而用基底表示，再通过向量的数量积运算得得到关于|说|的方程，解方程

即可.

6.答案：解：(1)|五|=|b|=1，五与b的夹角为60。，

—»—»[1

则方•b—\a\­\b|cos60°=lxlx-=-,

由|五+元|=遍|五-kE|，两边平方可得，

(a+kb)2=3(a-kb)2,

a2+2ka-b+k2b2=3(a2-2ka-b+k2b2)'

即有l+k+/c2=3(i—k+%2),

解得k=1；

(2)由⑴得,a2+2ka-b+k2b2=3(a2—2kab+k2b2~)

BPl+/c2+2/ca-K=3(l+fc2-2/ca-b)

即可得五%=；(k+》(k>0),

设五与方的夹角为0，

所以8so=蠡=；垓+》》会当且仅当％=1时成立，

所以由向量夹角范围和余弦函数在此范围单调递减，

可得向量五和方夹角的最大值为最

解析：本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查不等式恒成立问

题转化为求函数的最值问题，构造一次函数运用单调性是解题的关键.

(1)运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，解方程即可得到k的值；

(2)己知等式平方，化简求的心方=；(k+》，结合基本不等式，可得结果.

7.答案：解：⑴由题意，可得<•<)«Z.EGIF<x)«<AF.DE>

_1_1__

=cos<a+,-a-b>

32

_0+拘(聂一1)

忖+包।.朋一同

?rX365g

J4+，36/X4+3674'

所以4EGF的余弦值为-也.

74

(2)设前-八犷ACa+))A-a+lAT,

3«j

DdfiDE=—b)=:八Z—fib,

则AC^Ab+诧=-(〃-1)T,

根据平面向量基本定理，

(x=-

得】「，力解得Z

所以同=声+”.

解析：本题主要考查了平面向量的基本定理及其应用，向量的数量积及向量的夹角，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

(1)由题意，可得cu«NEGF=cos<开了.为着>=cos<H+：丁,1万一方'>,从而利用向量的夹

角公式求解即可；

(2)设A4=4J4户=Aa*+1入b,D(J=ILD^=ipa*—/ib,则Ad=CZ)+D(j=—(p—1)b,

从而根据平面向量基本定理，可得关于尢〃的方程，求出尢〃，则可得E.

8.答案：解：(I)因为通+左=2而，

所以(荏+尼)2=荏2+近2+2南•前=4而2=28

即为匕2+c2+2bccosA=28,

所以c2+4c-12=0,

解得，c=2(负值舍去)

(□)在448。中，由正弦定理号=段得sinB=竺吆=2乂且=三，

因为a>b,所以A>B,则a

o

所以C'=7r-A-B；,

则c=yJa2+b2=8.

所以△4BC的周长为12+4V3.

解析：本题考查平面向量和正弦定理在解三角形中的应用，考查向量的数量积、三角形内角和定理、

勾股定理的应用，属中档题.

(1)由卷+前=2而平方得到〃+©2+2儿854=28,代入数据，得到c的方程，解方程即可得

出c;

(II)由正弦定理得sinB,求出B,内角和定理求C,进而求出边c和周长.

9.答案：解：(1):方=方，昂=1点。是CB的中点，

:.CB=2b，

：.AB=CB-CA=2b-a>

=CA+AE=a+^AB

=a+^2b-a)=^a+b.

(2)以C点为坐标原点，以CB,C4为x,)，轴，建立如图所示平面直角坐标系,

E

CDBx

设4(0,a),

•••B点坐标为(a,0),另设点E坐标为(x,y),

・・•点。是CB的中点，

.••点O坐标为傅,0),

又•••荏=2万，

(x,y-a)=2(a-x,-y),

2aa

=y=5，

•••荷=6,-a),丽=(拳》

AD•CE=-x—F(-ci)x—=0,

23',3

•••AD1CE.

解析：本题重点考查平面向量的分解和数量积与垂直，属于中档题.

(1)利用平面向量基本定理和线性运算即可求解；

(2)建立平面直角坐标系，通过求证而.CE=0即可.

10.答案：(I)设方=(m,n),由+4'—。得17=(*"sin0),

Ia-h=0w°

又五.b=](|五+—|a—h|^=0,\a-b\=2f所以忖+b|=2,

即+^£)2=4，得cosO=±5

又0S。3兀，所以sin。=—.

2

故］=仔_曰)或］=(_£_苧);

(n)(l)y2(x)=区+x(a—b)|2=(xcosd+(1—x)^^-,(2x—l)sin。)

22

=(tan9+l)x-2ttm2QX+tan2。；

v/(x)=B+x0—E)|在L，+8)上为增函数，

严(久)在”,+8)上为增函数，

曹<1,解得—14tan0<1；

ta‘an20+l2

0<0<7T,06［。5］U［手，”卜

(2)•••f(x)<遍对。e［o用u洋同恒成立，

f2(x)=(tail20+l)x2-2tau20x+tan20瞌5对。e嵋U［彳,7］恒成立,

即F(tan20)=(x2—2x+l)tan20+z2《5对tan?。e［0,1］恒成立，

2x2-2x+1<5；

解得一1<x<2,

所以x的取值范围为[1,2].

解析：本题主要考查了向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的求解，合理运算、

化简，转化为与二次函数相关的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了转化思想，换元思想,

以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

(I)设3=(m,n),根据向量的数量积的运算，求得(cos®+蓼=4>进而得到cos。=和sin。=

学即可得到向断的坐标;

(n)⑴根据向量的模的运算，求得严⑺，又由函数/(x)=亚+施-即在原+8)上为增函数，得

到产(%)也是增函数，得到taMOwl,即可求解。得取值范围;

(2)由/(x)w遥恒成立，转化为严(X)对。e[o用u洋/恒成立，进而转化为F(tan2。)<5对

tan20e[0,1]恒成立,即可求解.

11.答案：解：如图:

(1)当4=2时，BD=2BC,

所以而=屈+前=荏+2近=屈+2(前一荏)=2而一而,

.-.AB-AD=AB-(2AC-AB)=2AB-AC-ABZ=0-36=-36.

(2)因为AC-AD=AC-^AB+BD-)=AC-(AB+ABC)=AC-[AB+A.(AC-AB)]

=^C-(A^4C+(l-A)AB)=/l^C2+(l-A)ZC-AB=36A>

36/1=18,解得4=也

解析：本题考查向量的加减运算，数量积运算，属于中档题.

(1)利用熊，配为基底，表示而，进而求通・加;

(2)利用通，后为基底，表示而，由亚•布=18得362=18,解得即可.

12.答案：解：(1)因为方=(6,2),[=(一3冏,a//b,

则6k-(-3)x2=0,解得k=-1

(2)若五1b，

则6x(-3)+2/c=0,解得k=9；

(3)若行与冽勺夹角为锐角,

则五•方>0，且五，了不共线.

6x(—3)+2k>0

即有

6/c-2X(-3)HO'

解得k>9.

解析：本题考查向量共线的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0,考查向量的夹角为钝角

的等价条件，考查运算能力，属于基础题和易错题.

(1)由向量共线的坐标表示，解方程即可得到；

(2)运用向量垂直的条件：数量积为0,计算即可得到公

(3)由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积大于0,且不共线，解不等式即可得到火的范围.

13.答案：解：(1)a+2ba—b=(a+2b/=(a—b)2a2+4a-b+4b2=a2—2a-b+b2

T9T1

・•・6a•Z?=-3h,a•b=——，

2

设之和前勺夹角为。，

7在W上的投影为：BlCOS9=首=一a

(2)设；与；一2了夹角为a，

2

a-(a-2b)a-2a-b4+1V10

cosa=---------------=---------

lala~2b|a|.yJa2—4a-64-4b22x24+2+44

解析：本题考查平面向量的数量积，投影，夹角，属于中档题.

T—

⑴由|弓+2旬=|五一3|平方得五不=，再利用［在让的投影为：M|cosJ=芹=，

(2)设:与［一2。夹角为a,cosa=驾胃运算即可.

14.答案：解：(1)(2百一3万)-(2五+方)=4五2一332一4五彳

=4xl6-3x9-4a-b=61.

解得N,b=—6>

所以|五+至产=片+石2+2万7=16+9-12=13,

所以|云+石|=V13.

(2)设五与苍+B的夹角为仇

由(1)得a-6.

a-(a+b)=a2+a-b=10r

所以皿。=器冬=/=瘾，

则向量方在向量方+方方向上的投影向量为|a|cos6-e=4x岛3=噜^萍

解析：本题考查了平面向量的数量积公式的运用.

(1)利用向量的模的公式，以及平面向量的数量积，即可得；

(3)根据投影向量的定义，利用数量积公式解答即可.

15.答案：解(I)证明：4(2,1),8(3,2),0(-1,4).

.-.AB=(1,1),/W=(-3,3)-

AB■AD=1X(-3)+1x3=0，

—>—>

・•,ABA.AD-

^y.-ABlAD^若四边形A8CO为矩形，贝IJ北=辰>

设C点的坐标为(x,y),则有(1,1)=(x+l,y-4),

.产+1=1

"(y-4=1

即产U

ly=5

•••点C的坐标为(0,5).

由于融=(-2,4),BD=(-4,2)-

AC-BD=(-2)x(-4)+4X2=16,|71(?|=|BL|=2V5

设对角线AC与B。的夹角为仇则cos。=黑=：>0.

故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为:

解析：本题考查了运用向量解决平面直线的位置关系，平面几何中的边长，夹角问题，准确计算化

简，属于中档题.

(/)运用平面向量的数量积得出4B-AD=1x(-3)+1x3=0，求解即可.

(〃)几=应>ABLAD'坐标得出点C的坐标为(0,5).再运用数量积求解得出cos。=技=g>0.

16.答案：解：(1)根据角平分线定理：

—=-=2,所以处=[

DCAC'八BC3

所以而=AB+JD=AB+|ec

----->9-----»----->1-----»7-----»

=48+式/C-48)=建+

所以而2=G荏+|前)2

1―>24―>—»4―>2

=-AB-i--AB-AC-^--AC

999

44,44

―厂区+己一9，

所以4°=|;

(2)①因为荏=x希，AF=yAC,

所以荷=|AB+|^C=^AE+^AF,

因为E,。,产三点共线，

所以21+套2=1,

所以31+52=3.

xy

(2)x+2y=(%+2y)(；+二)=：+?+兰》3,

JJ'/八3x3yJ33x3y

当且仅当％=y=1时取等号，

所以久+2y的最小值为3.

解析：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积，考查基本不等式，属于拔高题.

⑴根据角平分线定理可得案=g同=荏+前=：荏+;前,对而平方即可求线段AD的长度;

DCS3J

(2)①由E,D,尸三点共线及元>=^AB+^AC=^AE+^-AF,得"J=3；

333x3yxy

1o

②由2+：=3,运用基本不等式即可求x+2y的最小值.

17.答案：解：(1)由;1=[,得而=：荏，

\CP\2=\CA+AP\2=\CA+海\2=CA2+海义+河-AB=28,

|CP|=2V7;

(2)联立［而三两=|而=A(AP+而)=晟丽，•••4=|；

(3)设等边三角形的边长为a,则方-AB=(CA+AP>)-AB=(CA+AAB)-AB=-^a2+Aa2,

­.PA-^B=PA-(AB-AP)=-AAB■(AB-AAB)=^a2-Aa2,

即-)2+4a2>42a2_2a2,

.•・［学W"<学，解得*<awi.

解析：(1)由;1=%得而=［荏，再由|而『=|潟+都『，展开后整理得答案；

(2)由9=4荏，存=|而联立利用向量相等求得4的值；

(3)设等边三角形的边长为a,把加•荏和刀.而分别用含有a的代数式表示，结合而-AB>PA-~PB

求解关于〃的不等式得答案.

本题考查向量数乘的运算及其几何意义，考查平面向量的数量积运算，考查计算能力，是中档题.

18.答案：解：(1)因为前=刀，所以P为线段A8的中点.

所以而="初+南)=3或+［而.

所以x=y=/

(2)因为乔=而一而，PA=OA-OP.

又前=2万，所以而一话=2(初一加).

解得标=|0/+9而.因为亚=OB-OA，

所以而•希=(|o7+1OB)-(OB-OA)

1—»——>2—,21——»2

=-OA-OB--OA+二OB

333

1171

="X4X2X---X16+-X4=-8.

解析：本题考查了数量积的运算性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

(1)根据相等向量的定义及向量的运算法则求出而，利用平面向量的基本定理求出x,y的值.

(2)利用向量的运算法则将而，而用嬴与丽表示，然后求解即可.

19.答案：(1)证明：OC=mOA+n'OB=m(OC+CA)+n(OC+CB)，

化简得：(m+n—1)而=m方+n而，

.­.CO=-^-CA+-^—CB,

m+n-1m+n-1

(2)解：点。为△ABC的重心，设8c边的中点为O

AO=20D=2x^(0B+0C)=0B+0C

*'•OC=—OA-OB,

m=-1,n=-1；

(3)解：点。为△ABC的外心，

.-.CO-CF=i|CB|2=18,CO-C^=i|C^|2=2,

CACB=2x6x-=6,

2

-.-CdCB=-^—CA-CB+-^—CB-CB,

m+n-1n+m-1

CO-CA=-^—CA•CA+」一&4•CB,

m+n-1n+m-1

(2m—3n=3

tm4-2n=-1'

解析：本题考查向量的线性运算和数量积的定义和性质，考查化简运算能力，属于拔高题.

(1)由元=mOA+nOB=m(0C+C\4)+n(0C+CF).整理即可得证；

(2)由三角形重心性质可知力[+OB+OC=0,代入即可求解；

(3)由。为△ABC的外心，可求前•希，COCA，CA-~CB，然后根据(1)的结论分别表示前•四,

万根据平面向量的基本定理可求相，

20.答案：解：(1)由题意知4民C三点满足后=[£1+1晶，

可得儿一&=1(&_&),所以公=|6=|(命+诙，即1应;=|3

即晶=2a，则同=2同,所以黑=2.

(2)由题意,函数f(%)=0A-0C—(2m+1)|A5|=1+|cosx+cos2%—(2m+|)cosx=(cosx—

m)24-1—m2,

因为x6[。,外，所以cosx6[0,1],

当m<0时，/(%)取得最小值g(zn)=1,当OWmWl时，当cos%=m时，/(%)取得最小值g(m)=

2

1—m9

当m>1时，当cos%=1时，/(%)取得最小值g(m)=2-2m,

f

1,m<0

2

综上所述，g(7〃)=<Im,0w)n&1，可得函数g(m)的最大值为1，

2—2rn,rn>1

即g(m)的最大值为I.

解析：本题考查三角函数和平面向量的综合应用，涉及向量的线性运算及余弦函数的性质，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)由已知得：OC-OA=l(OB-OA),从而利用向量运算可得而=2至由此可得结论；

(2)化简可得f(x)=(cosx-m)2+l—7n2,从而对进行讨论，求得不同情况下的最小值，写成

关于机的函数式g(m),继而可以求得结果.

21.答案：解：(1)•••-XC=0.AB1JC.

以A为原点，AB,前的正方向分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

令|宿=a，则C(0,a),B(2a,0),

AB—AC—(2a,-a),AB+AC—(2a,a)，

设向量前-而与向量荏+前的夹角为8,

A_(AB-ACy(AB+AC')_4a2-a2_3

‘cos”=(AB-AC\\AB+AC\=标后=?

(2)-：AB-AC=0rABLAC，

以A为原点，AB，正的正方向分别为x轴、轴建立平面直角坐标系.

v\AB\=2\AC\=2-则C(O,1),8(2,0),

设。(％)xe[0,1],

■■■OA-OB+OC-OA=OA-(OB+OC)=2OAOM

x1x

=2(-/_2)•(1一%2)

2

2XX

=2(X-X+---)

=|(/-X)

TH，

•・,9>0,・••当且仅当x=1时，画.南+比・瓦?取得最小值一3，

解析：本题考查平面直角坐标系的应用、平面向量的运算、基本不等式，考查考生的运算求解能力

和转化与

化归思想、数形结合思想.

(1)建立平面直角坐标系，求出荏-而与荏+前的坐标，再利用平面向量的夹角公式求解；

(2)建立平面直角坐标系，设出点。的坐标，利用平面向量的数量积公式化简待求式，再结合二次函

数的最值求解

22.答案：解：(1)v0/4=(2,0)>OC=(cosa,sina),

・•.OA+OC=(2,0)+(cosa,sina)=(2+cosa,since)

・•・|OA+OC|=7(2+cosa)2+(sina)2=V54-4cosa=夕，

解得cosa=I，

又丁0<a<n9

n

Aa

39

・•・.sina=V3一，

2

••OC=(1,y)-又布=(0,2)，

00B0?0x；+2x哼近

MB冈。Cl际麻各2

v0<0<7T,

6=7o；

(2)•・•AC=(—2+cosa,sina)，BC=(cosa,—2+sina)»

且而JL就，

・•・AC•BC=0，

即(一24-cosa)cosa+(—2+sina)sina=0,

・•・-2cosa—2sina+1=0,

・•・.sina.+cosa=i

2

：■1+2sinacosa=

4

・•・.sinacosa=3——.

8

解析：本题考查了平面向量数量积的运算以及三角函数的运算问题，属于中档题.

(1)用坐标表示瓦?、0C，由Ia+记|=夕，求出a的值，从而得灵，再求得三与元的夹角；

(2)用坐标表示X?、~BC，由就_L近，得正=0，求出sina+cosa的值，从而求得sinacosa的

值.

23.答案：解：⑴由题意知4B,C三点满足元=：布+|丽，

可得元-0A=l(0B-0A),

所以3?=|四=|(就+函)，B|ji^4C=|CB,

即就=2而，则|前|=2|至

所以需=2.

(2)由题意,函数/(%)=~0A.•0C—(2m+1)|AB|=1+1cosx+cos2%—(2m4-|)cosx=(cosx-

m)2+1—m2

因为xE[0,§,所以cos%e[0,1],

当m＜。时，当cosx=0时，/(x)取得最小值g(m)=1,

当OWmWl时，当cosx=/n时，/(%)取得最小值g(?n)=1-m?,

当m>1时，当cosx=1时,/(%)取得最小值g(m)=2-2m,

l,m<0

1-m2,0<m<1

{2—2m,m>1

可得函数g(m)的最大值为1.

解析：本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算，以及三角函数

求最值，考查分类讨论思想，属于中档题.

(1)由题意可得能-而=|(而-而)，化为，前号版可得结果；

(2)由题意可得函数/'(%)=-OC-(2m+|)|^4F|=(cosx-m)2+1-m2,利用分类讨论思想分

别对m<0,0<m<1,m>1进行讨论可得g(m)的最大值.

24.答案：解：(1)因为前=同，所以尸为线段48的中点.

所以丽=+而)=+:而.

所以x=y=*

(2)因为前=而一话，~PA=OA-OP.

又前=3万，所以加一面=307-丽).

解得而=+；砺.因为^^OB-OA，

44

所以而•AB=(^OA+-(OB-OA)

1―>——>3―>21——>2

=-0A-OB--0A+-0B

244

=i1x4x2x-1--3xl6+1ix4=-9.

2244

解析：本题考查了数量积的运算性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

(1)根据相等向量的定义及向量的运算法则求出而，利用平面向量的基本定理求出x,y的值.

(2)利用向量的运算法则将加，血用福与丽表示，然后求解即可.

25.答案：解：（1）A4BC中，。是8c的中点，BE=2EA,AD与CE交于点、0.

设初—xAB+y芯—xAB+y(BC—By4)——x~BA.-y+yBC—(—%—y)BX+yFC,

又前=处，BE=|^4,

所以前=|(-x_y)菸+y^,

所以-|x-|y+y=1，①

又丽=—(x+y)瓦？+2y前，

所以-(x+y)+2y=1,②

由0②组成方程组解得

所以x+y=-：=

(2)设方=mAD=^m(AB+AC),

,,,,,,——♦,,,1~~TIAB,

AO=AE+EO=AE+nEC=AE+n(AC-AE)=(1—n)AE+nAC=-----------hnAC

ii-n

-m=——m=-

所以《

-m=n

所以布=：而=；(而+前)，EC=AC-AE=-^AB+AC,

所以6A0.EC=6X；(4B+4C)・(—“B+AC)=—“B+4B・AC+“C;

又南,芯=6A0-EC

ULI、I

所以o=-A---B--*2+-3A---C-->2,

所以空=3,

所以桀=逐

解析：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

(1)用而、氤表示前,再用丽、丽表示的，利用向量相等列方程组求出X、y的值即可；

(2)先求出彩=；而，再用近、前表示出同、正，利用通=6前•点即可求得空的值.

ZAC

26.答案：解：(1)向量万(vGcoftr.I).万:(siitr.sin。1),

则：函数=".万+J=VBsinzcos./—siirj,—1+：=^-sin2j'-sin(2/一；)，因

为工€[。，汩(久)=/，

所以21-6[-，§,sin(21_、)=空

66363

所以(、)-L--)=,

63

cos2x=cos[(2x-§一刍

=co«(2x—+sin(2x—^)sin-

6666

V2,W

=------'

26

(2)在△.A"C中，角AB,C对边分别是a,4c,

且满足2k*o«AW2r-V*/,整理得：2b————<2c—V3a,

2bc

整理得：eusB=±±巴》0，所以：0<BV3

2<u;26

当B=g时，a=l,△ABC面积为立，

64

则：-acsinB=，解得：c=V3，

24

利用余弦定理得：/二/+/—2WN/J,

a+cb

解得：b=1,则

sinyl+siiiCsinB

解析：本题主要考查三角函数的化简求值、余弦定理、向量的数量积，解答本题的关键是掌握相关

知识，逐一分析解答即可.

(1)向量示=(\/3<xxu,.1).7Z=(siiut.shrj-1),

2

则：函数/(j)=示•77+:=\/3疝Lrcosj*+sinj--14-^=-^sin2j,->S2J,siii，：/-3)，求

二的值;

(2)在中，角4,B,C对边分别是a,b,c,

且满足42r-瓜a,整理得：2b■空*《2c-聒a,求f.,,的值.

27.答案:解：(1)设圆。的方程为(％—Q)2+(y—b)2=r2,

6(2-a)24-(4—b)2=r2,

依题意，得卜1—a)2+(3—b)2=r2,

(a-b+1=0,

a=2,

解得b=3,

.r=1.

•••圆C的方程为(x-2)2+(y-3/=1.

(2)①福•而为定值，

过点4(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为7,易得|47『=7,

-.AM-AN=\AM\-\'AN|COS00=\AT\2=7，

・・.布・前为定值，且定值为7.

②依题意可知，直线/的方程为'=卜》+1,

设MS，%),/V(x2,y2),

将y=kx+1代入(x—2)2+(y—3)2=1并整理，

得(1+fc2)x2-4(1+k)x+7=0,

,4(l+fc)7

,,,%