高中数学：导数及其应用

专题：导数及其应用

题型一导数的几何意义

1.(2016年山东)若函数y=/(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=.f(x)

具有T性质.下列函数中具有T性质的是

A.y=sinxB.y=lnxC.y=e'D.y=x3

2.(2016年四川)设直线4,4分别是函数/*)=《—Inx,0<x<1,图象上点6,尸,处的切线，4与/,垂直相交于点

[lnx,x>1,

p,且小人分别与y轴相交于点A，B,则△au?的面积的取值范围是

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(1,+8)

3./(x)=Inx过原点的切线为,g(x)=ex过原点的切线为,

题型二发现函数构造函数求导处理

3.(2011湖南)设直线x与函数/(©=/,g(x)=lnx的图像分别交于点则当|M/V|达到最小时，的

值为

1V5V2

A.1B.-C.---D.---

222

4.(2015四川)已知函数/(x)=2"g(x)=x2+ax(其中aeR).对于不相等的实数

x„x2,设〃=<?(%)-<?(/),现有如下命题：

X]-xzxt-x2

①对于任意不相等的实数%,马，都有加>0；

②对于任意的4及任意不相等的实数%,々，都有“>0；i

③对于任意的a,存在不相等的实数%,々，使得"?=〃：

④对于任意的a,存在不相等的实数%,々，使得加=-n.

其中的真命题有(写出所有真命题的序号).

题型三导数的计算

5.己知函数/(x)=@Inx+上车，其中a>0.若/(幻有极值，则它的所有极值之和为_____.

21+Vx

6.(2017浙江)已知函数/(x)=(x-j2x-l)e-*(xeg

(I)求/(x)的导函数；

(II)求/(X)在区间［；,+8)上的取值范围.

7.(2018天津)已知函数/。)=优，g(x)=log“x,其中”>1.

(1)求函数A(x)=/(x)—xlna的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)在点(%,/区))处的切线与曲线y=g(x)在点(无2,g(无2))处的切线平行，证明

/、2InIn。

玉+g(*2)=一一,----；

Ina

题型四求导后——解不确定分类讨论

8.(2017山东)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)="(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然对数的底

数.

(I)求曲线y=/(x)在点(肛/(乃))处的切线方程；

(II)令〃(x)=g(x)-4f(x)(aeR),讨论〃(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

9.(2016年四川)设函数/(x)=ax?-a-lnx,其中awR.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)确定。的所有可能取值，使得/(X)〉1—el在区间(1,+8)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

x

题型五求导后一一有解难求代入使用

10.(2016年全国H)

⑴讨论函数/(x)==e，的单调性，并证明当x>0时，(x-2)e*+x+2>0；

(II)证明：当时，函数g(x)=吐手工(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为〃⑷，求函数〃⑷的值

域.

11.(2017江苏)已知函数/。)=丁+以2+区+1(。>0力eR)有极值，且导函数/'(X)的极值点是/(x)的零

点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求匕关于。的函数关系式，并写出定义域；

(2)证明：h2>3a；

(3)若/(x),/'(X)这两个函数的所有极值之和不小于-；