高中数学习题4：平面向量全章练习

第二章平面向量

2.1平面向量的实际背景及基本概念

1.卜一列各量中不是向量的是

A.浮力B.风速C.位移D.密度

2.下列说法中错误的是

A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0

C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形【】

A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆

4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量

是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若aWb,则勿.其中正确命

题的个数是【】

A.1B.2C.3D.4

5.下列命题中，正确的是

A.若同明，则£=」B.若a=B,则a〃B

C.若问〉W，则£4D.若忖=1,则a=1

6.在△/回中，/庐/C,〃、£分别是48、4。的中点，则

A.荏与正共线B.而与在共线C.而与族相等D.而与丽相

等

7.已知非零向量a//b,若非零向量cHa,则c与，必定.

8.已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线，则c与6必定.

9.已知|族=1,|AC|=2,若/物060。，则前=.

10.在四边形/腼中，AB=DC,且|AB|=|AO,则四边形力时是.

2.2平面向量的线性运算

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

1.设可，落分别是与£石向的单位向量，则下列结论中正确的是【】

A•a。=b。B.a。.瓦=1C.|a。|+1瓦|=2D.|/+d|=2

2.在平行四边形中/比〃而=a,而=b,则用a、6表示的是

A.a+aB.b^bC.0D.a+b

3.若a+3+c=6,贝Ua、1、c[]

A.一定可以构成一个三角形；B.一定不可能构成一个三角形；

C.都是非零向量时能构成一个三角形；D.都是非零向量时也可能无法构成一个三角

形

4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为7,水速为三，已知船可垂直到达对岸则【】

九不网B.R|>E|C.不同D.布同

5.若非零向量入满足,+W=可，则【】

A.|2^|>|2a+Z>|B.|2a|<|2a+^|C.|2Z>|>|a+2Z>|D.|2Z>|<|a+2Z>|

6.一艘船从/点出发以26gVh的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度

的大小为4km/h,求水流的速度

7.一艘船距对岸4&km,以2百km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船

的实际航程为8km,求河水的流速

8.一艘船从/点出发以%的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为％,船的

实际航行的速度的大小为4km/h,方向与水流间的夹角是60。，求q和v?

9.一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h,则船的实际航行速度大小

最大是km/h,最小是km/h

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

1.在△/8C中，BC=a,CA=b,则AB等于

A.a^bB.-a+(-，)C.a-bD.b-a

2.下列等式：①a+0=a②"a=a+力③-(-a)=a④a+(-a)=0⑤a+(-b)=a-8正确的个

数是【】

A.2B.3C.4D.5

3.下列等式中一定能成立的是

A.AB+AC=BCB.AB-AC=BCC.AB+AC=CBD.

AB-AC=CB

4.化简丽-豆+瓦+豆的结果等于【】

A.QPB.OQC.SPD.SQ

5.如图，在四边形/腼中，根据图示填空：

a+ZF,b^c-,c-d=,升状c-*.

6.一艘船从力点出发以20km/h的速度向垂直于对岸的方向

行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h,则河水的流速的大小

为.

7.若a、力共线且|a+引成立，则a与方的关系为—

8.在正六边形/况比尸中，AE=a,AD=n,则放=.

9.已知a、b是非零向量，则a■引=.a：+|引时，应满足条件.

10.在五边形4比"中，设AB=a,AE=b,BC=c,ED=d,用a、b、c、d表示CD.

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

1.下列命题中正确的是【】

A.OA-OB=ABB.AB+BA^OC.0.通=0D.AB+BC+CD=Ab

2.下列命题正确的是【】

A.单位向量都相等

B.若「与g是共线向量，3与展是共线向量，则-与2是共线向量

C.\a+h\=\a-h\,则限5=0

D.若以与图是单位向量，则q.瓦=1

3.已知向量6]H0,2wR,a=6]+402，5=26]若向量a与b共线，则下列关系一定成【】

A./=0B.e2=0C.ex//e2D.e]〃e?或a=0

4.对于向量和实数A,下列命题中真命题是【】

——*■»1*———•

A.若。♦。=0,则〃=0或8=0B.若几£=6,贝ij%=o或£=。

C.若=犷，贝ija=B或〃=一很D.若。•Z?=。•c,则B=c

5,下列命题中，正确的命题是[】

A.|万+5卜同且.|万+同之忖B.归+同之间或.归+5卜1司

C.若同〉W>同，则忖+〃|>|^+c|D.若方与很不平行，则同+,卜|万+5

6.已知ABC。是平行四边形，0为平面上任意一点，设方=反砺=5,反=六砺=，,

则有【】

A.a+b-^-c+d=0B.a—h+c-d=C）C.a+b-c—d=6

D.a—b-c+d=0

7,向量）与B都不是零向量，则下列说法中不正确的是【】

A.向量5与B同向，则向量5+B与万的方向相同

B.向量万与同向，则向量5+B与B的方向相同

c.向量万与B反向,且同〉，,则向量益+B与万同向

D.向量3与B反向，且同咽，则向量）+B与之同向

8.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|8,则有【

A.a〃力且a、b方向相同B.a-bC.a=—bD.以上都不对

9.在四边形力颇中，赢一反一W等于【

A.ACB.而C.ADD.AC

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1平面向量基本定理

1.若力腼是正方形，E是比'边的中点，且通=£,而=以则B后等于【

A.b+-^ciB.b—^dC.u+-^bD.ci--^b

2.若。为平行四边形/四的中心，AB=4e”BC=6a，则3包一2包等于【

A.AOB.BOC.COD.~DO

3.已知A48c的三个顶点A,8,C及平面内一点P,满足可+方+定=6,若实数2满

AB+AC=AAP,则2的值为【】

A.2B.-C.3D.6

2

4.在△ABC中，AB=c,.若点。满足丽=2觉，则而=[

2152211,2

A.-b+-cB.-c--6C.-b--cDn.—b+—c

33333333

5.如右图在平行四边形/叫N中，^B=a,AD^h,丽=3近，M为a'的中点,

则诉=[]

2-匕B-a-^b

A4242

C./4)1ff

Dq(…

6.如右图，在平行四边形4腼中，E、F分别是比；切的中点,

正与〃相交于点H,设砺=。,无="则而等于.

B

7.已知。为AABC的边BC的中点，AA6C所在平面内有一点P,满足中+丽+丽=6,

设”=4,则4的值为

IP0

8.在平行四边形/四中，E和F分别是边切和6。的中点，或而1=%泰+仅存，其中/I,

4£R,则丸+〃=.

ZZ7

9.在ABCD中,设对角线衣二,，丽二B试用2,B表示而，~BC

10.设61,02是两个不共线向量，已知48=2巧+检2,CB=e{+3e2,CD=2e,-e2,

若三点4B,，共线，求A的值

2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算

1.若丽=(2,4),AC=(1,3),则反[]

A.(1,1)B.(—1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)

2.下列各组向量中，不能作为平面内所有的向量的基底的一组是【】

A.々=(-1,2)》=(0,5)B.W=(1,2)3=(2,1)

C二=(2,-1)3=(3,4)D.々=(一2,1)3=(4,-2)

,,13

3.已知平面向量a=(1,1),5=(1,—1)，则向量一Q—b=【]

22

A.(―Z-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

4.若向量。=(x-2,3)与向量7=(l,y+2)相等,则

A.A=1,尸3B.A=3,y=lC.A=1,产一5D.A=5,广一1

5.点8的坐标为(1,2),布的坐标为(如77),则点/的坐标为

]

A.(1-m,2-n)B.(m-l,n-2)C.(1+m,2+n)D.(l+〃,2+m)

6.在平行四边形/四中，”为一条对角线，若丽=(2,4),正=(1,3),则应5=[]

A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)

7.已知向量Z=(1,6),3=(-2,0)，则Z+5.

8.已知向量。=(2,-1),3=(-1,3),则22-3B的坐标是.

9.已知点0是平行四边形4版的对角线交点，通=(2,5),通=(-2,3),则而坐标

为,前坐标为.,加的坐标为

10.已知西=(苟，乂)，砺=(吊，的)，线段的中点为G则反的坐标为

2.3.4平面向量共线的坐标表示

1.已知平面向量1=(1,2),3=(-2,〃?)，且£〃坂，则22+3万=

A.(-5,-10)B.(T,—8)C.(—3,—6)D.(—2,—4)

2.已知向量,=(x,3),5=(3,-1),且之与很共线，则x等于]

A.—1B.9C.-9D.1

3.已知方=(一2,5),|b\=\2aI，若B与。反向，则B等于]

A.(-4,10)B.(4,-10)C.(-1,-)D.(1,--)

22

4.平行四边形ABCD的三个顶点为A1)、B(-1,3)、C(3,4),则点〃的坐标

是【]

A.(2,1)B.(2,2)C.(1,2)D.(2,3)

5.与向量2=(12,5)不平行的向量是

125

A.(-12,-5)B.C.(-12,5)D.(24,10)

E'E

6.已知a,b是不共线的向量，A方=Aa+"AC=a+M(X,ueR),那么4B,

。三点时X,n满足的条件是【】

A.入+u=2B.A,—u=1C.入u=-1D.Xu=1

7.与向量Z=(-3,-4)同方向的单位向量是__.

8.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量九/+8与向量c=(-4,-7)共线，则4=.

9.已知加-1,-2),3(4,8),C(5,x),如果4B,。三点共线，则x的值为.

10.已知向量。=(3,2),b=(-1,1),向量比与35-26平行，Im1=471万求向量比的

坐标.

2.4平面向量的数量积

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

1下列叙述不正确的是

A向量的数量积满足交换律6向量的数量积满足分配律

C向量的数量积满足结合律Da-b是一个实数

2已知|a|=6,|引=4,a与b的夹角为60。，则(a+26)•(a-3Z>)等于

A72B~72C36D-36

3.已知向量同=1,忖=2,a-b=\,则向量2与B的夹角大小为【】

A.-B.-C.—D.—

4336

4已知|a|=l,|b|=V2,且(a-b)与a垂直，则a与力的夹角是【】

A6O0掷0"C135°D45°

->—>―»—>—>—>

5.若平面四边形力时满足A8+CD=O,(A8-AD)・AC=O,则该四边形一定是【】

A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形

6.若向量a=(cosa,sina),b=(cos/7,sin/7),则a与人一定满足【】

—>—»—>—>—>—>—>—>—>—>

A.a与b的夹角等于。一夕B.a_LZ?C.alIbD.(a+b)_L(a-b)

7.下列式子中(其中的a、b、c为平面向量)，正确的是【】

A.'AB-7C='BCB.a(6•c)=(a•6)cC.eR)D.0-AB=0

8设a=3,|引=5,且小与a-4b垂直，则4=

9已知3+为2/-8/a-b=-8j+16J,其中，、J是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位

向量，那么a•b=_.

10已知aJ_6、c与a、b的夹角均为60°,且a=1,6=2,c=3,则(a+22z_c)'=

11已知|a|=l,b\=41,(1)若a//b,求a•6；(2)若a、力的夹角为60°,求a+b\；

(3)若a-b与a垂直，求a与，的夹角

12设@A是两个单位向量，其夹角为60°,求向量a=2加〃与左2斤3〃的夹角

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1.已知向量a=(—5,6),方=(6,5),则a与〃]

A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向

2,若2=(-4,3),6=(5,6),则3|商|z--4a.b=[1

A.23B.57C.63D.83

3.已知5(1,2),b(2,3),c(-2,5),则aaB5为[]

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形

4.已知。=(4,3),向量b是垂直值的单位向量，则在等于【】

.,3443034_p.34

A.q，M)或(不力B.q,?或(一三,一不)

一号一令或(―D.(：,一$或(一短)

5.已知力=(2,3),彼=(-4,7),则M在彼方向上的投影为【】

A.V13B.巫C.—D.V65

55

6.已知|2|=技，彼=(1,2)且4〃B,则4的坐标为.

7.已知2=(1,2),b(1,1),c=b-ka,La,贝！^=.

8.。=(2,3),h=(-2,4),则(/+B)•(方-B)=.

9.已知石(3,2),b(-1,-1),若点P(x,-上)在线段的中垂线上，则产.

2

10.已知G(1,0),b(3,1),c(2,0),且〃=丽，h=CA,则々与B的夹角为.

11.已知2=(3,-1),B=(l,2),求满足条件x•2=9与x•B=-4的向量x.

2.5平面向量应用举例

1.在四边形A8CD中，AB•BC=0,BC=AD,则四边形ABC。的形状是【】

A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形

2.设0<6<2加寸,已知两个向量op〕=(cos。,sin。),op2=(2+sin6,2-cos。)，则向量长

度的最大值是【】

A.V2B.3V2C.V3D.2V3

3.力耳、瓦共同作用在某质点上，已知lKl=5N,l月l=12N,且耳与耳互相垂直，则质点所

受合力的大小为【】

A.7NB.17NC.13ND.10N

4.在△/勿中，若B(j=£,CA^b,A^=不且7•歹=b=c>a',则△/6C的形状

是【】

A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

5.已知作用于点。的力再,F2的大小分别为6,6,且两力间的夹角为60。，则两力合力的

大小为.

6.已知三点0(0,0),A(1,0),尸(x,y)且设x*l,yw().

(1)如果选取一点0,使四边形如尸0成为一平行四边形，则0的坐标是;

(2)如果还要求的中垂线通过。点，则x,y的关系是5

(3)再进一步要求四边形的河是菱形，则尸时.

7.有一两岸平行的河流，水速为1,小船的速度为行，为使所走路程最短，小船应朝

与水速成_______角的方向行驶.

8.一架飞机从4地按北偏西30°的方向飞行300km后到达6地，然后向。地飞行.已知C

地在/地北偏东60°的方向处，且4、C两地相距300km,求飞机从8地向。地飞行的方向及B、

C两地的距离.

9.已知两点4项,％),B(x2,y2),试用向量的方法证明以线段AB为直径的圆的方程为

U-X])(x-x2)+(^-y1)(y-y2)=0.

10.已知向量04、OB、0C满足0A+08+0C=6,|0A|=|OB|=|0C|=1,求证：AABC

是正三角形.

第二章平面向量参考答案

2.1平面向量的实际背景及基本概念

1.D2.A3.D4.A5.B6.B7.c//b8.不共线9.10.菱形

2.2平面向量的线性运算

2.2.1向量的加法运算及其几何意义

1.C2.D3.D4.B5.C6.2km/h7.4km/h8.2V3km/h,2km/h9.7km/h,

3km/h

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

l.B2.C3.D4.B5.-F-e/06.2km/h7.a与力的方向相反且都不

为零向量8.m-n9.a与b反向10.加■Anc

2.