数学名题思维学导课堂特色项目以《鸡兔同笼》为例

基于数学名题的思维课堂实践研究

--以《鸡兔同笼》为例

【摘要】“知识是手段，不是目的。思维才是最有效的。”建构思维课堂，

提升学生思维品质，首先为学生提供有思考价值的素材。然后是促进学生从低阶

思维（了解，理解，运用）迈向高阶思维（分析，综合，创造）。关键是指导学生学

会表示思考过程的方法。以数学名题《鸡兔同笼》为例，浅谈基于数学名题的思

维课堂主要问题：第一，如何引导学生读有价值的数学名题？第二，如何引导

学生想已知未知数量关系？第三，如何引导学生能触类旁通拓展延伸？抛砖引

玉。

【关键词】数学名题思维课堂

“知识是手段，不是目的。思维才是最有效的。”但思维的隐形增加了思维

培养的难度。数学课堂上很多学生学习“抄近路”，回答问题只说答案。教师追

问思考过程，表述不清，缺乏表达思考过程的能力。正因为抽象的思维隐形于学

生的学习活动中，教师不能准确把握学生思维动态。更何况学生思维品质的提升，

不是一朝一夕的事，是一个长期积累的过程。一节课的效果不能立竿见影，所以

思维品质的培养容易被老师们忽视。

如何建构思维课堂，提升学生思维品质呢？

首先为学生提供有思考价值的素材。数学名题是数学发展史中有一定的历史

故事与情节，有数学著作记载或民间流传的有代表性的数学问题。如鸡兔同笼、

李白喝酒、以碗知僧、百钱白鸡、韩信点兵……数学题之所以能成为名题，大多

数是因富含哲理且寓于生活之中，读之妙趣横生而又回味无穷，因此很多名题

都是大家所喜闻乐见的。以数学名题为载体，适当介绍有关的背景知识，帮助学

生感悟深厚的数学文化，体会数学在人类发展史中的作用。思维课堂要实现的条

件是教师要掌握核心技术：教师自身提问的技术和激发学生提问的技术。一名优

秀的教师，应该是学生思维的激发者。教师课堂提问应该是学生思维燃烧起来的

火把。让学生有适当的时间和空间自主发问“为什么？”能引起学生更多的想法。

如果老师的提问马上能让全体学生举手回答，那不是好问题。主题式的数学名题

往往是个大问题，能让学生进入探究之中……

1

然后是促进学生从低阶思维（了解，理解，运用）迈向高阶思维（分析，综合,

创造）。“小先生学习模式”是最高品质的学习。基于“数学名题”经典的学习

载体，通过学生“独立自主研读一一小组交流合作探究一一小先生汇报解说一

同伴认真倾听质问--全班师生多维互动研讨”，不断刺激学生大脑，改变学生

线性思维，实现网状联结，形成高阶思维。思维层次有高低之分，而思维方法没

有好坏之分，运用哪种思维方法解决什么问题却有决策优劣之别。罗列出可解决

问题的种种方法，选用最合理思维方法解决问题，这是思维动态的决策能力。久

而久之，这种思维能力渐渐成为不容易改变的一种惯性，即思维品质。思维的独

创性，灵活性，敏捷性，深刻性，批判性……影响学生一生的学习，工作与生活。

这就是我们所要追求的学生核心素养。不唯书，不唯师，不唯上的批判性思维

的培养，能让学生张开创造、想象的思维翅膀。

关键是指导学生学会表示思考过程的方法。通过一些具体的办法让抽象的思

维显形，如：表述法、图表法、操作法等将内部思维转化为外部动作。在同伴交

流中感悟。学会倾听不同的声音，大胆质疑，提出不同观点，讨论争辩。在自主

学习、同伴交流、质疑思辨的过程中提升学生的思维品质。

根据以上要素的理论分析与课堂实践，经过几年来的总结提炼而成“基于数

学名题的思维课堂”模式如下：

以数学名题《鸡兔同笼》为例，浅谈基于数学名题的思维课堂主要问题：

第一，如何引导学生读有价值的数学名题？“鸡兔同笼''问题是我国民间

2

广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中，今被编入北师大版、苏教版、

人教版、北京版等不同版本不同年级的教材中。如何充分利用数学名题“鸡兔同

笼”在不同年级进行不同思维方法的有效引导呢？我们要遵循儿童认知规律，科

学合理地品读数学名题。我们安排三、四、五、六年级学生让四位老师同课异构，

根据各个层次的年龄特征定位不同的学习目标。三年级目标为画图策略；四年级

的目标为从逐一列表假设拓展到跳跃列表假设；五年级的目标定位为灵活运用逐

一、折中和跳跃假设法，并学会用两步假设来推理出正确答案，过渡到算术假设

法；六年级的目标则定位为方法上的求联，通过比较画图、列表、算术推理、方

程假设等各种方法，把所有的方法上升为一种假设的上位思想。学生思维发展由

具体到抽象的过程显露无疑，充分体现了鸡兔同笼的思维价值。由此可见：不同

年级确定不同目标，采用不同方法品读数学名题，符合学生认知特点，才能真正

读懂数学名题。

第二，如何引导学生想已知未知数量关系？引导学生合理选用分析法、综合

法、假设法等数学思想方法发现数量之间的关系。《鸡兔同笼》这一数学名题关

键是让学生“自主探究、小组合作、小先生展示、质疑辨析”，引导学生在运用

假设法的同时，要化无形的思维为有形思维理清已知与未知之间的数量关系。思

维本身就是很无形的感觉，如果老师们能在实施过程中化无形为有形，势必会让

学生的思维增量。如：三年级的课中采用画图的策略来解决问题，针对画图一次

不能到位而需要调整时，老师可用不同颜色的粉笔标出脚太多时把兔调整为鸡，

或者可以用圈的方法在旁边标注调整的过程，这样学生的思维过程就表达出来

了。四年级的课中，学生出现图1情况：折中假设寻到最终答案的过程中，教师

如图2情况：学生的回答是通过2次折中假设得出正确答案，此时，教师可

顺势质疑，为什么鸡的只数再次取半，而不往上推理呢？因为脚数太少，要增加

兔的数量，发展孩子的逻辑推理能力。

五年级的课堂如图3：通过教师的表格数据比对，调整过程用箭头显现，学

3

生调整的过程一目了然，理解起来显然轻松。两步列表法发展到算术法只差临门

一脚，因此通过两步列表法理解过程，算术法来总结思维过程就水到渠成了。

锌;设装中有在X只，有维y只。

由是要毒亘T得：

:y=35-xCO

j-x+y=35Nx+4V=94(g)

L2x+4y=94CIMC入Cg)不寻Nx+4(M5-x)=94

解此方程缜瘠：

Nx+2y=7O<T)

―Nx+4y=94

rx=23

-L直)7成巨)恐，2丫=94-7。

者:笑中有推23只，兔。2只。

图3

从课初的随意猜想到表格中的有序猜想，从一般验证到表格中数据变化规

律的发现，从列表法自然联想到假设法，学生的思维经历了从无序到有序、从特

殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化，学生的思维能力也

随之得到了极大的提升。

第三，如何引导学生能触类旁通拓展延伸？三、四、五年级的课堂中呈现

了大量的素材，帮助孩子们举一反三建立鸡兔同笼的模型，如：日本的龟鹤算、

三轮车和自行车同轮分配、人民币混装问题都属于鸡兔同笼模型下的思维拓展。

学生面对“日本的龟鹤算、三轮车和自行车同轮分配、人民币混装问题”，引导

他们给“鸡兔同笼”重新取名。不经意的点拨，适时的追问，让学生一次次跳出

那只有形的“笼子”，超越各种具体的解题方法，上升为一种更具有普适性的思

想方法与策略一一假设，从而建构起解决这类问题的更具有一般性的“数学模

型”，通过方法迁移会一题通一类。因为，数学是一门关于“模式”的科学，探

究的是解决某类问题的“通则通法”。

很多数学名题能体现某种策略的优势。如《李白喝酒》的倒推策略、《百钱

白鸡》中的替换策略、《浮屠增级》中的假设策略……通过数学名题的阅读，探

索分析和解决问题的有效方法，积累一系列相关的思维策略，掌握一题多解或一

解多题，提高思维的灵活性、敏捷性、深刻性、批判性、独创性。总之，基于数

学名题的思维课堂能很好地优化学生思维方式，提升学生的思维品质。

4

,儿宣视角：让小学语文教学回归本位"

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附件2:课例

5

鸡兔同笼教学设计(四上)

引领者：何小龙

教学目标：

1.结合解决“鸡兔同笼”的问题，体验借助画图进行尝试与猜测的解题策略。

2.知道与“鸡兔同笼”有关的数学史，进行数学文化的熏陶与感染。

教学重点：

理解并能借助画图法进行尝试与猜测

教学难点：

能将画图法这一解决策略运用于实际

教学过程：

一、课前活动

1.介绍简笔画

师：大家有学过简笔画吗？数学中的简笔画是怎样要求的呢？

出示：用最简单的方法画出图形的特征

师：一起来读一读。读完后，你有何感想？

2.画一画

(1)用最简单的方式画一只鸡和一只兔。(10秒)

(2)明确最简单的画法

二、探究新知

问题1：鸡和兔一起圈在一笼子里，其中鸡有2只兔有3只。一共有几个头？

一共有几条脚？

1.画图

师：我们先来看问题一，请一位同学来读一读，其他同学边听边思考。

师：根据数学信息，你能画一个简图吗？

生画，师巡视并指导。

2.列式

师：根据我们画的图，你能列式解答吗？

引导：鸡脚数：2X2=4兔脚数：3X4=12一共脚数：4+12=16

问题2：鸡和兔一起圈在一笼子里，上面数有7个头，下面数有18条腿。

6

鸡、兔各有几只？

师：请同学们默读，一边读一边思考问题。

1.问题1与问题2有什么不同？

引导：问题1知道鸡和兔的只数，求脚的只数；问题2知道头的个数和脚的

只数，求鸡和兔的只数。

2.你能用画图的方法解决这个问题吗？

（1）生自主思考，师巡视并做适当的指导

（2）小组交流画法

（3）展示交流：选择对的数幅画，选择对的数幅画，并让学生说一说他们

的方法。方法可能会有凑凑的方法，添脚法，删脚法，主要分析后两种。

引导：先画出所有的头；再假设7个头都是鸡，那么脚就画了14只，还剩

下4只脚；最后把剩下的4只脚添加到鸡里，每只鸡添加两只。得到鸡有5只，

兔有2只。

3.验算结果

师：我们通过画图和列式得到了鸡和兔的只数，那么可以用什么方法来验

证我们的结果是对的还是错的呢？

4.介绍鸡兔同笼

师：你知道吗？刚才我们解决的这个问题，已经有1500年的历史了。

课件出示：“鸡兔同笼”问题是一道有着1500年历史的数学名题。出自我国

古代数学名著《孙子算经》

5.算法大全

出示算法

师：人们经过1500年的研究，总结出了很多的计算方法，学到这里，你有

和感想？

问题3：有鹤和乌龟都圈在一个笼子里。从上边数脑袋是6个，从下边数脚

是18只。问乌龟和鹤各是多少只？

师：刚才我们学校了我国古代数学名题，现在我们走进一百五十年前，开

看看日本的数学古典名题。你能用今天所学的方法解答吗？

1.独立解决

7

2.展示汇报

三、巩固练习

师：今天这节课，我们解答了两道古代数学问题，那能否在现代找到类似

的数学问题呢？一起来看看吧！

1.在一个车库里，停了小汽车和三轮车一共6辆，这些车一共有20个轮子。

那么小汽车和三轮车各有多少辆？

2.小红的储钱罐里有面值10元和5元的人民币共12张，总钱数为100元，

两种面值的人民币各多少张？

3.在一场篮球比赛中，一名运动员总共投中8个球，得了19分，那么他3

分球和2分球各投中了几个？

4.公园里有大船和小船，每条大船可以坐6人，每条小船可以坐4人。401

班共38人，租了8条船。大船和小船分别租了多少条？

板书设计：

鸡兔同笼

鸡兔同笼（列表法解决）五上

8

引领者：杜黎明

一、教材解读

北师大版义务教育教科书五年级上册的《鸡兔同笼》是放在“数学好玩”这

一专题中的，究其实质而言是属于“实践与综合应用”领域的一个内容，其目的

是让学生通过对生活中一些现象的观察与思考，从数量的角度进行合情推理。

“课标”指出：“实践与综合应用”的主要任务是帮助学生综合运用已有的知识

和经验，经过自主探索，合作交流，解决与生活实际密切联系的具有一定挑战性

的问题，以发展他们解决问题的能力。

“鸡兔同笼”是我国古代的一道数学趣题，最早见于《孙子算经》中，1500

年来，历代数学家们都想出了很多解决鸡兔同笼问题的方法。但本节教材的编排

主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是借助鸡兔同笼这个载体让学生经

历列表、尝试与不断调整的过程，从中体会并优化解决问题的一般策略一一列表。

二、学情分析

从学生情况看，列表法对学生并不陌生，二、三、五年级都曾用列表法解决

过租车、租船等问题。但由于一些学生在课外已事先接触过用假设法、画图法等

方法解决鸡兔同笼问题，这样的情况对本节课的教学造成了一定的困扰。

三、教学目标

1.结合解决''鸡兔同笼”的问题，体验借助列表进行尝试与猜测的解题策

略。

2.通过讨论，了解尝试与猜测、列表策略适用于哪些问题。

3知道与“鸡兔同笼”有关的数学史，进行数学文化的熏陶和感染。

教学重点：借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的

过程，从中体会出解决问题的一般策略一一列表枚举法。

教学难点：解决此类问题的调整策略，即在运用“跳跃列表法”中的调整幅

度的大小。

四、教学过程

（一）开门见山，直接解题

同学们，你知道今天咱们学习什么内容？（鸡兔同笼）有听说过鸡兔同笼吗？

是什么意思啊？

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（二）探究新知，发现规律

鸡兔同笼是我国古代名题，最早见于我国古代数学名著《孙子算经》。1500

多年来，数学家们想出了各种各样的方法来解决这个问题。今天，怎么就要用“尝

试与猜测”的方法来解决这个问题。

1.出示：鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡、兔各有几只？

学生自由读题，思考：这个题目中告诉我们哪些数学信息？（9个头，26

条腿。每只鸡、兔的腿数作为隐含条件，如有学生说出，则讲，如无则留待后面

教学过程中再点出。）

2.鸡兔各有几只？请你大胆猜测一下，有哪几种可能？你们的猜测都是围绕

哪个条件展开的？（9个头）

3.猜测的结果很多，怎样才能吧所有可能出现的情况，既不重复、又不遗漏

的记下来呢？老师想到了咱们以前学过的列表法。现在咱们用表格把所有的可能

都列出来。

4.现在请你思考一下，列表之后，我们能够把这个问题解决了吗？缺少什么

条件？（要计算腿的条数）把表格补充完整。

5.学生独立完成，教师巡回指导。

6.集中反馈：

（1）按无序、有序的顺序展示，引导出有序思考。

（2）按有正确答案、没有正确答案的顺序展示，引导得到正确答案之后，

要用符号标记，而且一般来说，得到正确答案之后，可以不用再继续计算。

7.引导发现规律

PPT出示表格范例。提问：请仔细观察，有什么发现？表格中什么是变的？

什么是不变的？

（1）得出列表枚举法的一般步骤：比较一一调整。（比较：猜测的鸡兔腿数

与数学信息中的腿数进行比较。）

（2）发现规律：每减少一只兔，增加一只鸡，腿就少2条；每增加一只兔,

减少一只鸡，腿就多2条。

（3）调整的方法：腿少：加兔减鸡；腿多：减兔加鸡。

小结：刚才咱们用列表法逐一列出了所有的可能性，然后按照顺序进行验证,

直到得出正确答案为止。假如现在笼子里有20个头，30个头，咱们是不是还这

样把所有的可能性都先列出来呢？（不需要）可以一边有序猜测，一边验证。

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（三）运用规律，优化列表

刚才，我们讲到鸡兔同笼这个问题是1500年前《孙子算经》中的名题，现

在咱们来看一看，那时候的题目是怎么样的？

1.出示：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

能看懂吗？谁能用现在的话来说一说？你能解决吗？

2.学生尝试：刚才我们己经用逐一列表法解决了一个鸡兔同笼问题，发现了

其中的规律，现在老师请同学们还是用列表法来解决这个鸡兔同笼问题。但老师

有个要求：请你根据刚才发现的规律，用更简单、更快捷的方法来解决。

3.学生独立完成，教师巡视指导，收集典型作业。

4.集中反馈：

（1）逐一列表：让学生评价，你觉得怎么样？

（2）跳跃列表：刚才老师讲要更简单、更快捷的方法，我们来看一下这份

作业，跟刚才那份比较，哪里不一样？

请这位同学来说一说，为什么从1就直接到10（或者其他数字）了？你是

怎么想的？

能不能更快捷呢？（两步列表法）重点讲透规律。

（3）如出现取中列表，也可以讲一讲。（如没有，就直接略过）。

（四）拓展应用，熟练规律。

1.（日本龟鹤算）有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿一共112条，问龟和

鹤各几只？

2.乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角

的硬币各多少枚？

龟鹤算直接脱胎于鸡兔同笼问题，略讲。

储蓄罐问题要理清哪个是头，哪个是腿，哪个是鸡，哪个是兔。

以下为挑战题：

1.100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：

大、小和尚各有多少人？

2.买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票

多40张，那么两种邮票各买了多少张？

（五）梳理知识，总结全课。

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这节课你的收获是什么？

五、板书设计

尝试与猜测

列表法（有序）

调整逐一列表法

腿少：加兔，减鸡。跳跃列表法

腿多：减兔，力口鸡。（两步）

规律（取中）

增加1只兔，减少1只鸡，少2条腿;

减少1只兔，增加1只鸡，多2条腿。

六上鸡兔同笼教学设计（六上）

引导者：于建玲

教学目标:

12

1.了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。

2.尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，学会用算术法来解决类似于鸡兔

同笼的数学问题。

3.在解决问题的过程中，培养学生的思维能力，并向学生渗透转化、猜测、假

设等数学思想和方法。

教学重点：用算术法解决“鸡兔同笼”问题

教学难点：算术法与列表法在方法上的沟通

教学具准备：PPT课件。

教学过程：

一、揭示课题

1.同学们，今天老师和大家一起来学习一道我国古代非常有名的数学趣题一

鸡兔同笼问题，早在1500多年前我国古代的一本数学专著《孙子算经》就有这

样记载：指名读“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

（PPT投影展示原题，）题目是什么意思呢？抽生回答。（笼子里有若干只鸡和兔，

从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？（PPT展示今

意）

2.其实这个问题我们在五年级的时候已经学过，当时我们用的是什么方法？这

里的鸡和兔有点多，为了研究方便，我们把题目里的数字改小一点。化繁为简，

（板书：这也是我们在数学上解决问题时经常用的一种策略）改为“笼子里有若

干只鸡和兔，从上面数，有8个头；从下面数，有26条腿。鸡和兔各有几只？”

（课件出示）

二、展示情境，尝试探究

（一）初步尝试。

1.那咱们先用以前学过的列表法来试一试。

2.反馈学生的方法。对比这些方法。（投影展示，展示学生的各种列表法总结：

不论是哪种方法都是先假设，猜测然后再调整。如逐一列表法，中间列表法、跳

跃列表法，老师这里也有一张列表法，有什么发现？）

小结：你们觉得用列表法解决鸡兔同笼问题怎么样？（很繁琐）那我们今天就把

这些假设猜测过程用算式记录下来。板书（算术法）

（三）尝试假设法

1.我们先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思？（就是有8只鸡和0只

兔，也就是假设笼子里全是鸡，也就是把里面的兔也看成鸡来计算了，那把一只

4条腿的兔当成一只2条腿的鸡来算就会少算两条腿）（课件出示配以图，算式

一起演示）

2.假设全是鸡：（板书）

8X2=16（条）（如果把兔全当成鸡一共就有8*2=16条腿）

26-16=10（条）（把兔看成鸡来算，4条腿兔有当成两条腿的鸡算，每只兔就少了

两条腿，10条腿是少算了兔的腿）

4-2=2（假设全是鸡，是把4条腿的兔有当成两条腿的鸡。所以4-2表示是一只

兔当成一只鸡就要少算2条腿。）

104-2=5（只）兔（那把多少只兔当成鸡算就会少10条腿呢？就看10里面有几

个2就是把几只兔当成了鸡来算，所以10+2=5就是兔的只数。）

8-5=3（只）鸡（用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8-5=3只鸡）

5.算出来后，我们还要检验算的对不对，谁愿意口头检验。

13

生：3X2+5X4=26（只），5+3=8（只）。

师：看来做对了，最后写上答语。

3.既然可以假设全是鸡，当然也可以假设全是兔。假如全部都是兔，那又是怎么

样的呢？自己尝试着写一写算式。

4.讲评配以兔的演示（指名学生上来讲评）

8X4=32（条）（如果把鸡全看成兔一共就有8*4=32条腿）

32-26=6（条）（把鸡当成兔来算，两条腿的鸡当成4条腿兔算，每只鸡就多了两

条腿，6条腿是多算了鸡的腿）

4-2=2（假设全是兔，是把两条腿的鸡当成有4条腿的兔。所以4-2表示是一只

鸡当成一只兔多算了2条腿。）

6+2=3（只）鸡（那要把多少只鸡当成兔来算就会多算6条腿呢？就看6里面有

几个2就是把几只鸡当成了兔算，所以6+2=3就是现在鸡的只数。）8-3=5（只）

小结：刚才我们假设全是鸡或全是兔，这种方法就叫假设法。这是解答鸡兔同笼

问题的一种基本方法。（板书：假设法）

三、练习

1.现在我们就用刚才学到假设法来解决《孙子算经》中原题，你会做吗？

课件出示《孙子算经》中原题学生解答并集体讲评（指名说解答过程）

四、延伸、应用

1.课件出示“做一做1”

鸡兔同笼问题传到日本时就变成了“龟鹤问题”，你认为“龟鹤问题”与“鸡

兔同笼”有什么相似之处？课件出示（龟相当于兔，鹤相当于鸡）

再比如生活中的数学问题：小红的储钱罐里有面值10元和5元的人民币共

18张，总钱数为140元，两种面值的人民币各多少张？它也可以看成是鸡兔同

笼的问题，有什么相通之处？

2.看来鸡兔问题这类问题我们不只局限算鸡和兔的只数问题上，只要能用“鸡

兔同笼”问题来解答的问题都可以统一叫做“鸡兔同笼”问题。下面我们就用刚

才学到的算术法，来解决生活中这一数学问题。

3.独立完成练习二。反馈交流。

（四）列方程解

在解决鸡兔同笼问题时，除了算术法外，还有方程的方法。出示方程法的解

法，让学生自学，并说说解题思路。要用列方程的方法就必须找到等量关系式。

通过得到到信息能写出哪些等量关系式呢？（兔的只数+鸡的只数=8；兔的腿+

鸡的腿=26条腿）（课件出示）

这里我们需要求兔的只数和鸡的只数，共有两个未知数。那我们可以设一个

未知数为X,再把另一个表示出来。这道题我们可以设兔的知数为X只，根据兔

和鸡共有8只。那鸡的只数就可以表示成：（8-X）只），因为一只鸡有2条腿，

所以X只鸡就共有2X条腿。一只兔有4只脚，（8-X）只兔就有4（8-X）只脚。

又因为鸡和兔共有26只脚，所以2X+4（8-X）=26

到了初中，可以用两个未知数分别表示鸡的只数和兔的只数，这样就变成了

方程组。其实经过了上千年的研究，解决鸡兔同笼问题的方法不少于30多种，

常用的就是列表法、算术法和方程法，古代的人还用“抬腿法”和“砍足法”，

如果你感兴趣可以去查找一些资料，了解一下古代人怎么解的。

五、课后总结：本节课你有什么收获？

板书设计

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鸡兔同笼

列表法算术法方程法

（假设、猜测）（等量关系）

繁

为

简

鸡/只876543210

兔/只012345678

腿/条161820222426283032

六年级鸡兔

同笼教学设计（六下）

引导者：龚淑华

【教学目标】

1.复习“鸡兔同笼”的基本解法，在比较、辨析、概括中经历再次构建“鸡兔同

笼”模型的过程。

2.应用假设的数学思想，经历沟通画图法、列表法、假设法、方程法等方法之

间的联系与区别，提高学生归类整理的意识，能根据自身和实际情况选择相应策

略。

3.在现实的情境中，让学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，增

强学生的自信心，体会数学的价值。

【教学重点、难点工体会各种方法之间的联系与区别。

【教学过程】

一、游戏热身，体会联系

1.游戏：

我们先来做个热身游戏:请你表示1,但不能说1。

二、自主探索，沟通联系

（一）交流讨论，复习方法。

师：今天我们一起复习《鸡兔同笼》板书

笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿，鸡和兔

共有几只？

师：课前同学们已经列举了解决鸡兔同笼的多种方法，四人小组里互相介绍。

（二）交流反馈，体会联系。

预设：

1.算术法

方法1：假设都是鸡

35X2=70（条）

94-70=24（亲）

兔:244-（4-2）=12（只）

鸡：35—12=23（只）

师：你听明白了吗？4-2表示什么？（兔和鸡相差两条腿）

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为什么12是兔的数量而不是鸡的？（因为假设全是鸡，每增加2条腿就把

一只鸡置换成一只兔，置换了12次，就是12只兔）

和他方法一样的举手。可以假设全是兔吗？

方法2：假设都是兔

35X4=140（条）

140-94=46（条）（多出了46只脚）

鸡:464-（4-2）=23（只）

为什么？（每减少2条腿就把一只兔置换成一只鸡，置换了23次，就是23

只鸡）

兔：35-23=12（只）

和他想法一样的是哪些同学？

2.列表法

头/心鸡/只.兔/只.腿/条.

35“34・，IP72/

35P33“2P74/

35-32.3P76-

35P30，4P80P

35P......Q........p

35~23r12P9今

师：你能看明白吗？每一列分别表示什么？你发现了什么？（每增加2条腿就把

一只鸡置换成一只兔）

3画图法

师：你先画什么？为什么两条两条画？（每增加2条腿就把一只鸡置换成一只

兔）

4.方程法

方法1：解：设兔有x只，则鸡有（35—x）只。

4x+2X（35-x）=94

4x+2X35-2x=94

4x—2x=94-70

2X=24

X=244-2

X=12

35—12=23（只）

答:兔有12只，鸡有23只

方法2：解：设鸡有x只，则兔有（35—x）只。

2x+4X（35-x）=94

2x+4X35-4x=94

4x-2x=140-94

2X=46

X=464-2

X=23

35-23=12（只）

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答:兔有12只，鸡有23只。

师：选用方4法的同学有哪些？还有其他方法吗？

小结：现在有“画图法”、“列表法”、“算术法”'“方程法”'……，你认为哪种

方法最难？（你们都认为画图列表比较麻烦，慢慢地，我们把好的方法留下，不

好的扔掉了。）

师：如果由这四种公展分分类，你会怎么分？说说理由？

预设：⑴画图法、列表法、算术法分为一类，方程法分为一类。（方程法有X,

用字母表示数是算术与代数最显著的区别）

⑵画图法、列表法分为一类，算术法、方程法分为一类。（前者是基础

版，后者是提高版）

⑶画图法和算术法分为一类，列表法和方程法分为一类。（PPT演示讲）

（画图法和算术法假设全部是鸡或者兔算术法就是把画图的过程变为算

式，画图的每一步都对应一个算式。列表法和方程法也有联系;列表法

和方程法两边都是未知数。如果鸡是1,兔就是几？（35-1）,如果鸡是

2,兔就是几？（）如果鸡是兔就是（）每只鸡两条腿,

35-2X,35-xo

所以要乘2,兔子呢？乘4,鸡腿加兔腿等于94条腿。我们发现列表法

和方程法也是对应的。）

师：你比较认同哪种分类方法？这些方法有没有相通的地方？

（画图、算术法、方程法都在假设全是鸡，列表法呢？如果写在表格上，该

怎么填，见下面红色部分，和算术法可以对应吗？这4种方法都在假设。他们之

间既有联系，又有区别。）（板书：假设）

皿/小成/口缶/口瞄/茎,

3535070-差

35，34.P72-2

35~33・沙74--

35”32.76.-

363a心88相差24条腿

（只）

3s.•••••••».......•©24+2=12

3623.12/94.

（三）介绍解法，再次联系。

1.二元一次方程组。

这个问题，等我们到了七八年级，还要再接触一次，怎么做呢？

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解：设笼中有鸡X只，有兔y只。

由题意可得：

ry=35-x①

rx+y=3512x+4y=94②

L2x+4y=94①代入②得2x+4(35-x)=94

解此方程组得：

r2x+2y=70①

L2x+4y=94②

rx=23

ty=12②减①得2y=94-70

答：笼中有鸡23只，兔12只。

师：这叫二元一次方程，设鸡为X只，兔为Y只，鸡头加兔头等于35,鸡腿加

兔腿等于94条。（PPT）

师：这种方法和小学里哪种方法一样？（RRT）

2..“抬足法”，古人不用方程，那又怎么算呢？所有的鸡都用一条腿站立，说有

的兔都用两条腿站立，这时地上还剩下几条腿呢？94+2=47（条），每个头对应

1条腿，多余几条腿就是兔子的只数。这也是假设法。

三、应用模型，寻找联系

1.和鸡兔同笼相类似的问题还有没有呢？我们来玩一个闯关游戏，看谁能把问

题看得最明白。

第一关：鸡兔同笼问题从中国传到日本，变成了“龟鹤问题”

有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共104条，龟、鹤各有多少只？

你看到了什么？（龟鹤问题可以看成鸡兔同笼问题来解决）

第二关

在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一题得2分，答错一题要

倒扣一分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问，他答错

了几题？

A2X10=20（分）

20-14=6（分）

64-（2-1）=6（题）

B2X10=20（分）

20-14=6（分）

64-（2+1）=2（题）

你认为哪种方法是正确的，理由是什么？和今天学的鸡兔同笼问题有关

吗？

第三关

神秘的太空有一个“克洛王国”，这里的动物都非常奇特，有双头一脚没有

翅膀的“双头蛇”，有三头一脚一对翅膀的“独足龙”，还有四头两脚两对翅膀的

“双飞龙”。一天“双头蛇”家族、“独足龙”家族和“双飞龙”家族在林间聚会,

“蘑菇怪”数了数发现这些“双头蛇”、“独足龙”、“双飞龙”一共有227个

头，104只脚，79对翅膀。请你帮“蘑菇怪”算算到会的“双飞龙”有多少只？

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小组讨论一下，这个问题可以用今天学习的方法来解决吗？

（关键：一脚一对翅、两脚两对翅，说明多出来的脚就是双头蛇的，因为它没

有翅膀。类似于古人的抬足法。保证头数不变进行调整，每四只独足龙可以和三

只双飞龙置换。用画图法理解。本题综合运用鸡兔同笼的多种策略。）

三、总结提升，内化联系

上了今天的复习课，你觉得我们研究了这么久有意义吗？

（打通方法之间的联系，从一题多解到一解多题，再到多解一题，寻找千变万化

的表象下不变的真理，这就是数学。）

四、板书设计:

画图法---------列表法算术法

嬲麟

35X2=70除)v

9*70=24僚)v

拓24+(42)=12(R)

i35T2=23限卜

WB

35X4=140(I)«

140-94=46僚)，

四盼(4-2)=23(R>

电35-23=1删

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爱迪生与助手的数学故事

引领者：蒋巧君

学习内容：学习《爱迪生与助手的数学故事》，举一反三。

学习目的：用等量转化法解决问题

学习对象：五年级下册或六年级上册。

学习过程：

一、导入

同学们，关于爱迪生知道哪些？我们一起来看：《爱迪生与助手的故事》。

在很久很久以前，有一次在实验室里，爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿

普顿，让他计算一下这只灯泡的容积是多少。（请学生用自己的语言说说“容积”

是什么意思。）

•再看：阿普顿是普林顿大学数学系高材生，又在德国深造了一年，数学

素养相当不错。你们猜一猜，阿普顿会怎样计算？

接着看：他拿着这只梨形的灯泡，打量了好半天，又特地找来皮尺，上下量

了尺寸，画出了各种示意图，还列出了一道又一道的算式。一个钟头过去了。爱

迪生着急了，跑来问他算出来了没有。''正算到一半。”阿普顿慌忙回答，豆大的

汗珠从他的额角上滚了下来。“才算到一半？”爱迪生十分诧异，走近一看，哎

呀，在阿普顿的面前，好几张白纸上写满了密密麻麻的算式。同学们看了以后，

你们想说什么?

继续看：“何必这么复杂呢？”爱迪生微笑着说，“你把这只灯泡装满水，

再把水倒在量杯里，量杯量出来的水的体积，就是我们所需要的容积。”“哦！”

阿普顿恍然大悟。他飞快地跑进实验室，不到1分钟，没有经过任何运算，就把

灯泡的容积准确地求出来了。

师问：爱迪生聪明在哪里？（师生讨论中得出并板书：化灯泡的容积为水

的体积，用等量转化法解决问题）跟阿普顿的方法比一比，有什么好处？（师生

讨论中得出并板书：化繁为简，化难为易）

［反思］谖坏手通过尘劲感人的故事，让当尘初步体会等蜃箝

化思馥方法的含义和童耍梯，激发起当代名灯等量转化思馥方法的玄

劭梯和用驱力。

二、练习

1、基本练

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（1）方法层面的练习

师说：在数学王国里，有很多数学难题可以用等量转化法解决。

想一想：要测量出不规则磁铁的体积，怎么办呢？写出你所选用的器材及

测量方法。

①（先独立想一想写一写，再同桌交流）

②班上汇报交流：怎样想的？对吗？为什么？

有两种方法：

方法一：用两个大小不一的容器，小容器放在大容器里。小容器装满水，

放入不规则磁铁，溢出的水倒入量杯读出水的体积，这时水的体积就是不规则磁

4

铁的体积。7

老师追问：该方法是“化什么为什么”？不规则磁铁的体积=水溢出的体

积（板书）

方法二：在一个比较大的长方体容器中装一定的水，算出水的体积，再放入

不规则磁铁的体积，认真读出水面上升的高度，求出水面上升的体积，也就是不

规则磁铁的体积。

老师追问：该方法是“化什么为什么”？不规则磁铁的体积=水面升高的体

积（板书）

（2）技能层面的练习

算一算：如果在一个底面长2分米，宽1.5分米的长方体容器中放入一块铁

块后水面升高了0.2分米，这块铁块的体积是多少？（先独立练习，再板演交流:

怎么想的？为什么？板书“化一一为一二'）

［反思］通过用等量辂化法巧妙解决问观的实践法勃，初步楮耒

当皮其市豆勒使用等量转化恩想方法的意辆，并健"化什么名什么”。

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2、变式练

快速转化：想一想，说一说“化一-为一-。”

(1)化不规则图形为规则图形

(2)