高中数学《平面向量共线的坐标表示》导学案

2.3.4平面向量共线的坐标表示

卜课前自主预习

1.平面向量共线的坐标表示

前提条件a=(xifyD，b=(x2,>2)，其中5WO

结论当且仅当田巨此2_%2丫1=0时，向量。，分SW0)共线

2.已知点PG1,M),P2(x2,")，若尸是线段尸岛的中点，则

点P的坐标为0段也，峙耳;若P是线段PR上距P^较近的三

等分点，则尸点的坐标为团(W逛，誓耳；若P是线段P1尸2上

距尸2较近的三等分点，则尸点的坐标为图J展江曼］

示］自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)已知向量。=(—2,4),b=(l,-2),则4与力反向共线.()

(2)已知4(1,-3),3(8,习，且A,B,。三点共线，则C点的

坐标可能是(9,1).()

(3)若a=3,y),力=(%2,")，则a〃〃时，有.=，成立.()

答案(1)V(2)7(3)X

2.做一做

(1)下列各组向量中，共线的是()

A.a=(~2,3),力=(4,6)

B.。=(2,3),力=(3,2)

C.«=(1,-2),6=(7,14)

D.a=(—3,2),b=(6,-4)

答案D

解析a=(-3,2)=一；(6,—4)=一；。，/.a与力共线.

(2)已知向量a=(2,-3),6=(—1,2),Ka//b,则人等于(

3

A.2B.—2

93

C.-2D.-2

答案A

3

解析由a〃〜得22=—3X(—1),

(3)(教材改编P98例7)若平面内三点4-2,3),3(3,-2),泰，m

共线，则加为()

A.gB.—

C.-2D.2

答案A

—►-A

解析V/l,B,。三点共线，...AB〃AC

—一「5、

又AB=(5,—5),AC=I2，m—3\,

25I

3)+"y=0,解得.故选A.

-►-A

(4)已知三点A(—1,1),3(0,2),C(2,0),若AB和CD是相反向量,

则。点的坐标为.

答案(1,-1)

—>

解析设。(X,y),AB=(0,2)-(-l,1)=(1,1),

-A

CD=(x,y)—(2,0)=(x—2,y).

­►—>

,：AB+CD=0,.\(l,l)+(x-2,y)=(0,0),

%—1=0,x=1,

即D(l,-1).

7+1=0,I，

卜课堂互动探究

探究1向量共线

例1(1)已知向量G=(1,2)"=(2,3),若向量如+b与向量c=(一

4,一7)共线，则4=；

(2)已知°=(1,2),力=(-3,2),当％为何值时，总+b与。-3力平

行？平行时它们是同向还是反向？

解析(1)因为。=(1,2),Q(2,3),

所以筋+办=«,22)+(2,3)=(2+2,22+3).

因为向量与向量c=(—4,—7)共线，

所以一7(2+2)+4(22+3)=0.所以2=2.

(2)解法一:%+方=网1,2)+(—3,2)=(七一3,22+2),

a—38=(1,2)—3(—3,2)=(10,-4),

当kz+b与a—3。平行时，存在实数九使3+~=2(G—3Z>).

由(女一3,2%+2)=2(10,-4),

A—3=1(U,解得k=A=—^.

所以《

2攵+2=—42,

当％=一1■时，①+方与。一3。平行,

这时攵a+b=—ga+Z>=一］(4一3，)，

因为^=—1<0,

所以ka~\~b与a—3b反向.

解法二：由题意知2a+方=(左一3,2%+2),

a-3b=(W,-4),

因为ka-\~b与a—3b平行，

所以(2—3)><(—4)-10*(2左+2)=0,

解得k=一3.

这时攵4+方=[_；-3,—1+2^=—1(a—3Z＞).

所以当k=—；时，帖+》与。一3》平行，并且反向.

答案(1)2(2)见解析

拓展提升

向量共线的判定方法

(1)利用向量共线定理，由。=劝(670)推出4〃瓦

(2)利用向量共线的坐标表达式修"一%2巾=0直接求解.

【跟踪训练1】已知向量。=(小，l),b=(O,—1),C=(鼠小).若

a—2b与c共线，贝Ik=.

答案1

解析因为a—2b=(小,3)与c=(k,3)共线，

所以3k=小＞＜小,故k=l.

探究2点共线问题

例2⑴若点A(l,-3),8(8,目，C(%,1)共线，则％=；

­►—►-►

(2)设向量04=(2,12),08=(4,5),OC=(10,k),当上为何值时，

A,B,C三点共线？

解析(1)AB=(7,AC=(x-l,4).

—►—►

因为点A,B,C共线，所以A3与AC共线.

7

所以7X4-](X—1)=0,解得％=9.

—►—►

(2)解法一：若4,B,C三点共线，则A3,AC共线，则存在实数

A,使得4B=14C,

因为48=08—0A=(4—鼠-7),

AC=OC-OA=(10~k,k~12).

所以(4一左,-7)=〃10T,k-12).

4-k=A(10~k),

即解得％=—2或k=ll.

-7=A(k-12)f

所以当％=—2或11时，A,B,C三点共线.

解法二：由题意知AB,AC共线，

-►—>―►

因为AB=O8-OA=(4-Z,-7),

—►—►-►

AC=OC-OA=(10-Z,A：-12),

所以(4一外(2—12)+7(10—©=0,

所以炉一%—22=0,解得％=—2或左=11.

所以当％=-2或U时，A,B,。三点共线.

答案(1)9(2)见解析

拓展提升

三点共线的实质与证明步骤

(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线

只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的.

(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证

明向量平行；②证明两个向量有公共点.

【跟踪训练2】已知点A(%,0),B(2x,l),C(2,x),0(6,2%).

(1)求实数％的值，使向量A3与CD共线；

—►―►

(2)当向量AB与。。共线时，点A,B,C,。是否在一条直线上？

-A-A

解(1)AB=(%,1),CD=(4,x).

—►—►

,/AB//CD,

.*.X2=4,X=±2.

-►

(2)由已知得BC=(2—2],%—1),

—►-►

当％=2时，BC=(—2,1),A3=(2,l),

—►-►

二.A8和8C不平行，此时A,B,C,。不在一条直线上；

—►—►

当％=—2时，BC=(6,-3),AB=(-2,1),

­►—>

J.AB//BC,此时A,B,C三点共线.

—►—►

又A3〃C。，「.A,B,C,力四点在一条直线上.

综上，当％=—2时，A,B,C,。四点在一条直线上.

探究3向量共线的应用

—►-►

例3在△AOB中，已知点0(0,0),A(0,5),3(4,3),OC=^OA,

—►—►

OD=^OB,AD与BC交于点M,求点M的坐标.

解:点0(0,0),4(0,5),3(4,3),

.,.OA=(0,5),03=(4,3).

'.'OC=(xc,yc)=^OA=[o,

二点C的坐标为(o,Ij.

同理可得点O的坐标为(2,|).

―►

设点M的坐标为(%,y),则AM=(x,)—5),

而AO=(2,—0

-A-A

,/A,M,。三点共线，:.AM与A£＞共线.

7

—2^—2(y—5)=0,即7x+4y=20.①

而厂皆，

05=(4-0,3-皆=(4,1

,.'C,M,8三点共线，

「.CM与C3共线.

・二3-4(厂皆=0,即7x_16y=_20.②

12

由①②，得不=亍，y=2.

点M的坐标为(写，2).

―►―►—►-►

[变式探究]若将例3中的“OC=：OA”改为“OC=；QA”其

他条件不变，再试求M点的坐标.

解VA0(0,0),A(0,5),3(4,3),

「.04=(0,5),OB=(4,3),又OC=；QA,：.C点坐标为(0,|]

同理Z)点坐标为(2,|),

设M的坐标为(%,y),则AM=(x,y—5),A£)=(2,一m，

—►―►

VA,M,。三点共线，「.AM与AO共线.

7

二.一1%—2(y—5)=0,即7%+4y=20,①

又,.,CM=Q,y—I]CB=(4,C,M,B三点共线，

4^y—1^=0,即%-3y+5=0,②

Q11

由①②解得，％=§，y=5，

...点M的坐标为(I，D

拓展提升

由向量共线求交点坐标的方法

【跟踪训练3】如图，已知点4(4,0),8(4,4),C(2,6),求AC

和08的交点P的坐标.

解与08共线，故设00=203=(42,4幻,

—►—►

则AP=(4九-4,44),AC=(2-4,6—0)=(—2,6).

由A尸与AC共线，得(44-4)X6-42X(-2)=0.

3

解得2=不

—►

：.OP=(4A,42)=(3,3).

故点P的坐标是(3,3).

I悌堂即

1.两个向量共线条件的表示方法

已知”=(%],)1)，b=(%2，)2)，

⑴当bWQ,a=Xb.

(2)%1竺一Myi=O.

(3)当磔27。时，日'=2即两向量的相应坐标成比例.

2.向量共线的坐标表示的应用

两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、

共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分

向量的共线、平行与几何中的共线、平行.

(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨

迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件

等都可作为列方程的依据.

卜课堂达标自测

1.已知向量a=(l,2),b=1),若(a+25)〃(2。-2。)，则A

的值等于()

11

A.2B.Q

C.1D.2

答案A

角星析“+2方=(1,2)+2(2,1)=(1+2九4),2“一2方=2(1,2)—2(2,

1)=(2-2A,2),由3+2方)〃(2标-23可得2(1+20-4(2-22)=0,

解得A=2"

2.设点尸是尸0,-2),尸2(-3,5)连线上一点,且P2P=-gpPi，

则点尸的坐标为()

A.(5,-9)B.(-9,5)

C.(-7,12)D.(12,-7)

答案C

解析:P2P=-；PP1，

是RP的中点，

.,.P(-7,12).故选C.

3.已知A(3,-6),3(—5,2),且A,B,C三点在一条直线上,

则。点的坐标不可能是()

A.(—9,6)B.(-1,-2)

C.(-7,-2)D.(6,-9)

答案C

解析设C(x,y)f则AC=(x—3,y+6),A8=(—8,8).

3v~I-6

♦.48,C三点在同一条直线上，，==丁，即x+y+3=0,

将四个选项分别代入％+y+3=0验证可知，不可能的是C.

4.与G=(12,5)平行的单位向量为

答案得飙一告,V)

解析设与。平行的单位向量为e=(x,y),

'_\2r12

f+y2=l,计⑶-x=-13,

则＜解得＜或＜

_12y-5x=0,5、,—--5-

U13,

5.平面内给出三个向量a=(3,2),b=(—1,2),c=(4』)，求解下

列问题：

(1)求3a-bb—2c；

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n；

(3)若(a+Ac)〃(20—a),求实数k

解⑴3a+万-2c=3(3,2)+(—1,2)—2(4,1)=(0,6).

(2)'."a=mb~\~nc,

/.(3,2)=m(-l,2)+n(4,l),

,=5

—m+4n=3,m9，

：.],c

2m-\-n=2,_8

(3)：a+既=(3,2)+%(4,l)=(3+4Z,2+Z),

2ft-«=2(-l,2)-(3,2)=(-5,2),

又(a+&c)〃(2b—a),

.•.2(3+物=-5(2+人),

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基

底的是()

A.a=(0,0),b=(l,-2)

B.a=(—1,2),力=(5,7)

C.a=(3,5),Z>=(6,10)

D.a=(2,-3),8=(4,-6)

答案B

解析A中，a=(0,0)与b=(l,-2)共线，不能作为表示它们所

在平面内所有向量的基底；C中a=(3,5)与》=(6,10)=2a共线，不能

作为表示它们所在平面内所有向量的基底;D中a=(2,—3)与8=(4,

—6)=2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底.故选

B.

2.已知两点A(2,-1),8(3,1),与AB平行且方向相反的向量。

可能是()

A.(1,-2)B.(9,3)

C.(-1,2)D.(-4,-8)

答案D

―►

解析48=(3—2,1+1)=(1,2),

7(-4,-8)=-4(1,2),

.,.(—4,—8)满足条件.

3.已知向量。=(1,2),(a+b)//b,则b可以为()

A.(1,2)B.(1,-2)

C.(2,1)D.(2,-1)

答案A

解析设b=(x,y),贝UG+分=(X+1,y+2),因为(a+b)〃瓦

所以(%+l)y—%(y+2)=0,化简得y—2%=0,只有A满足.

4.若a=$sina),6=,必且“〃〃，则锐角a为()

A.30°B.45°

C.60°D.75°

答案B

311

解析由“〃瓦得gXg—sinasina=0,「.sin2a=],

/.sina=i2>又a为锐角，...a=45。.故选B.

5.若平行四边形的3个顶点分别是(4,2),(5,7),(—3,4),则第4

个顶点的坐标不可能是()

A.(12,5)B.(-2,9)

C.(3,7)D.(-4,-1)

答案C

解析解法一(估算法)：画草图可知符合条件且在第一象限的点

只有一个，且位于点(5,7)的右侧，则该点的横坐标要大于5,所以只

有C不可能.

解法二(向量法):设第4个顶点坐标为。(/小〃),记A(4,2),仅5,7),

C(—3,4).

,/四边形ABC。为平行四边形，

-A—>—>—►—>—>

.,.AB=0C或AB=C。或AC=D3,

(1,5)=(—3—机,4—〃)或(1,5)=(3+机，〃-4)或(-7,2)=(5—

mJ-ri),

...点。为(一4,一1)或(一2,9)或(12,5),故第4个点坐标不可能

为(3,7).故选C.

二'填空题

—>—►-►

6.已知向量0A=(3,-4),08=(6,—3),0C=(5~m,一3

-m).若点A,B,C能构成三角形，则实数m应满足的条件为

答案

—>-A

解析若点C能构成三角形，则这三点不共线，即48与AC

—>—>—>—►­►­A

不共线.：43=08—04=(3,1),4。=0。-04=(2一机,1一机)，，3(1

—即加号，.二实数机母.

7.向量a=(〃,l)与方=(4,切共线且方向相同，则〃=.

答案2

解析方，，/―4=0,/.〃=2或〃=—2,又,；a与b方向

相同，，〃=2.

8.已知四边形的顶点A(3,-1),仅1,2),C(-l,1),D(3,-

5),则四边形ABC。的形状为.

答案梯形

―►-►

解析•:48=(-2,3),DC=(-4,6),

而(-2)X6-3X(—4)=0,：.AB//DC.

—►—►

又二人力=①，-4),BC=(~2,-1),

而0X(-l)-(-4)X(-2)^0,

—>—>

，A£>与不共线.

二.四边形ABCD是一个梯形.

三、解答题

9.已知。=(1,0),力=(2,1).

(1)当％为何值时，①一力与a+2》共线？

—►—►

(2)若48=2。+3方，3C=a+/汕且A,B,C三点共线，求机的

值.

解(1)而一方=m1,0)—(2,1)=(%—2,-1),

”+2力=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

因为ka-b与a-\-2b共线，

所以2(—2)—(—1)X5=。，解得人一去

(2)因为4,B,C三点共线，

-*—(2=2,

所以2£R,即24+3。=，。+加。)，所以‘解

,3=mA,

得/n=|.

10.如图所示，在四边形4BCD中，已知A(2,6),8(6,4),C(5,0),

0(1,0),求直线AC与3。交点P的坐标.

解设尸(%,y),

-►

则QP=(L1,y),

―►―►—►

Q3=(5,4),CA=(-3,6),DC=(4,0).

—►-►

由3,P,。三点共线可得QP=2QB=(52,42).

—►―►—►

又尸一。。=(52—4,42),

—►-►

由CP与CA共线，得(52—4)X6+122=0.

4

7-

一,

D20一

・7

/.点尸的坐标为母，yj.

B级：能力提升练

1.平面上有4一2,1),8(1,4