导数的概念和运算导数学案

专题9导数的概念和运算

一.导数的概念：

1.函数y=〃x)在点/处的导数y'b，=尸(%)=1吗〃％+弋~"")；

2.函数y=f(x)在开区间(a,b)内的导函数y=/(x)=蚂个一””.

二.常见函数的导数：

函数”X)导函数/'(x)函数/(x)导函数/'(x)

〃元)=Cf(x)=x"

/(x)=sinx/(x)=cosx

〃x)=e*f(x)=ax

/(x)=lnx/(x)=logax

三.导数的运算法则：

①"("+g(》)]'=②"(x)-g(x)]'=

③"(x),g(x)J=④[C"(x)]'=;

ZW

⑤g⑺

例1.分别求下列函数的导数.

①)=(%+1乂/一1by^x-e；

-x—1GInx

③万工？④y=——

X

例2.已知"x)=o?+3x+2,若尸(-1)=4,贝ija的值是()

A19D16

A.—D.--

33

13八1

C.—D.-

33

例3.设/(x)=xlnx,若尸(%)=2,则%,=(

A.e2B.e

In2

C.—D.In2

2

四.导数的几何意义：

函数y=/(%)在点x=x0处的导数(几何意义)是.

因此曲线,=f(x)在点(尤处的切线的方程为：一

例4.如图所示，已知函数y=的图象在点P处的

切线方程是y=—x+5,则〃3)+/(3)=

例5.曲线y=上在点(1,-1)处的切线方程为.

x—2

例6.过点(1,-3)作曲线y=/的切线，则切线方程为

专题10导数的应用

一.函数的单调性

如果函数y=/(x)在某个区间内可导，那么

①若,则在该区间上为增函数；

②若,则在该区间上为减函数；

③若,则在该区间上为常函数.

例1.分别求下列函数的单调区间.

%

①/'(元)=尤3一+1；②f(x)=xlnx；③/(x)=e-ex.

二.函数的极值：

求可导函数极值的步骤：

①;

②;

③检验尸(无)在方程尸(力=0根左右的值的符号，

如果,那么无)在这个根处取得极大值;

如果,那么/(%)在这个根处取得极小值.

例2.求函数y=gx3—4x+4的极值.

例3.已知/'（x）=ax'+6/+cx2+d在刀=1处取极值4,在x=-l处取极值0,

求a,b,c,d的值.

三.函数的最大值与最小值：

求函数〃x）在［凡句上求最大值和最小值的步骤：

①求在开区间（。力）内所有的极值点；

③计算/（X）在极值点和端点的函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最

小值.

例4.求函数〃x）=x3_12x+8在区间［-3,3］上的最大值与最小值.

专题11导数综合问题

例1.已知函数/(X)=V+G+6的图象是曲线C,直线y=fcc+l与曲线C相切于点

。，3).

(I)求函数/(%)的解析式；(H)求函数/(%)的递增区间；

(III)求函数F(x)=-2犬-3在区间[0,2]上的最大值和最小值.

2

例2.已知函数/(x)=x3+ax2+Z?x+c在龙=一§与x=l时都取得极值.

(I)求。、b的值与函数“X)的单调区间；

(II)若对xe[-l,2],不等式/(x)<c2恒成立，求c的取值范围.

例3.已知函数/(x)=at2+Z?lnx在x=l处有极值g.

(I)求a,b的值；

(II)判断函数y=/(x)的单调性，并求出单调区间.

例4.已知函数=-for**的图像与直线"+y=0相切于点A,且点A的横

坐标为1.

(I)求a,b的值；

(II)求函数f(x)的单调区间，并指出在每个区间上的增减性.

例5.函数/（%）=；*3+法2+5+1（q>0）,若方程r（x）-9x=0的两个根为1和4.

（I）当。=3且曲线y=〃尤）过原点时，求〃x）的解析式；

（II）若在（口,+0。）无极值点，求a的取值范围.

例6.设a>0且awl,函数/（x）=gx2-（a+l）x+alnx.

（I）当a=2时，求曲线y=/（x）在（3,〃3））处切线的斜率;

（II）求函数〃力的极值点.

例7.已知函数/'(%)=尤3+2f+x.

(I)求函数/(x)的单调区间与极值；

(II)若对于任意xe(0,+co),/(力？以2恒成立，求实数。的取值范围.

例8.已知函数“X)=(x-左)e*.

(I)求〃x)的单调区间；

(II)求〃x)在区间［0』上的最小值.

例9.已知函数〃%）=（d一中其中awR.

（I）若々=1,求曲线y=/（%）在点（OJ（O））处的切线方程;

（II）当X.-2,2］时,求函数八%）的最小值.