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高中数学必修1练习题集

第一章、集合与函数概念

1.1.1集合的含义与衣示

例1.用符号W和史填空。

⑴设集合A是正整数的集合，则0A,五A,(-1)°A；

⑵设集合B是小于而的所有实数的集合，则2百B,1+V2B；

⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A,美国A,印度A,英国A

例2.判断下列说法是否正确，并说明理山。

⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；

(2)1,-11,［这些数组成的集合有五个元素：

24|2|2

(3)由a,b,c组成的集合与b,a,c组成的集合是同一个集合。

例3.用列举法表示下列集合：

⑴小于10的所有自然数组成的集合A；

⑵方程/=x的所有实根组成的集合B；

⑶由1〜20中的所有质数组成的集合Co

例4.用列举法和描述法表示方程组《)的解集。

x-y=-1

典型例题精析

题型.集合中元素的确定性

例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上

到点0的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤血的近似值得全体，其中能构

成集合的组数是()

A.2B.3C.4D.5

题型二集合中元素的互异性与无序性

例2.已知/6{I,o,x},求实数x的值。

题型三元素与集合的关系问题

1.判断某个元素是否在集合内

例3.设集合A={x|x-2k,AeZ},B={xIx=2k+1,"wZ}。若aeA,beB,

试判断a+〃与A,B的关系。

2,求集合中的元素

例4.数集A满足条件，若aeA,贝U匕A,(aW1),若工eA,求集合中的其

1-a3

他元素。

3.利用元素个数求参数取值问题

例5.已知集合A={x\ax1+2x+1=0,aeR},

⑴若A中只有一个元素，求。的取值。

⑵若A中至多有一个元素，求〃的取值范围。

题型四列举法表示集合

例6.用列举法表示下列集合

⑴A={x||x|W2,xwZ}；(2)B={x[(x—I)2(x—2)=0}

⑶M={(x,y)|x+4,xeN*,yeN*}.

题型五描述法表示集合

A

例7.⑴已知集合乂={尤£N|------eZ},求M；

l+x

A

（2）已知集合C={——eZ|xeN）,求C.

1+x

例&用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）

的点的坐标的集合。

例9已知集合人=刀+2,(a+1)2,a2+3a+3),若1eA,求实数a的值。

例10.集合M的元素为自然数，且满足：如果xwM,则8-xeM,试回答下列问题:

⑴写出只有一个元素的集合M；

⑵写出元素个数为2的所有集合M；

⑶满足题设条件的集合M共有多少个？

创新、拓展、实践

1、实际应用题

例11.一个笔记本的价格是2元，一本教辅书的价格是5元，小明拿9元钱到商店，如

果他可以把钱花光，也可以只买一种商品，请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来,

并用集合表示。

2、信息迁移题

例12.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A、B间的运算A*B={xIXGA且

x纪B},则集合A*B等于（）

A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}

3、开放探究题

例13.非空集合G关于运算㊉满足：⑴对任意a、beG,都有a㊉beG；(2)存在

eeG,使得对一切aeG,都有a㊉e=e㊉a=a,则称G关于运算㊉为“融洽集”。现给

出下列集合与运算：

①G={非负整数},㊉为整数的加法。

②G={偶数},㊉为整数的乘法。

③G={二次三项式},㊉为多项式的加法。

其中G关于运算㊉为“融洽集”的是。(写出所有“融洽集”的序号)

例14.已知集合人={0,1,2,3,a},当xwA时，若x-l£A,则称x为A的一个“孤

立”元素，现已知A中有一个“孤立”元素，是写出符合题意的a值(若有多个a

值，则只写出其中的一个即可)。

例15.数集A满足条件；若awA,则」一GA(arl)。

1-6(

⑴若2eA,试求出A中其他所有元素；

⑵自己设计一个数属于A,然后求出A中其他所有元素；

⑶从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”。

高考中出现的题

例I.(2008•江西高考)定义集合运算：A*B={z|z=xy,xeA,yeB}«设A={1,

2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为()

A.0B.2C.3D.6

例2.(2007•北京模拟)已知集合A={a(,a2,…，a*}(k22),其中a.eZ(i=l>2,…,

k),由A中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)|aeA,beA,a+beA}；T={(a,

b)IaeA,beA,a-beA),其中(a,b)是有序数对。

若对于任意的awA,总有-aAeA,则称集合A具有性质P。

试检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质P,并对其中具有性质P的集合，

写出相应的集合S和T。

1.1.2集合间的基本关系

例1用Venn图表示下列集合之间的关系：A=｛xIx是平行四边形｝,B=｛xIx是菱

形｝,C=｛x|x是矩形｝,D=｛x|x是正方形｝。

例2设集合A={1,3,a},B={1,a?-a+l},且A=B,求a的值

例3已知集合人=正，xy,x-y｝,集合B=｛0,y｝,A=B,求实数x,y的值。

例4写出集合｛a、b、c｝的所有子集，并指出其中啪些是真子集，哪些是非空真子集。

例5判断下列关系是否正确：(1)0e｛0｝；(2)｛0｝；(3)0=｛0｝；(4)0■｛。｝

题型一判断集合间的关系问题

例1下列各式中，正确的个数是()

(1){0}€{0,1,2}；(2){0,1,2}G{2,1,0}；(3)0c{0,1,2}；(4)0={0}；

(5){0,1}={(0,1)}；(6)0={0}»

A.1B.2C.3D.4

题型二确定集合的个数问题

例2已知{1,2}cMc{l,2,3,4,5},则这样的集合M有个。

题型三利用集合间的关系求字母参数问题

例3已知集合A={x门Vax<2},B={xI忖<1},求满足AqB的实数a的范围。

例4设集合A={x|x2+4x=0,xeR},B={xIx?+2(a+l)x+a?-l=O,xeR},若BqA,

求实数a的值。

一、数形结合思想：1.用Venn图解题

例5设集合A={x|x是菱形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是正方形}，指出A、

B、C之间的关系。

例6（2.用数轴解题）已知A={xIx<-l或x>5},B={xeR|a<x<a+4},若AqB,

求实数a的取值范围。

二、分类讨论思想

例7已知集合人=s，a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}>A=B,求c的值。

创新、拓展、实践

1.数学与生活

例8写出集合{农夫，狼，羊}的所有子集，由此设计一个方案：农夫把狼、羊、菜从

河的一岸送到另一岸，农夫每次乘船只能运送一样东西，并且农夫不在场的情况下，狼和羊

不能在一起，羊和菜不能在一起。

2.开放探究题

例9已知集合人=幽|,一。卜4},集合B={1,2,b}.

（1）是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A^B?若存在，求出对应的a值,

若不存在，说明理由。

（2）若AqB成立，求出对应的实数对（a,b）

高考要点阐释

b

例1（山东模拟）设a、beR,集合{1,a+b,a}={0,一，b},则b-4=（）

a

（请写出解题过程）

A.1B.-1C.2D.-2

例2（湖北模拟）已知集合人={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B=A,则实数

m=.

例3（2008•福建高考）设P是一个数集，且至少含有两个数，若任意a、beP,都

有a+b、ab、（除数b#0）,则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域；数集F={“

h

+bV2Ia、6eQ}也是数域。有下列命题：①整数集是数域；②若有理数Q±M,则数集

M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。

其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号都填上）

〈名师专家专辑1•空集〉

1.空集的概念及性质

例1在（1）{0}；（2）{0}；（3）{xI3m<x<m}；（4）{xIa+2<x<a}；（5）{xIx2+1=0,

XGR}中表示空集的是.

2.空集性质的应用

例2已知集合A={xIx>0,xeR},B={xIx2-x+p=0},且BqA,求实数p的范围。

例3已知A={xIx?-3x+2=0},B={xIax-2=0},且BqA,求实数a组成的集合

C.

1.1.3集合的基本运算

例1设集合A={x|-l<x<2},集合B={x|l<x<3},求AIIB.

例2A={xIT<xW4},B={xI2<xW5},求Ap|B.

例3若A、B、C为三个集合，AUB=BAC,贝IJ•定有（）

A.A=CB.CcAC.A，CD.A=0

例4不等式组的解为A,U=R,试求A及C°A,并把它们分别表示

在数轴上。

题型一基本概念

例1设集合A={(x,y)IQ[X+/?]y+C]=O},B={(x,y)I«2x+Z?2y+c2=0},

{ax+b.y+c=0,

则方程组《]}的解集是__________;方程(a/+/y+(gx++

[a2x-^-b2y+c2=0

c2)=0的解集是.

题型二集合的并集运算

例2若集合A={1,3,x},B={1,x2},AUB={1,3,x},则满足条件的实数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型三集合的交集运算

例3若集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={xIx2-5x+6=0},C={xIx2+2x

-8=0},求a的值使得0q(AnB)与Af1C=0同时成立。

例4集合A={1,2,3,4},B=A,且1e（A「B）,但4史（A「B）,则满足上述条件

的集合B的个数是（）

A.1B.2C.4D.8

题型四集合的补集运算

例5设全集U={1,2,X2-2},A={1,X},求C〃A

例6设全集U为R,A={xIx2-x-2=0},B={xI|x|=y+1,yeA},求C?B

题型五集合运算性质的简单应用

例7已知集合人=3|x?+ax+12b=0}和B={xIx?-ax+b=0},满足（C。A）C|B=2,

An（C°B尸{4},U=R,求实数a、b的值。

例8已知A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0}>且AUB={-2,1,5},AfiB

={-2},求实数p、q、r的值。

数学思想方法

—•、数形结合思想

例9（用数轴解题）已知全集U={x|xW4},集合A={x|-2<x<3},集合B={xI

-3<x<3},求C^A,Ap|B,CytApB）,（CyA）riB

例10（用Venn图解题）设全集U和集合A、B、P满足A=CuB,B=CuP,则A与P

的关系是（）

A.A=C,u,PB.A=PC.Ao----PD.A-u---P

二、分类讨论思想

例11设集合A={|a+1,3,5},集合B={2o+1,a2+2a,a2+2a-\},当AAB={2,

3}时，求AUB

三、“正难则反”策略与“补集”思想

例12已知方程x?+ax+1=0,x2+2x-a=0,x2+2ax+2=0,若三个方程至少有一

个方程有实根，求实数a的取值范围。

四、方程思想

例13设集合A={x|X2+4X=0,xeR},B={xIx2+2(a+l)x+a2-1=0,xeR},

若B[A,求实数a的值。

创新、拓展、实践

例14（实际应用题）在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，其中有15人

参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时

参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的

有多少人？只参加径赛的同学有多少人？

例15（开放探究题）定义集合A和B的运算为A*B={x|xeA且xeB},试写出含

有几何运算符号“*“u”、“n”，并对任意集合A和B都成立的一个式子

例16我们知道，如果集合A[U,那么U的子集A的补集为C"A={xIxeU,且x£A},

类似地，对于集合A、B,我们把集合{xlxeA,且x纪B}叫做A与B的差集，记作A-B,

例如A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},则A-B={1,2,3,},B-A={4,6,7}。

据此，回答以下问题：

(1)补集与差集有什么异同点？

⑵若U是高•⑴班全体同学的集合，A是高⑴班全体女同学组成的集合，求U-A

及CQA.

⑶在图1-1-24所示的各图中，用阴影

表示集合A-B

图1-1-24

(4)如果A-B=0,那么A与B之间具

有怎样的关系。

高考要点阐释

例1（2008•陕西高考）已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={xIx?-3x+2=0},

B={x|x=2a,aeA},则集合C。（AUB）中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例2（2008•上海高考）若集合A={xIxW2},B={x|x2a},满足Ap|B={2},则实

数a=.

例3（2008•北京高考）已知集合A={x|-2WxW3},B={x|xV-1或x>4},则集合

A「B等于（）

A.{x|x<3或x>4}B.{x|-1<x<3}C.{x|3<x<4}D.{x|-2<x<-l}

1.2函数及其表示

例1判断下列对应是否为函数

2

（Dx——,x#0,XGR；（2）x—>y,这里y2=x,XGN,yeR

x

2.1指数函数

例1求下列各式的值

(1)#(-2)3=(2)#(-2)4=(3)J(3-万>=(4)旧+2xy+y2=

例2⑴把下列各式中的a写成分数指数嘉的形式(a>0)；

①a5=256②a-4=28③a-7=56④a-3n=35m(m,neN*)

3

⑵计算：①9^

3

②162

例4化简(式中字母都是正数)

⑴(x&y。)口

⑵(2x^+3厂6)(2x6-3厂6)

ii

⑶4x&­3x75(-y75)•yF

例化简下列各式

_2_2_2_2

x3+y3x3-y3

41

a3.2『)XVa

⑵------------(1

”+2\[ab+4/?3

典型例题

题型一、根式的性质

2

例1求值l~7=(a>0).

行.它

例2计算：⑴)5-2而+)5+2新

(2)^2+75+^2-75

题型二、分数指数嘉及运算性质

1.计算问题：例3计算：以后+跖司

2.化简问题：例4化筒下列各式：⑴//2后7+瓦可方+收手亭

」1

(2)(x-'+x+x0)(x-1-x1)

3.带附加条件的求值问题

1_1

例5已知a?+a2=3,求下列各式的值:

⑴a+a”

(2)a2+a-2

3_3

(3)°22

i_」

a^-a^

数学思想方法

一、化归与转化思想

例6化简:(a>0,b>0).

二、整体代换思想

例7⑴已知2、+2-*=。（常数），求8*+8-*的值。

।।

j-2_,,2

(2)已知x+y=12,xy=9,且x<y,求一j~十的值。

X2+y2

创新、拓展、实践

1.数学与科技

例8已知某两星球间的距离d|=3.12X1034千米，某两分子间的距离d?=3.12X10-32

米，清问两星球间距离是两分子间距离的多少倍？

2.创新应用题

例9已知a、b是方程x?-6x+4=0的两根，且a>b>0,求干一班的值。

Na+

3.开放探究题

例10已知a>0,对于0W《8,reN*,式子（上丁能化为关于a的整数指

数幕的可能情形有几种？

高考要点阐释（写出解题的过程）

312_11

例1（2008•重庆文高考）若x>0,则（2x"+3i）（2x“-31）-4x~2-（x-xi）

I一+i

例2（上海高考）若xrX2为方程2'=（万）X的两个实数解，则X1+X

例3（北京高考改编）函数f（x）=a«a>0,且存1）对于任意的实数X、y都有（）

A.f(x・y)=f(x)•f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)•f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

名师专家点穴

引入负指数累及分数指数基后，初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征；如:

(a±a-1)2=a2±2+a-2；a-b=(a^+b2)(a^-b2)；a+b=(a^+b^)*(a3-a3b3+b3)

例1化简下列各式

_11

(1)(x~+X+1)(xx，)

二、整体带入

2-2

X+-X2

的

直

求

知

例

2已

3

-

X2+

三、根式、小数化为指数基

_173----

例4计算(0.0081)4-[3X(-)0]-'•[8r025+(3-)3]2

88

2.1.2指数函数及其性质

例1指出下列函数哪些是指数函数

(1)y=4'；(2)y=x4；(3)y=-4'；(4)y=(-4)v；(5)y-兀，；(6)y=4x2；

(7)y=x*；⑻y=(2a-且aW1)

例2比较下列各题中两个值的大小。

(1)1,72\1.73；⑵0.8®,0,8-<),2；⑶1.7°3,0.911

例3求下列函数的定义域和值域：

_________1_

(1)y=J1-2*；(2)y=2百⑶y=

2

教材问题探究

1.函数图像的变换

例1画出下列函数的图像，并说明他们是由函数f(x)=2'的图像经过怎样的变换得

到的。

(1)y=2X-1；(2)y=2x+,；⑶y=2e；(4)y=|2V-1|：

(5)y=-2*；(6)y=-2-x

2.图像变换的应用

例2设f(x)=1|，c<b〈a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的

是()

A.3c<3ftB.3c>3fcC.3c+3fl>2D.3'+3a<2

探究学习

例3选取底数a(a>0,且aW1)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出

相应的指数函数的图像.观察图像，你能发现他们有哪些共同特征？

典型例题精析

题型一指数函数的定义

例1函数丫=包2+32+3)@'是指数函数，则a的值为

题型二指数函数的图像和性质

1.过定点问题

例2函数y=2"3+3恒过定点.

2.指数函数的单调性

例3讨论函数f(x)=的单调性，并求其值域。

3

,,'-1

例4已知函数f（X）=-a----（6T>1）

ax+1

⑴求该函数的值域；⑵证明f（x）是R上的增函数

3.指数函数的图像

例5若函数y=a'+b-l（a>0,且aWl）的图象经过第一、三、四象限，则一定

有（）

A.a>l,且bVlB.O<a<l,且bVO

C.0<a<l,且b>0D.a>l,且b<l

变试训练1：当aWO时，函数y=ax+b和y=b。*的图象只可能是下列中的（）

题型三指数函数图像和性质的综合应用

1.比较大小

例6右图是指数函数：①y=a',②y=b',③

④y=d*的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

2.解不等式

(1丫"2

例7⑴解不等式一W2.

\2J

⑵(a2+a+2)x>(a2+a+2)'"',则x的取值范围是.

2T-l(x<0),

⑶设函数f(x)="I若f(X0)>l,则X。的取值范围是(

/(x>0),

-2x

变试训练2：设y]=a3"i,y2=a,其中a>0,a#L确定x为何值时,

有：⑴丫]=丫2；⑵y,>y2-

3.定义域和值域

例8求下列函数的定义域与值域

I

(1)y=2一；⑵厂EL

例10已知7WxW2,求函数f(x)=3+2•一9、的值域

4.指数方程

例10解方程：3X+2-32-X=80

例H若方程+4=0有正数解，则实数”的取值范围是()

A.(-oo,1)B.(-00,2)C.(-3,-2)D.(-3,0)

5.单调性问题

例12已知a>0且a¥l,讨论f(x)=a4+3'+2的单调性

例13设〃>0,f(x)=---1---在R上满足f(-x)=f(x)。

aex

⑴求。的值⑵证明：f(x)在(0,+oo)上是增函数

6.奇偶性问题

例14已知函数f(x)=1」一+口・1,

U'-l2)

(1)求f(x)的定义域

⑵讨论f(x)的奇偶性

⑶证明f(x)>0

题型四指数函数的实际应用

例15截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口平均增长率控制在

1临那么经过20年后，我国人口约为多少？(精确到亿)

数学思想方法

一、数形结合思想

1.比较大小

例16比较3T5和4T7

2.求参数的取值范围

关于X的方程=细士2有负根，求。的取值范围。

例17

⑷5-a

3.研究函数的单调性

例18求函数y=J1—2e+22、的单调区间

二、分类讨论思想

/1\,-2x

例19根据下列条件确定实数x的取值范围：y/a<\-（a>0且aWl）

3

三、函数与方程思想

例20已知x,yeR,且3*+5'>37+5-\求证x+y>0.

创新、拓展、实践

1.数学与科技

例21家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量

Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Qoe-a°02”,其中Q0是臭氧的初始量，t为时间。

⑴随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？

⑵多少年以后将会有一半的臭氧消失？

例22某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定

的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）

与时间t（小时D之间近似满足右图所示的曲线。

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f