2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)课时规范练64　离散型随机变量的均值与方差

课时规范练64离散型随机变量的均值与方差基础巩固组1.某人进行一项实验,若实验成功,则停止实验,若实验失败,再重新进行实验,若实验3次均失败,则放弃实验,若此人每次实验成功的概率为23,则此人实验次数ξ的数学期望是(A.43 C.53 2.随机变量X的分布列如表,若E(X)=2,则D(X)=()X124P1abA.65 B.43 C3.(2022安徽淮北一模)下列说法正确的有()A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于0B.若X是随机变量,则E(2X+1)=2E(X)+1,D(2X+1)=4D(X)+1C.已知随机变量ξ~N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(ξ>-1)=1-2pD.设随机变量ξ表示发生概率为p的事件在一次随机试验中发生的次数,则D(ξ)≤4.(2022天津滨海新区二模)某校数学组有两名男教师和两名女教师共四名教师报名参加志愿者服务,若每位教师入选的概率都是12,则入选人数的均值是;若每位男教师入选的概率是23,每位女教师入选的概率还是12,则男教师和女教师入选人数相等时的概率为5.某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为3针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.综合提升组6.已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且P(X≥1)=23,P(X=3)=16,若X的数学期望E(X)=54,则D(4X-3)=A.19 B.16 C.194 7.已知0<k<1,0<x<1,随机变量X的分布列如下X02x41Pk11当E(X)取最大值时,D(X)=()A.1 B.2 C.3 D.9-8.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=.

9.(2022山西太原一模)某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手,现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知这4人中,甲班级有3人可以正确回答这道题目,而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为34,甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立、互不影响的(1)求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率;(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X,Y,求随机变量X,Y的期望E(X),E(Y)和方差D(X),D(Y),并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.创新应用组10.某市为了了解本市高中生周末运动时间,随机调查了3000名学生,统计了他们的周末运动时间,制成如图所示的频率分布直方图.(1)按照分层抽样,从[40,50)和[80,90]中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[40,50)的人数为X,求X的分布列和数学期望;(2)由频率分布直方图可近似认为:周末运动时间t服从正态分布N(μ,σ2),其中,μ为样本的平均数t,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率,现从本市所有高中生中随机抽取12名学生,记周末运动时间在(43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=3)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.001).参考数据:当Y~N(μ,σ2)时,P(μ-σ<Y≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Y≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Y≤μ+3σ)≈0.9973,0.81869≈0.1651,0.18143≈0.0060.答案：课时规范练64离散型随机变量的均值与方差1.B由题意可得ξ=1,2,3,每次实验成功的概率为23,则失败的概率为1P(ξ=1)=23,P(ξ=2)=13×23=29,则实验次数ξ的分布列如下ξ123P221所以此人实验次数ξ的数学期望是E(ξ)=1×23+2×2故选B.2.D由分布列的性质以及数学期望公式可得E解得a=b=14,所以D(X)=12×(1-2)2+14×(2-2)2+14×(4-3.D对于选项A,根据相关系数的定义可知A错误;对于选项B,若X是随机变量,则E(2X+1)=2E(X)+1,D(2X+1)=4D(X),故B错误;对于选项C,由ξ~N(0,1),得P(ξ>1)=P(ξ<-1)=p,则P(ξ>-1)=1-p,故C错误;对于选项D,随机变量ξ的可能取值为0,1,故P(ξ=0)=1-p,P(ξ=1)=p,∴E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,∴D(ξ)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)≤1-p+p22=14,当且仅当p=12时,等号成立故选D.4.21336设入选人数为X,由题意X~B4,12,则E(X)=4×12=2;设男教师和女教师入选人数相等为事件A,则P(A)=C25.解若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300-150P72∴E(X1)=300×79+(-150)×2若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为X2500-3000P311∴E(X2)=500×35+(-300)×13+0×115=200.D(X1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,D(X2)=(500-200)2×35+(-300-200)2∴E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),故项目一、项目二获利的数学期望相等,但项目一更稳妥.则建议该投资公司选择项目一投资.6.A由题知P(X=0)=13,设P(X=1)=a,则P(X=2)=12因此E(X)=0×13+1×a+2×12-a+3×16=5因此离散型随机变量X的分布列如下X0123P1111则D(X)=13因此D(4X-3)=16D(X)=19.故选A.7.A根据随机变量分布列的性质,得k+12+14=1,所以k=14,所以E(X)=0×14+2(方法1)由不等式a+得x+1-x当且仅当x=22时,等号成立,此时随机变量XX0222P111所以D(X)=(2-0故选A.(方法2)令x=sinθ,θ∈0,π2,则1-x2=cos所以E(X)=x+1-x2=sinθ+cosθ=2sinθ+π4当且仅当θ=π4,即x=22时,等号成立,此时随机变量XX2028P111故E(X2)=3,所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=3-2=1.故选A.8.6576P(ξ1=0)=C2P(ξ1=1)=C3P(ξ1=2)=C3所以E(ξ1)=1×1225+2ξ2可能的取值为0,1,2,P(ξ2=0)=C2P(ξ2=1)=C3P(ξ2=2)=C3所以E(ξ2)=1×1730+9.解(1)甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率P=C32C42×(2)甲班级能正确回答题目人数为X,则X的可能取值为1,2,P(X=1)=C31C11C42则E(X)=1×12+2×12=32,D(X)=1-322×12乙班级能正确回答题目人数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,所以Y~B2,34,所以E(Y)=2×34=32,D(由E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)可知,由甲班级代表学校参加大赛更好.10.解(1)根据分层抽样,从[40,50)中抽取6人,从[80,90]中抽取3人,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C60C33C93=184,P(X=1)=C61C则X的分布列为X0123P13155E(X)=0×184+1×314+2×1528(2)μ=t=35×0.01×10+45×0.02×10+55×0.03×10+65×0.015×10+75×0.015×10+85×0.01×10=58.5,又因为43.9=