2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点06二次函数的解析式、图像及其性质(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点06二次函数的解析式、图像及其性质压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（

）

A． B． C． D．2．如图1，在中，，的长为a，动点D在边上从点A向点B运动，过点D作，垂足分别为E，F，设的长为x，矩形的面积为y，y随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．83．雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（

）

A． B．C． D．4．已知二次函数（a为常数）经过点，图象与x轴交于点A、B(A在B的左边)，连接，点P是抛物线图象在第一象限内的一点，过点P作交于点Q，若取得最大值，则此时点P的横坐标为(

)

A． B． C．1 D．25．如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（

）

A． B． C． D．6．如图，在中，，，点从点出发沿方问以向点匀速运动，过点作于点．以所在直线为对称轴，将折叠，点的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间为，则与之间函数关系的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

7．如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（

）A． B． C． D．8．老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述一个二次函数的图象性质，其中，为常数，甲说：该二次函数的对称轴是直线；乙说：函数的最小值为；丙说：是方程的一个根；丁说：该二次函数的图象与轴交于．若四个描述中，只有“卧底”的描述是假命题，则“卧底”是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题9．掷实心球是安徽省高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是某学生投实心球，出手后实心球沿一段抛物线为常数，运行，当运行到最高点时，运行高度，水平距离．（1）当出手高度为时，；（2）若实心球落地水平距离不小于，且不超过，则的取值范围是．10．已知拋物线与直线相交于点（点在点右侧），且．（1）的值是．（2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是．11．如图①，是可移动的灌溉装置，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示．其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是．

12．在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是．

13．如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点E到BC的距离为．在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点G、H在边上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若，则矩形窗户的宽的长为m．

14．某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为，n的值为

15．如图，抛物线与y轴交于点A，过的中点作轴，交抛物线于B、C两点（点B在C的左边），连接、，若将向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线上，则点O平移后的坐标为．

16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为．

三、解答题17．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．现将抛物线平移，使平移后的抛物线过点B和点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为抛物线上一点，过点P作y轴平行线，交直线于点M，过点P作x轴平行线，交y轴于点N，当与相似时，求点P坐标．18．湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．(1)求抛物线的表达式；(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线．(1)当时，求的长；(2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积；(3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：．20．综合实践九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．

①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式；②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．压轴热点考点06二次函数的解析式、图像及其性质压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，∴二次函数解析式为，对称轴为直线，当时，，，∴抛物线顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，如图所示，∵图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），∴，解得，∴四个选项中只有B选项符合题意，故选B．

【点睛】考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点坐标，解题时，利用了数形结合的数学思想，难度较大．2．如图1，在中，，的长为a，动点D在边上从点A向点B运动，过点D作，垂足分别为E，F，设的长为x，矩形的面积为y，y随x变化的关系图象如图2所示，其中点P为图象的最高点，且纵坐标为，则a的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，，勾股定理，得到，求出的长，利用矩形的面积公式得到二次函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵，的长为x，的长为a，∴在中，，在中，，∴，，∴，∴，由图象可知：，∴（负值已舍去）．故选：B．3．雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为，∴，，设抛物线的表达式为，把代入得：，把代入得：，解得：，∴抛物线表达式为，故选：D．【点睛】本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．4．已知二次函数（a为常数）经过点，图象与x轴交于点A、B(A在B的左边)，连接，点P是抛物线图象在第一象限内的一点，过点P作交于点Q，若取得最大值，则此时点P的横坐标为(

)

A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】作于点H，交于D，可推证，说明的函数值一定，最大时，满足最大；待定系数法确定直线解析式，设点P坐标，表示出，运用二次函数最值，确定点坐标即可．【详解】解：∵图象经过点，∴，∴，将a代入关系式得，，令，即，解得，，，∴，，∴，，，设解析式，得，解得∴，作于点H，交于D，则∴

∴，∴，∴最大时，满足最大，设点，则点，∴∴当时，有最大值．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，锐角三角函数，平行线的性质，待定系数法确定函数解析式，由三角函数确定线段间的数量关系是解题关键．5．如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，再根据可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得，从而求得旋转角度．【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，∵，轴于B点，∴，，，∵，∴，∴，∴将绕O点顺时针方向旋转，该三角形的A与抛物线的顶点C重合，故选：B．

【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐标，从而确定旋转角度是解题的关键．6．如图，在中，，，点从点出发沿方问以向点匀速运动，过点作于点．以所在直线为对称轴，将折叠，点的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间为，则与之间函数关系的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分两种情况讨论：①当时，，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像；②当时，，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像．【详解】解：∵，，∴当点D在中点时，和B重合，∵，，∴，∴，∴，∵点速度是，运动时间为，∴，∴，①当时，由题意可得：，此时，S与之间函数关系的图像是顶点在原点，开口向上的抛物线；②当时，如图所示，

此时，∵，，∴，，∵，同理可得：，∴，∴当时，S有最大值，最大值为2，此时，S与之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当时，S有最大值，故选：A．【点睛】本题考查动点问题的函数图像，关键是分段求出S与之间函数解析式．7．如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线与x轴的两个交点坐标可得抛物线的对称轴为直线，再根据顶点坐标设解析式为，把代入求出a，即可得到解析式．【详解】解：由二次函数的图象可得，抛物线与x轴的交点坐标为和，∴对称轴为，∵桥墩的高度为，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把代入上式得，，∴，∴该抛物线的表达式为，即，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据函数图象反映的信息求出解析式是解题的关键．8．老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述一个二次函数的图象性质，其中，为常数，甲说：该二次函数的对称轴是直线；乙说：函数的最小值为；丙说：是方程的一个根；丁说：该二次函数的图象与轴交于．若四个描述中，只有“卧底”的描述是假命题，则“卧底”是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为，然后计算自变量为和对应的函数值，从而判断丙错误．【详解】解：若甲乙正确，则抛物线的解析式为，即，当时，，此时丙错误；当时，，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误，则“卧底”是丙．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．二、填空题9．掷实心球是安徽省高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是某学生投实心球，出手后实心球沿一段抛物线为常数，运行，当运行到最高点时，运行高度，水平距离．（1）当出手高度为时，；（2）若实心球落地水平距离不小于，且不超过，则的取值范围是．【答案】【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及其应用；（）利用待定系数法求出解析式即可；（）设，根据当时，，时，即可求出的取值范围．【详解】解：（）设，将代入可得，解得，故答案为：；（2）设，若落地水平距离不小于，则当时，，代入得，解得；当时，，代入得，解得，综上所述，．10．已知拋物线与直线相交于点（点在点右侧），且．（1）的值是．（2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是．【答案】2【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．（1）先求出拋物线与直线交点横坐标，然后根据即可求出的值；（2）设，，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）当时，，解得，，即；（2）当时，拋物线为，点，点，顶点为．直线与轴交于点．设，，则，∵当时，随的增大而增大，∴，解得．11．如图①，是可移动的灌溉装置，以水平地面方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，如图②所示．其水柱的高度y（单位：m）与水柱距喷水头的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式．在图②中，若水柱在某一个高度时总对应两个不同的水平位置，则x的取值范围是．

【答案】且【分析】根据题意可先求出点的坐标，然后求出当时对应的值，即可得出水柱的水平距离的取值范围，然后求出顶点坐标和对称轴，再求出点关于对称轴对称的点，根据当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，即可得出的取值范围．【详解】解：由题意可得：当时，，，当时，即，解得：，，水柱的水平距离的取值范围为：，，顶点坐标为，对称轴，点关于对称轴对称的点为，当水柱在某一个高度时，总对应两个不同的水平位置，的取值范围为：且；故答案为：且．【点睛】本题考查的主要是二次函数的应用，解题关键是求出点关于对称轴对称的点以及顶点坐标．12．在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是．

【答案】；且．【分析】由，以及抛物线的对称轴，可得出点的坐标，进而求出函数表达式；求出直线关于轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出的取值范围．【详解】解：由题知，抛物线的对称轴为，令，又，两点关于对称，所以，则．所以，．又，所以，得．故．将点坐标代入抛物线解析式得，，则．所以抛物线的函数表达式为．直线关于轴的对称直线为，

记直线与封闭区域的交点为，，则，解得或．故．所以的取值范围是且．故答案为：，且．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用直线关于轴的对称直线是解题的关键．13．如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点E到BC的距离为．在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点G、H在边上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若，则矩形窗户的宽的长为m．

【答案】/【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，设，求出，即可得到矩形窗户的宽的长．【详解】解：由题意可知，、、，设抛物线解析式为，，解得：抛物线解析式为，点G、H在边上，且，、，四边形是矩形，设，点在抛物线上，，，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质等知识，求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．14．某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为，n的值为

【答案】【分析】运用待定系数法可求出抛物线的解析式，再与直线联立方程，令可求出的值．【详解】解：设抛物线的解析式为，根据题意得，在抛物线上，∴，解得，，∴抛物线的解析式为，与直线联立方程，得：，整理得：,∵直线与抛物线有唯一公共点，∴解得，；帮答案为：；．【点睛】本题主要考查了函数图象与性质，正确求出抛物线的解析式是解答本题的关键．15．如图，抛物线与y轴交于点A，过的中点作轴，交抛物线于B、C两点（点B在C的左边），连接、，若将向上平移使得B、C两点恰好落在抛物线上，则点O平移后的坐标为．

【答案】【分析】先求出，从而可得点和点的坐标，再设点平移后的对应点分别为点，则点的横坐标为，点的横坐标为，代入函数解析式可得的纵坐标，从而可得的中点向上平移的距离，由此即可得．【详解】解：抛物线与轴交于点，，过的中点作轴，点和点的纵坐标均为，当时，则，解得，，如图，设点平移后的对应点分别为点，

则点的横坐标为，点的横坐标为，当时，，则的中点向上平移了个单位长度，所以点也向上平移了个单位长度，所以点平移后的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、点坐标的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为．

【答案】【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积．【详解】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；，，；容易求出所在直线的解析式为；设，，；；；，；；故答案为．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键．三、解答题17．已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．现将抛物线平移，使平移后的抛物线过点B和点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为抛物线上一点，过点P作y轴平行线，交直线于点M，过点P作x轴平行线，交y轴于点N，当与相似时，求点P坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法求抛物线的表达式；（2）先求出中，的长，，，再根据相似三角形的性质，分两种情况分别列出方程，并求解m的值，即可得到答案．【详解】（1）令，则，所以点B的坐标为，设抛物线的表达式为，将B、C两点的坐标代入得，解得，所以抛物线的表达式为；（2）令，则，解得，，所以点A的坐标为，在中，，，点P的坐标为，，设直线的解析式为，则，解得，所以直线的解析式为，所以点M的坐标为，所以，当时，，即，解得，所以点P坐标为或；当时，，即，解得，所以点P坐标为；综上所述，点P坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数的相似三角形问题，二次函数的平移，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，求一次函数的解析式，分两种情况求点P的坐标是解题的关键．18．湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．(1)求抛物线的表达式；(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？【答案】(1)；(2)C处距桥墩的距离至少为米．【分析】本题主要考查了二次函数的应用，审清题意、掌握数形结合思想是解题的关键．（1）先确定抛物线的顶点坐标，然后用代入消元法即可解答；（2）令可得，然后解二元一次方程即可解答．【详解】（1）解：∵为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，∴抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将代入得：，解得．∴抛物线的表达式为．（2）解：在中，令可得：，解得：（舍去）或，∴C处距桥墩的距离至少为米．19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线．(1)当时，求的长；(2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积；(3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握两条直线的值相等，则两直线平行是解题的关键．（1）根据顶点式解析式求出点坐标，令，求出值可得点坐标，利用两点间距离公式求出的长即可；（2）分别用表示出、、的坐标，可表示出的长，再用待定系数法求直线的解析式，表示出点坐标，从而求出的长，即可求的面积；（3）设，用待定系数法先求直线的解析式，从而求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，从而判断直线与是平行的即可．【详解】（1）解：当时，，∵该抛物线的顶点为，∴，当时，，∴，．（2）∵，∴，当时，，∴，∵轴，∴，∴，设直