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第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1求与幂函数有关的复合函数值域 5题型2根据幂函数值域求参数或范围 10题型3求与指数函数有关的复合函数值域 14题型4根据指数函数值域求参数或范围 5题型5求与对数函数有关的复合函数值域 10题型6根据对数函数值域求参数或范围 14一.典型例题题型1求与幂函数有关的复合函数值域反思领悟:例1函数,其中,则其值域为___________.例2已知函数.(1)求的解析式;(2)若对任意,,不等式恒成立,求的取值范围.题型2根据幂函数值域求参数或范围反思领悟:例1已知函数,若函数的值域为,则实数的取值范围为__________.例2已知幂函数在上单调递增,函数.(1)求实数m的值;(2)当时,设的值域分别为A,B,若,求实数k的取值范围.题型3求与指数函数有关的复合函数值域反思领悟:例1设不等式对于任意的恒成立,则实数的取值范围是_______.例2已知函数是定义在上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数的值域;(3)当时,恒成立,求实数m的取值范围.题型4根据指数函数值域求参数或范围反思领悟:例1若函数的定义域和值域的交集为空集,则正数的取值范围是______.例2对于函数,若其定义域内存在实数满足,则称为“准奇函数”.(1)已知函数,试问是否为“准奇函数”?说明理由;(2)若为定义在上的“准奇函数”,试求实数的取值范围;题型5求与对数函数有关的复合函数值域反思领悟:例1已知函数,对于任意的都能找到,使得,则实数的取值范围是___________.例2设,且.(1)求的值及的定义域;(2)求在区间上的最大值.题型6根据对数函数值域求参数或范围反思领悟:例1已知.若的值域为,则实数的取值范围是______.例2已知函数.(1)若的值域为R,求实数m的取值范围;(2)若在内单调递增,求实数m的取值范围.二.活学活用培优训练一、单选题1.幂函数中a的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为(
)A. B. C. D.2.函数,的值域是(
)A. B. C. D.3.已知当时,函数的值总大于1,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.4.下列函数中,值域为的是(
)A. B. C. D.5.若函数的定义域是,则函数值域为(
)A. B. C. D.6.若函数的定义域为,则的定义域为(
)A. B. C. D.二、多选题7.已知幂函数的图象经过点.则()A.的定义域为 B.的值域为C.是偶函数 D.的单调增区间为8.已知函数,则(
)A.的值域为R B.是R上的增函数C.是R上的奇函数 D.有最大值三、填空题9.函数,其中,则其值域为___________.10.若函数的值域为,则实数的取值范围为______.11.已知,,设函数,_____.12.已知函数在上恒正,则实数的取值范围是__________.四、解答题13.已知函数(1)若a=1,x[0,1],求f(x)的值域;(2)当时,求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m,n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m,n]时,其值域为[m2,n2].若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.14.已知函数,.(1)若对于任意的,恒成立,求实数k的取值范围;(2)若,且的最小值为,求实数k的值.15.已知函数是奇函数,且.(1)求函数的解析式,并判定函数在区间上的单调性(无需证明);(2)已知函数且,已知在的最大值为2,求的值.第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1求与幂函数有关的复合函数值域 3题型2根据幂函数值域求参数或范围 5题型3求与指数函数有关的复合函数值域 7题型4根据指数函数值域求参数或范围 9题型5求与对数函数有关的复合函数值域 10题型6根据对数函数值域求参数或范围 12一.典型例题题型1求与幂函数有关的复合函数值域反思领悟:例1函数,其中,则其值域为___________.【答案】##【分析】利用换元法将函数化为,结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设,则.因为,所以.当时,.所以函数的值域为.故答案为:例2已知函数.(1)求的解析式;(2)若对任意,,不等式恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)令,则,进而根据换元法求解即可;(2)结合函数的单调性得,进而将问题转化为对任意,不等式恒成立,再求解恒成立问题即可.(1)解:令,则,则,故.(2)解:由(1)可得.因为函数和函数均在上单调递增,所以在上单调递增.故.对任意,,不等式恒成立,即对任意,不等式恒成立,则解得或.故的取值范围是.题型2根据幂函数值域求参数或范围反思领悟:例1已知函数,若函数的值域为,则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】判断单调递增,讨论或,根据分段函数的值域可得且,解不等式即可求解.【详解】由函数单调递增,①当时,若,有,而,此时函数的值域不是;②当时,若,有,而,若函数的值域为,必有,可得.则实数的取值范围为.故答案为:例2已知幂函数在上单调递增,函数.(1)求实数m的值;(2)当时,设的值域分别为A,B,若,求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由幂函数特征得,再由单增确定值;(2)先求出值域,由为减函数求出值域,结合结合边界值建立不等式,解不等式即可求解k的取值范围.(1)∵为幂函数,∴,解得或,当时,在上单调递增;当时,,在上单调递减,∴;(2)由(1)得,∴时,,∵为上的减函数,∴当时,,∵,∴,∴解得,实数k的取值范围是.题型3求与指数函数有关的复合函数值域反思领悟:例1设不等式对于任意的恒成立,则实数的取值范围是_______.【答案】【分析】参变分离可得,再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围,即可得解.【详解】解:由,得,即,
,,则,,则,即.故答案为:例2已知函数是定义在上的奇函数.(1)求a的值;(2)求函数的值域;(3)当时,恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)利用函数是奇函数求解即可.(2)利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可.(3)利用函数恒成立,参变分离,利用换元法,结合函数的单调性求解最大值,推出结果即可.(1)因为是定义在上的奇函数,所以,解得,当时,,此时,所以时,是奇函数.所以;(2)由(1)可得,因为,可得,所以,所以,所以,所以函数的值域为;(3)由可得,即,可得对于恒成立,令,则,函数在区间单调递增,所以,所以,所以实数m的取值范围为.【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式(是实参数)恒成立,将转化为或恒成立,进而转化为或,求的最值即可.题型4根据指数函数值域求参数或范围反思领悟:例1若函数的定义域和值域的交集为空集,则正数的取值范围是______.【答案】【分析】由题知,进而讨论得当,时,的值域为,再分和两种情况讨论求解即可.【详解】解:因为当时,,所以,要使函数的定义域和值域的交集为空集,则,当,时,值域中有元素,此时不满足题意,所以,当,时,的值域为,下面分两种情况讨论,当时,函数的值域为,要使条件满足,则,解得:当时,函数的值域为,要使条件满足,则,解得,综上,正数的取值范围是故答案为:例2对于函数,若其定义域内存在实数满足,则称为“准奇函数”.(1)已知函数,试问是否为“准奇函数”?说明理由;(2)若为定义在上的“准奇函数”,试求实数的取值范围;【答案】(1)不是,理由见解析(2)【分析】(1)根据题意分析是否有解即可;(2)根据题意可得在上有解,化简可得在上有解,令,再根据函数的单调性分析值域即可.(1)假设为“准奇函数”,存在满足,有解,化为,无解,不是“准奇函数”;(2)为定义在的“准奇函数”,在上有解,在上有解,令,在上有解,又对勾函数在上单调递减,在上单调递增,且时,;时,,,的值域为,,题型5求与对数函数有关的复合函数值域反思领悟:例1已知函数,对于任意的都能找到,使得,则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】分别求出函数,的值域,然后由集合的包含关系得参数范围.【详解】时,,,时,,,于任意的都能找到,使得,则,所以,解得.故答案为:.例2设,且.(1)求的值及的定义域;(2)求在区间上的最大值.【答案】(1)2,;(2)2.【分析】(1)由代入可得的值,列出不等式组可得定义域;(2)根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果.(1)∵,∴,∴.由,解得,∴函数的定义域为.(2),∴当时,是增函数;当时,是减函数,函数在上的最大值是.题型6根据对数函数值域求参数或范围反思领悟:例1已知.若的值域为,则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据的值域为,可得有解,再利用根的判别式即可得解.【详解】解:因为的值域为,所以有解,则,解得,所以实数的取值范围是.故答案为:.例2已知函数.(1)若的值域为R,求实数m的取值范围;(2)若在内单调递增,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由题意能取内的一切值,故转化为函数的判别式大于等于0求解即可;(2)根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正,再根据二次函数的性质求解即可.(1)由的值域为R,可得能取内的一切值,故函数的图象与x轴有公共点,所以,解得或.故实数m的取值范围为.(2)因为在内单调递增,所以在内单调递减且恒正,所以,解得.故实数m的取值范围为.二.活学活用培优训练一、单选题1.幂函数中a的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域,得到答案.【详解】当时,定义域和值域均为,符合题意;时,定义域为,值域为,故不合题意;时,定义域为,值域为,符合题意;时,定义域与值域均为R,符合题意;时,定义域为R,值域为,不符合题意;时,定义域与值域均为R,符合题意.故选:C2.函数,的值域是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】令,求出g(t)的值域,再根据指数函数单调性求f(x)值域.【详解】令,则,则,故选:A.3.已知当时,函数的值总大于1,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据指数函数的性质即可求解.【详解】解:根据指数函数性质知,解得.故选:C.4.下列函数中,值域为的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】逐一判断各选项的值域即可.【详解】对于A,值域为,不符合题意;对于B,,值域为,不符合题意;对于C,值域为,符合题意;对于D,值域为,不符合题意.故选:C5.若函数的定义域是,则函数值域为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根据的单调性求得正确答案.【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增,,即.故选:A6.若函数的定义域为,则的定义域为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】先根据函数的定义域为,求出,再令即可求求解.【详解】因为函数的定义域为,所以,所以,解得:,所以的定义域为,故选:A.二、多选题7.已知幂函数的图象经过点.则()A.的定义域为 B.的值域为C.是偶函数 D.的单调增区间为【答案】ABD【解析】先求出幂函数的解析式,再根据解析式判断各项的正误.【详解】因为为幂函数,故,所以,故,故,所以函数的定义域为,值域为,单调增区间为,且不是偶函数,故选:ABD.8.已知函数,则(
)A.的值域为R B.是R上的增函数C.是R上的奇函数 D.有最大值【答案】ABC【分析】,而得到的值域为R,判断A正确,D错误,根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项,根据函数奇偶性定义判断得到C选项.【详解】,而,所以值域为R,A正确,D错误;因为是递增函数,而是递增函数,所以是递增函数,B正确;因为定义域为R,且,所以是R上的奇函数,C正确;故选:ABC三、填空题9.函数,其中,则其值域为___________.【答案】##【分析】利用换元法将函数化为,结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设,则.因为,所以.当时,.所以函数的值域为.故答案为:10.若函数的值域为,则实数的取值范围为______.【答案】【分析】由指数函数性质求解【详解】令,由题意得的值域为,又的值域为,所以解得所以的取值范围为.故答案为:11.已知,,设函数,_____.【答案】##【分析】首先求出函数的定义域,再求出的解析式,令,则,将函数转化为关于的二次函数,再根据二次函数的性质计算可得.【详解】解:因为,,,由,,所以=,令,,则在上单调递增,,,;故答案为:12.已知函数在上恒正,则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】①当时,根据定义域可知不合题意;②当时,根据二次函数对称轴位置可确定单调性,由可求得的范围,知不合题意;③当时,分别在、和三种情况下,可得单调性,根据可解得的范围;综合三种情况可得结果.【详解】①当时,,此时定义域为,不合题意;②当时,令,其对称轴为,在上单调递减,在上单调递减,,即,解得:(舍);③当时,令,其对称轴为;⑴若,即时,在上单调递增,在上单调递增,,即,解得:;⑵若,即时,在上单调递减,在上单调递减,,即,解得:(舍);⑶若,即时,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,,即,解得:(舍);综上所述:实数的取值范围为.故答案为:.四、解答题13.已知函数(1)若a=1,x[0,1],求f(x)的值域;(2)当时,求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m,n,同时满足下列条件:①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m,n]时,其值域为[m2,n2].若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2);(3)不存在,理由见解析.【解析】(1)由题意得,再由,可求得函数的值域;(2)令,则可化为,由于,所以分,,三种情况求解即可;(3)因为,为减函数,所以在上的值域为,又在上的值域为,所以,即从而可得的关系,再由进行判断即可【详解】(1)当时,由,得,因为,所以,,所以的值域为.(2)令,因为,故,函数可化为.①当时,;②当时,;③当时,,.综上,(3)因为,为减函数,所以在上的值域为,又在上的值域为,所以,即两式相减,得,因为,所以,而由可得,矛盾.所以,不存在满足条件的实数【点睛】关键点点睛:此题考查幂函数和二次函数的综合运用,考查数学转化思
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