高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题(原卷版+解析)

第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1求与幂函数有关的复合函数值域 5题型2根据幂函数值域求参数或范围 10题型3求与指数函数有关的复合函数值域 14题型4根据指数函数值域求参数或范围 5题型5求与对数函数有关的复合函数值域 10题型6根据对数函数值域求参数或范围 14一．典型例题题型1求与幂函数有关的复合函数值域反思领悟：例1函数，其中，则其值域为___________.例2已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．题型2根据幂函数值域求参数或范围反思领悟：例1已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．例2已知幂函数在上单调递增，函数．(1)求实数m的值；(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．题型3求与指数函数有关的复合函数值域反思领悟：例1设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．例2已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．题型4根据指数函数值域求参数或范围反思领悟：例1若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是______．例2对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”.(1)已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由；(2)若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围；题型5求与对数函数有关的复合函数值域反思领悟：例1已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________.例2设，且.(1)求的值及的定义域；(2)求在区间上的最大值.题型6根据对数函数值域求参数或范围反思领悟：例1已知．若的值域为，则实数的取值范围是______．例2已知函数．(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．二．活学活用培优训练一、单选题1．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（

）A． B． C． D．2．函数，的值域是(

)A． B． C． D．3．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．5．若函数的定义域是，则函数值域为（

）A． B． C． D．6．若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知幂函数的图象经过点.则（）A．的定义域为 B．的值域为C．是偶函数 D．的单调增区间为8．已知函数，则（

）A．的值域为R B．是R上的增函数C．是R上的奇函数 D．有最大值三、填空题9．函数，其中，则其值域为___________.10．若函数的值域为，则实数的取值范围为______．11．已知，，设函数，_____.12．已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．四、解答题13．已知函数（1）若a=1，x[0,1]，求f(x)的值域；（2）当时，求f(x)的最小值h(a)；（3）是否存在实数m，n，同时满足下列条件：①n>m>3；②当h(a)的定义域为[m,n]时，其值域为[m2,n2].若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.14．已知函数，．(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；(2)若，且的最小值为，求实数k的值．15．已知函数是奇函数，且.(1)求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；(2)已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1求与幂函数有关的复合函数值域 3题型2根据幂函数值域求参数或范围 5题型3求与指数函数有关的复合函数值域 7题型4根据指数函数值域求参数或范围 9题型5求与对数函数有关的复合函数值域 10题型6根据对数函数值域求参数或范围 12一．典型例题题型1求与幂函数有关的复合函数值域反思领悟：例1函数，其中，则其值域为___________.【答案】##【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：例2已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可；（2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可.（1）解：令，则，则，故．（2）解：由（1）可得．因为函数和函数均在上单调递增，所以在上单调递增．故．对任意，，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，则解得或．故的取值范围是．题型2根据幂函数值域求参数或范围反思领悟：例1已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.【详解】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．故答案为：例2已知幂函数在上单调递增，函数．(1)求实数m的值；(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由幂函数特征得，再由单增确定值；（2）先求出值域，由为减函数求出值域，结合结合边界值建立不等式，解不等式即可求解k的取值范围．(1)∵为幂函数，∴，解得或，当时，在上单调递增；当时，，在上单调递减，∴；(2)由（1）得，∴时，，∵为上的减函数，∴当时，，∵，∴，∴解得，实数k的取值范围是．题型3求与指数函数有关的复合函数值域反思领悟：例1设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.【详解】解：由，得，即，

，，则，，则，即．故答案为：例2已知函数是定义在上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数的值域；(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用函数是奇函数求解即可．（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可．（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，当时，，此时，所以时，是奇函数.所以；（2）由（1）可得，因为，可得，所以，所以，所以，所以函数的值域为；（3）由可得，即，可得对于恒成立，令，则，函数在区间单调递增，所以，所以，所以实数m的取值范围为．【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.题型4根据指数函数值域求参数或范围反思领悟：例1若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是______．【答案】【分析】由题知，进而讨论得当，时，的值域为，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为当时，，所以，要使函数的定义域和值域的交集为空集，则，当，时，值域中有元素，此时不满足题意，所以，当，时，的值域为，下面分两种情况讨论，当时，函数的值域为，要使条件满足，则，解得：当时，函数的值域为，要使条件满足，则，解得，综上，正数的取值范围是故答案为：例2对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”.(1)已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由；(2)若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围；【答案】(1)不是，理由见解析(2)【分析】（1）根据题意分析是否有解即可；（2）根据题意可得在上有解，化简可得在上有解，令，再根据函数的单调性分析值域即可.（1）假设为“准奇函数”，存在满足，有解，化为，无解，不是“准奇函数”；（2）为定义在的“准奇函数”，在上有解，在上有解，令，在上有解，又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，；时，，，的值域为，，题型5求与对数函数有关的复合函数值域反思领悟：例1已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】分别求出函数，的值域，然后由集合的包含关系得参数范围．【详解】时，，，时，，，于任意的都能找到，使得，则，所以，解得．故答案为：．例2设，且.(1)求的值及的定义域；(2)求在区间上的最大值.【答案】(1)2，；(2)2.【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式组可得定义域；（2）根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果.（1）∵，∴，∴.由，解得，∴函数的定义域为.（2），∴当时，是增函数；当时，是减函数，函数在上的最大值是.题型6根据对数函数值域求参数或范围反思领悟：例1已知．若的值域为，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据的值域为，可得有解，再利用根的判别式即可得解.【详解】解：因为的值域为，所以有解，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.例2已知函数．(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.（1）由的值域为R，可得能取内的一切值，故函数的图象与x轴有公共点，所以，解得或．故实数m的取值范围为．（2）因为在内单调递增，所以在内单调递减且恒正，所以，解得．故实数m的取值范围为．二．活学活用培优训练一、单选题1．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；时，定义域为，值域为，故不合题意；时，定义域为，值域为，符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意；时，定义域为R，值域为，不符合题意；时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C2．函数，的值域是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.【详解】令，则，则，故选：A.3．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的性质即可求解.【详解】解：根据指数函数性质知，解得．故选：C．4．下列函数中，值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐一判断各选项的值域即可.【详解】对于A，值域为，不符合题意；对于B，，值域为，不符合题意；对于C，值域为，符合题意；对于D，值域为，不符合题意.故选：C5．若函数的定义域是，则函数值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的单调性求得正确答案.【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，，即.故选：A6．若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先根据函数的定义域为，求出，再令即可求求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，所以，解得：，所以的定义域为，故选：A.二、多选题7．已知幂函数的图象经过点.则（）A．的定义域为 B．的值域为C．是偶函数 D．的单调增区间为【答案】ABD【解析】先求出幂函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.【详解】因为为幂函数，故，所以，故，故，所以函数的定义域为，值域为，单调增区间为，且不是偶函数，故选：ABD.8．已知函数，则（

）A．的值域为R B．是R上的增函数C．是R上的奇函数 D．有最大值【答案】ABC【分析】，而得到的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项.【详解】，而，所以值域为R，A正确，D错误；因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确；因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确；故选：ABC三、填空题9．函数，其中，则其值域为___________.【答案】##【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：10．若函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】由指数函数性质求解【详解】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以解得所以的取值范围为．故答案为：11．已知，，设函数，_____.【答案】##【分析】首先求出函数的定义域，再求出的解析式，令，则，将函数转化为关于的二次函数，再根据二次函数的性质计算可得.【详解】解：因为，，，由，，所以=，令，，则在上单调递增，，，；故答案为：12．已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】①当时，根据定义域可知不合题意；②当时，根据二次函数对称轴位置可确定单调性，由可求得的范围，知不合题意；③当时，分别在、和三种情况下，可得单调性，根据可解得的范围；综合三种情况可得结果.【详解】①当时，，此时定义域为，不合题意；②当时，令，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递减，，即，解得：（舍）；③当时，令，其对称轴为；⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，，即，解得：；⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，，即，解得：（舍）；⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，即，解得：（舍）；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题13．已知函数（1）若a=1，x[0,1]，求f(x)的值域；（2）当时，求f(x)的最小值h(a)；（3）是否存在实数m，n，同时满足下列条件：①n>m>3；②当h(a)的定义域为[m,n]时，其值域为[m2,n2].若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.【解析】（1）由题意得，再由，可求得函数的值域；（2）令，则可化为，由于，所以分，，三种情况求解即可；（3）因为，为减函数，所以在上的值域为，又在上的值域为，所以，即从而可得的关系，再由进行判断即可【详解】（1）当时，由，得，因为，所以，，所以的值域为.（2）令，因为，故，函数可化为.①当时，；②当时，；③当时，，.综上，（3）因为，为减函数，所以在上的值域为，又在上的值域为，所以，即两式相减，得，因为，所以，而由可得，矛盾.所以，不存在满足条件的实数【点睛】关键点点睛：此题考查幂函数和二次函数的综合运用，考查数学转化思