新教材2024版高考数学微专题小练习专练55含解析

Page7专练55随机抽样与用样本估计总体[基础强化]一、选择题1．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成状况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，年龄在(eq\x\to(x)－s，eq\x\to(x)＋s)内的人数占公司人数的百分比是(其中eq\x\to(x)是平均数，s为标准差，结果精确到1%)()A.14%B．25%C．56%D．67%2．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].依据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56B．60C．120D．1403．演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A.中位数B．平均数C．方差D．极差4．[2024·全国乙卷(文)，4]分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图：则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变更状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后，种植收入削减B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6．[2024·全国甲卷(文)，2]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类学问．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类学问问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差7．(多选)[2024·全国新高考Ⅰ卷]有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则()A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同8．甲、乙两人在一次射击竞赛中各射靶5次，两人成果的条形统计图如图所示，则()A.甲的成果的平均数小于乙的成果的平均数B.甲的成果的中位数等于乙的成果的中位数C.甲的成果的方差小于乙的成果的方差D.甲的成果的极差小于乙的成果的极差9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表所示：广告费用x(万元)23456销售额y(万元)1925343844依据上表可得阅历回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))，下列说法正确的是()A．回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))必经过样本点(2，19)，(6，44)B．这组数据的样本点中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))未必在回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))上C．回来系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元二、填空题10．[2024·江苏卷]已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________．11．某电子商务公司对10000名网络购物者2024年度的消费状况进行统计，发觉消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．12．在一容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1■，■，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．[实力提升]13．[2024·重庆南开中学月考]今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁．如图统计了上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：摄氏度)，以下推断错误的是()A．今年每天气温都比去年同期的气温高B．今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低C．去年8～11号气温持续上升D．今年8号气温最低14．[2024·全国卷Ⅲ]在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.215．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2＝eq\f(1,3)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))－12)，则数据x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为________．16．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的eq\f(1,3)，则该组的频数为________．专练55随机抽样与用样本估计总体1．C因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9)＝40，s2＝eq\f(1,9)(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝eq\f(100,9)，即s＝eq\f(10,3)，年龄在(eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s)即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110,3)，\f(130,3)))内的人数为5，所以所求百分比为eq\f(5,9)≈0.56＝56%，故选C.2．D由频率分布直方图知，200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.3．A记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的依次排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.4．C对于A选项，将甲同学周课外体育运动时长的样本从小到大排列，其样本容量为16，中间两个样本为7.3和7.5，所以中位数为eq\f(7.3＋7.5,2)＝7.4，所以A不符合题意．对于B选项，(方法一)乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为eq\f(1,16)×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)≈8.5，所以B不符合题意．(方法二)由乙的样本可知，小于8的样本有6.3，7.4，7.6，其他样本均大于8.又因为eq\f(10.1＋6.3,2)>8，eq\f(9.8＋7.4,2)>8，eq\f(9.3＋7.6,2)>8，所以乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，所以B正确．对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的样本有8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4，共6个，则甲同学周课外运动时长大于8的概率的估计值为eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)<0.4，所以C符合题意．对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的样本有13个，则乙同学周课外运动时长大于8的概率的估计值为eq\f(13,16)>0.6，所以D不符合题意．故选C.5．A设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可得下表：种植收入第三产业收入其他收入养殖收入建设前经济收入0.6a0.06a0.04a0.3a建设后经济收入0.74a0.56a0.1a0.6a依据上表可知B、C、D均正确，A不正确，故选A.6．B由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为eq\f(70%＋75%,2)＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为eq\f(1,10)×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(后))＝eq\f(1,10)×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝eq\f(42.25,10000)，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为eq\f(1,10)×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(前))＝eq\f(1,10)×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝eq\f(142.25,10000)，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.7．CDA：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为xi，则其次组的中位数为yi＝xi＋c，明显不相同，错误；C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则其次组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．故选CD.8．C甲的平均数是eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位数是6，极差是4，方差是eq\f(（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均数是eq\f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位数是5，极差是4，方差是eq\f(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＋02＋32,5)＝eq\f(12,5)，比较可得选项C正确．9．D由表格中的数据可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(19＋25＋34＋38＋44,5)＝32，将点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))的坐标代入阅历回来方程得6.3×4＋eq\o(a,\s\up6(^))＝32，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝6.8，所以回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋6.8.对于A选项，当x＝2时，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3×2＋6.8＝19.4，A选项错误；对于B选项，这组数据的样本点中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))必在回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，B选项错误；对于C选项，回来系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，C选项错误；对于D选项，当x＝7时，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3×7＋6.8＝50.9，所以据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元，D选项正确．故选D.10．2解析：由平均数公式可得eq\f(4＋2a＋（3－a）＋5＋6,5)＝4，解得a＝2.11．(1)3(2)6000解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a＝3.(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求购物者的人数为0.6×10000＝6000.12．32.8解析：设这组数据的最终两个数据为10＋x，y(x∈N，x≤9)∵9＋10＋11＋10＋x＋y＝10×5＝50，∴x＋y＝10，∴y＝10－x.∴s2＝eq\f(1,5)[1＋0＋1＋x2＋(y－10)2]＝eq\f(1,5)(2＋2x2).∵x≤9，∴当x＝9时，s2取得最大值32.8.13．A由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年同期的气温，故选项A不正确；除6，7号，今年气温略高于去年同期的气温外，其他日子，今年气温都低于去年同期的气温，所以今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低，选项B正确；今年8～11号气温上升，但是气温差渐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C正确；由图可知，今年8号气温最低，选项D正确．故选A.14．B依据均值E(X)＝eq\i\su(i＝1,4,x)ipi，方差D(X)＝eq\i\su(i＝1,4,[)xi－E(X)]2·pi以及方差与标准差的关系，得各选项对应样本的标准差如下表．选项均值E(X)方差D(X)标准差eq\r(D（X）)A2.50.65eq\r(0.65)B2.51.85eq\r(1.85)C2.51.05eq\r(1.05)D2.51.45eq\r(1.45)由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.15．3解析：∵s2＝＝eq