新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质-小题备考微专题3圆锥曲线的交汇问题

微专题3圆锥曲线的交汇问题1.[2024·全国甲卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．B．C．D．2．[2024·安徽蚌埠二模]已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，若直线AF与圆O：x2＋y2＝相切，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．或3．[2024·山东青岛三模]已知椭圆C的长轴长为4，它的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为________．提分题3.(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为P(4，m)，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x(2)[2024·山东烟台三模]已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，若＝3，则C的离心率为()A．B．C．D．技法领悟1．解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．2．圆锥曲线常与向量学问交汇考查，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的学问解题，或者是利用其他的学问点转化条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．[巩固训练3](1)[2024·江西赣州二模]已知抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，且E的焦点F在直线AB上，则p＝()A．1B．C．2D．(2)[2024·河南郑州一模]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为C右半支上一点，且cos∠F1PF2＝＝2a2，则双曲线C的离心率为()A．2B．4C．6D．9微专题3圆锥曲线的交汇问题保分题1．解析：依据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．方法一由得5x2－16x＋12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝|x1－x2|＝＝.故选D.方法二圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝.故选D.答案：D2．解析：设F(c，0)，则直线AF的方程为＝1，即bx＋cy－bc＝0，圆心O到直线AF的距离d＝＝＝a，两边平方整理得，16(a2－c2)c2＝3a4，于是16(1－e2)e2＝3，解得e2＝或e2＝，则e＝或e＝.故选D.答案：D3．解析：抛物线方程化为标准方程得x2＝4y，焦点坐标为F(0，1)，∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合，∴椭圆焦点在y轴，设椭圆方程为＝1，(a>b>0)，则由焦点坐标和长轴长知c＝1，2a＝4，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＝1.答案：＝1提分题[例3](1)解析：由题意得2a＝4，a＝2，双曲线左顶点坐标为(－a，0)，抛物线的准线为x＝－，故a＝，解得p＝4，点P(4，m)为抛物线与双曲线的一个交点，故m2＝8p＝32，＝1，即4－＝1，解得b2＝，解得b＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.故选A.(2)解析：不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为c，令＝1，解得y＝，即M(c，)．设N(x，y)，又F1(－c，0)，＝＝(－2c，－)，由＝3F1N可得：，解得，又N(x，y)在椭圆上，即＝1＝，整理得＝，解得e＝.故选A.答案：A答案：A[巩固训练3](1)解析：由题意得F(，0)，抛物线E：y2＝2px(p>0)中，当x＝时，y＝±p，不妨设A(，p)，则()2＋p2＝5，解得p＝2，负值舍去．故选C.＝co