新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.2直线与平面平行教师用书新人教A版必修第二册

8.5.2直线与平面平行学习任务1．驾驭直线与平面平行的判定定理和性质定理．(数学抽象)2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(逻辑推理)假如将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？假如将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？问题：你能给出判定的依据吗？学问点1直线与平面平行的判定定理文字语言假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α学问点2直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，假如过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行图形语言符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b直线和平面平行的判定定理中假如没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？[提示]结论不愿定成立．因为直线a可能在平面α内．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l∥平面α，直线a⊂平面α，则l∥a. ()(2)若直线m∥平面α，n∥平面α，则m∥n. ()[答案](1)×(2)×类型1直线与平面平行的判定【例1】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.[证明]如图，取PD的中点G，连接GA，GN.∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN＝12DC∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，∴AM＝12DC，AM∥DC∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.用判定定理证明直线与平面平行的步骤[跟进训练]1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．求证：DE∥平面ACC1A1．[证明]连接BC1，AC1，因为三棱柱ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四边形BCC1B1为平行四边形，由平行四边形性质得点E也是BC1的中点．因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.又DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．所以DE∥平面ACC1A1．类型2直线与平面平行的性质【例2】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形．[证明]因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理，AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再找寻过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．[跟进训练]2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.类型3直线与平面平行的判定与性质【例3】求证：假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[解]已知直线a，l，平面α，β满意α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.利用线面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行与线面平行的相互转化．转化思想是一种重要数学思想．该转化过程可概括为：线线[跟进训练]3．一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点．(1)过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应当怎样画线？(2)在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？[解](1)取VC的中点D，BC的中点E，AB的中点F.分别连接PD，PF，EF，DE.则PD，PF，EF，DE即为在木块表面应画的线．(2)在平面ABC中的画线EF与棱AC平行，证明如下：因为PF∥DE，所以P，D，E，F四点共面，且AC∥平面PDEF，因为平面ABC∩平面PDEF＝EF，所以AC∥EF.1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的多数条直线不相交D．b与α内的全部直线不相交D[若b与α内的全部直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.]2．如图，在三棱锥S\-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能B[∵平面SBC∩平面ABC＝BC，又∵EF∥平面ABC，∴EF∥BC.]3．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()A．MN∥PD B．MN∥PAC．MN∥AD D．以上均有可能B[MN∥平面PAD，平面PAD∩平面PAC＝PA且MN⊂平面PAC，故MN∥PA.]4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．2[因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12回顾本节学问，自主完成以下问题：1．应用直线与平面平行的判定定理应留意什么问题？[提示]利用判定定理证明线面平行，必需具备三点：(1)平面内一条直线a；(2)平面外一条直线b；(3)a∥b.只有具备了这三点才能说明线面平行．2．在遇到线面平行时，我们经常如何应用条件？[提示]在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的帮助平面，以便运用线面平行的性质．3．推断或证明线面平行的常用方法有哪些？[提示](1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)解除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．课时分层作业(三十)直线与平面平行一、选择题1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的全部直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交B[若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意冲突．]2．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面A[由题意可知EF∥AB，∴EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，∴GH∥AB，故选A.]3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行 B．平行或异面C．平行或相交 D．异面或相交B[∵AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，∴CD∥平面α，∴直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选B.]4．(多选)下列说法中正确的是()A．若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行B．若直线与平面内的随意一条直线不相交，则直线与平面平行C．若直线与平面内的多数条直线不相交，则直线与平面平行D．若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交ABD[C中若直线在平面内，虽与平面内的多数条直线平行，但直线与平面不平行，故C不正确，A，B，D正确．故选ABD.]5．(多选)在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是()ABCDBCD[对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B满意题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C满意题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D满意题意．故选BCD.]二、填空题6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．[答案]平行或相交7．如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．平行[连接A1C1(图略)，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1B1C1D1，又∵AC⊂平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，∴AC∥l.]8．如图，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC12[连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBFPA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以PFFC又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以AGGC＝AE三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．(1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB；(2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点．[证明](1)取PA的中点G，连接BG，EG，在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，所以EG∥AD，且EG＝12AD又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，所以BF∥AD，且BF＝12AD所以EG∥BF，且EG＝BF，所以四边形BFEG为平行四边形，所以EF∥BG，因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)如图，连接BD，交AC于点H，连接EH，因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD的中点，所以E为PD的中点．10．对于直线m，n和平面α，下列命题中是真命题的是()A．假如m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．假如m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线C．假如m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．假如m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥nC[对于A，假如m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错误；对于B，假如m⊂α，n与α相交，则m，n相交或是异面直线，故B错误；对于C，假如m⊂α，n∥α，m，n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C正确；对于D，假如m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错误．]11．如图，四棱锥S-ABCD的全部的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为()A．2＋3 B．3＋3C．3＋23 D．2＋23C[由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝3.∴四边形DEFC的周长为3＋23.]12．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是()A．OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBAABC[因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又PD⊂平面PCD，且PD⊂平面PDA，OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交．]13．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ223a[∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.∵MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥∵AP＝a3，∴DP＝DQ＝2a∴PQ＝2×2a14．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．[解](1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知