新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第七章7.3A级——基础过关练1．(多选)下列说法正确的有()A．随机变量X的数学期望E(X)是个常量B．随机变量的均值反映样本的平均水平C．若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4D．随机变量X的均值E(X)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)【答案】AC【解析】随机变量的数学期望E(X)是随机变量X本身固有的一个数字特征，A正确；随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平，B错误；由均值的性质可知C正确；E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，D错误．2．设随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)＝1.6，则a－b等于()X0123P0.1ab0.1A．0.2 B．0.1C．－0.2 D．－0.4【答案】C【解析】由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.3．某射击运动员在竞赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是()A．0.2 B．0.8C．1 D．0【答案】B【解析】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.4．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＋b等于()A．10 B．5C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,10)【答案】D【解析】易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3①.又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1②.由①②得a＝eq\f(1,10)，b＝0.所以a＋b＝eq\f(1,10).5．(2024年河池期末)甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别如下：ξ0123P0.70.10.10.1η0123P0.50.30.20据此判定()A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同 D．无法判定谁的质量好【答案】A【解析】E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.因为E(η)>E(ξ)，所以甲比乙质量好．6．已知随机变量X的分布列如下：X123P0.20.5m若随机变量η＝3X－1，则E(η)()A．等于4.2 B．等于18.9C．等于5.3 D．随m变更而变更【答案】C【解析】由0.2＋0.5＋m＝1，解得m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.又因为η＝3X－1，所以E(η)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3.故选C．7．(2024年杭州模拟)已知eq\f(1,4)<p<1，随机变量X的分布列如下：X012Pp－p21－pp2给出下列命题：①P(X＝2)的值最大；②P(X＝0)<P(X＝1)；③E(X)随着p的增大而减小；④E(X)随着p的增大而增大．其中正确的是()A．①② B．①③C．②③ D．②④【答案】D【解析】当p＝eq\f(1,2)时，P(X＝2)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)>eq\f(1,4)，①错误；因为eq\f(1,4)<p<1，所以p－p2＝p(1－p)<1－p，即P(X＝0)<P(X＝1)，②正确；E(X)＝1－p＋2p2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,8)，因为eq\f(1,4)<p<1，所以E(X)随着p的增大而增大，③错误，④正确．8．已知某一随机变量X的分布列如下：X3b8P0.20.5a且E(X)＝6，则a＝________，b＝________．【答案】0.36【解析】由0.2＋0.5＋a＝1，解得a＝0.3.由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，解得b＝6.9．陈老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下：t123P(ξ＝t)？！？请小明同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能确定这两个“？”处的数值相同．据此，小明给出了正确答案E(ξ)＝________．【答案】2【解析】设“？”处为x，“！”处为y，则由分布列的性质，得2x＋y＝1，所以期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2(2x＋y)＝2.10．某小组共10人，利用假期参与义工活动．已知参与义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参与座谈会．(1)设A为事务“选出的2人参与义工活动次数之和为4”，求事务A发生的概率；(2)设X为选出的2人参与义工活动次数之差的确定值，求X的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以事务A发生的概率为eq\f(1,3).(2)随机变量X的全部可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以随机变量X的分布列为X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.B级——实力提升练11．(2024年株洲期中)某听众参与广播台猜商品名称节目，能否猜对每件商品的名称相互独立，该听众猜对三件商品A，B，C的名称的概率及猜对时获得的奖金如下：商品ABC猜对的概率0.80.50.3获得的奖金/元100200300规则如下：只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品．下列答题依次中，获得的奖金的均值最大的是()A．CAB B．CBAC．ABC D．BAC【答案】C【解析】依据CAB的依次获得的奖金的均值为300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138(元)；依据CBA的依次获得的奖金的均值为300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132(元)；依据ABC的依次获得的奖金的均值为100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196(元)；依据BAC的依次获得的奖金的均值为200×0.5×0.2＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝176(元).综上，依据ABC的依次获得的奖金的均值最大．12．(多选)(2024年烟台模拟)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则()A．四人去四个不同餐厅就餐的概率为eq\f(5,18)B．四人去同一餐厅就餐的概率为eq\f(1,1296)C．四人中恰有两人去第一餐厅就餐的概率为eq\f(25,216)D．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为eq\f(2,3)【答案】ACD【解析】四人去餐厅就餐的状况共有64种，其中四人去四个不同餐厅就餐的状况有Aeq\o\al(4,6)种，则四人去四个不同餐厅就餐的概率为eq\f(Aeq\o\al(4,6),64)＝eq\f(5,18)，故A正确；同理，四人去同一餐厅就餐的概率为eq\f(6,64)＝eq\f(1,216)，故B错误；四人中恰有两人去第一餐厅就餐的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,4)×52,64)＝eq\f(25,216)，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，则P(ξ＝0)＝eq\f(54,64)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)×53,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)×52,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)×5,64)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,64)，故四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为ξ01234Peq\f(54,64)eq\f(Ceq\o\al(1,4)53,64)eq\f(Ceq\o\al(2,4)52,64)eq\f(Ceq\o\al(3,4)×5,64)eq\f(1,64)四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E(ξ)＝0×eq\f(54,64)＋1×eq\f(Ceq\o\al(1,4)×53,64)＋2×eq\f(Ceq\o\al(2,4)×52,64)＋3×eq\f(Ceq\o\al(3,4)×5,64)＋4×eq\f(1,64)＝eq\f(2,3)，故D正确．13．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．依据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．X200300400500P0.200.350.300.15【答案】706【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束).设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元).14．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为eq\f(3,4)，乙、丙科目合格的概率均为eq\f(2,3)，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X，则P(X＝2)＝________，E(X)＝________.【答案】eq\f(4,9)eq\f(25,12)【解析】P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)；P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(7,36)＋2×eq\f(4,9)＋3×eq\f(1,3)＝eq\f(25,12).15．某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三