新教材2024高考数学二轮专题复习强化训练9等差数列与等比数列-小题备考

强化训练9等差数列与等比数列——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2024·辽宁辽阳一模]在等差数列{an}中，a3＝13，a9＝1，则a4＝()A．8B．9C．10D．112．[2024·河南驻马店二模]设等比数列{an}的前n项之积为Sn，若S3＝1，S9＝512，则a11＝()A．2B．4C．8D．163．[2024·湖北黄冈中学二模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＋a11>0，a10＋a12<0，则Sn取最大值时n的值为()A．10B．11C．12D．134．[2024·安徽合肥模拟]在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，当n≥2时，an＋1是an·an－1的个位数，则a2024＝()A．4B．3C．2D．15．[2024·河南新乡三模]已知公差不为零的等差数列{an}中，a4＝6，且a2，a4，a5成等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，则S6＝()A．45B．42C．84D．1356．[2024·河南郑州一模]在等比数列{an}中，公比q＝2，且eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＋eq\f(1,a11)＋eq\f(1,a12)＝eq\f(6,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))，则a9＋a10＋a11＋a12＝()A．3B．12C．18D．247．[2024·江西九江三模]若数列{an}满意eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝q(q为常数，且q≠1)，则称{an}为差等比数列，其中q为公差比．已知差等比数列{an}中，a1＝2，a2＝6，且公差比为2，则a10＝()A．1024B．1022C．2048D．20468．[2024·河北张家口二模]欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于全部不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：φ(1)＝1，φ(3)＝2.数列{an}满意an＝φ(2n)，其前n项和为Sn，则S10＝()A．1024B．2048C．1023D．2047二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2024·湖北武汉三模]已知实数数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是()A．若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＋a8＝2a6恒成立B．若数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6，…为等差数列C．若数列{an}为等比数列，且a3＝7，S3＝21，则a4＝－eq\f(7,2)D．若数列{an}为等比数列，则S3，S6－S3，S9－S6，…为等比数列10．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n为奇数,2－2n，n为偶数))，则下列正确的是()A．a6＝19B．a7>a6C．S5＝22D．S6>S811．[2024·山西阳泉三模]设无穷数列{an}为正项等差数列且其前n项和为Sn，若S2024＝2024，则下列推断正确的是()A．a1012＝1B．a1013≥1C．S2024>2024D．S2024≥202412．[2024·黑龙江牡丹江三模]南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形态，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，其次层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，且a1＝1，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，则正确的选项是()A．a4＝12B．an＋1＝an＋n＋1C．Sn＝eq\f(2n,n＋1)D．a100＝4950题号123456789101112答案三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2024·河南省试验中学模拟]在等差数列{an}中，2a9－a12＝6，则数列{an}的前11项和S11＝________．14．[2024·河北石家庄三模]已知数列{an}的通项公式为an＝n－1，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab9＝________．15．[2024·辽宁辽河油田中学模拟]已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9＝________．16．[2024·重庆二模]传闻古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来探讨数．他们依据沙粒或小石子所排列的形态把数分成很多类，如图中第一行的1，3，6，10…称为三角形数，其次行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数，…，照此规律进行下去，若将每一行的第k(k∈N*)个数从小到大排列形成数列{an}，(1)若k＝8，则a3＝________；(2)当n≥2且n∈N*时，an－an－1＝________.(用k表示)强化训练9等差数列与等比数列1．解析：因为等差数列{an}中，a3＝13，a9＝1，可得公差d＝＝＝－2，所以a4＝a3＋d＝11.故选D.答案：D2．解析：因为S3＝1，S9＝512，所以a1a2a3＝＝1，a1a2a3…a9＝＝512，解得a2＝1，a5＝2，则q3＝＝2，故a11＝a2q9＝23＝8.故选C.答案：C3．解析：∵等差数列{an}，∴a10＋a12＝2a11<0，∴a11<0，∵a10＋a11>0，∴a10>0，则Sn取最大值时，n＝10.故选A.答案：A4．解析：因为a1＝2，a2＝3，当n≥2时，an＋1是an·an－1的个位数，所以a3＝6，a4＝8，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝8，a9＝6，a10＝8，a11＝8，a12＝4，可知数列{an}中，从第3项起先有an＋6＝an，即当n≥3时，an的值以6为周期呈周期性变更，所以(2023－2)÷6＝336……5，故a2023＝a7＝2.故选C.答案：C5．解析：公差为d，因为a2，a4，a5成等比数列，所以62＝(6－2d)(6＋d)，解得d＝0(舍去)或d＝－3，所以a1＝15，S6＝6×15＋×(－3)＝45.故选A.答案：A6．解析：＝()＋()＝＝＝，∵＝＝，∴a9＋a10＋a11＋a12＝12.故选B.答案：B7．解析：∵a1＝2，a2＝6，∴a2－a1＝4≠0，∵＝2，∴数列{an＋1－an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝4×2n－1＝2n＋1，∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋2＝＝2n＋1－2，∴a10＝211－2＝2048－2＝2046.故选D.答案：D8．解析：依据欧拉函数的定义可得a1＝φ(2)＝1，a2＝φ(22)＝2，a3＝φ(23)＝4，a4＝φ(24)＝8，一般地，an＝φ(2n)＝2n－1.事实上，φ(2n)表示从1到2n的正整数中，与2n互质的正整数的个数，相当于去掉从1到2n的正整数中全部2的倍数的个数(共2n－1个数)，因此，an＝φ(2n)＝2n－2n－1＝2n－1.所以，S10＝1＋2＋4＋…＋29＝1023.故选C.答案：C9．解析：若数列{an}为等差数列，不妨设其公差为d，则a1＋a3＋a8＝3a1＋9d，2a6＝2a1＋10d，明显当a1＝d才相等，故A错误，而，作差可得(S6－S3)－S3＝9d＝(S9－S6)－(S6－S3)＝…＝(S3n＋3－S3n)－(S3n－S3n－3)(k∈N*)成立，故B正确；若数列{an}为等比数列，且a3＝7，S3＝21，设其公比为q，则，作商可得q＝1或q＝－，所以a4＝7或a4＝－，故C错误；由题意得{an}各项均不为0，而实数范围内，1＋q＋q2≠0，即S3k≠0，且a3k·(1＋q＋q2)≠0⇒S3k＋3－S3k≠0(k∈N*)，结合选项B的计算可得(S6－S3)÷S3＝q3＝(S9－S6)÷(S6－S3)＝…＝(S3n＋3－S3n)÷(S3n－S3n－3)．故D正确．故选BD.答案：BD10．解析：6是偶数，则a6＝2－12＝－10，A错误；a7＝22>a6，B正确；S5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，C正确；S6＝S5＋a6＝12，S8＝S6＋a7＋a8＝12＋22＋(－14)＝，D错误．故选BC.答案：BC11．解析：因为数列{an}为正项等差数列，所以S2023＝＝2023·a1012＝2023，所以a1012＝1，A正确；因为数列{an}为正项等差数列，所以a1>0，d≥0，所以a1013＝a1012＋d≥1，S2022＝S2023－a2023≤2023－1＝2022，B正确，C错误；S2024＝S2023＋a2024≥2023＋1＝2024，D正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：由题意可知：a2－a1＝2，a3－a2＝3，于是有a4－a3＝4，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，明显可得：a4＝4＋a3＝10,an＋1＝an＋n＋1，因此选项A不正确，选项B正确；当n≥2，n∈N*时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，明显a1＝1适合上式，a100＝＝5050，因此选项D不正确；＝＝2()，Sn＝2(1－＋…＋)＝2(1－)＝，因此选项C正确．故选BC.答案：BC13．解析：由等差数列的性质可得2a9＝a6＋a12，∴a6＝2a9－a12＝6，∴S11＝＝＝11a6＝66.答案：6614．解析：由题意可得：an＝n－1，bn＝＝bn－1＝2n－1－1.所以＝(1＋2＋…＋28)－9＝－9＝502.答案：50215．解析：在等比数列{an}中，满意a2·a8＝4a5，由等比数列的性质可得a2·a8＝，即＝4a5，所以a5＝4，又由b4＋b6＝a5，所以b4＋b6＝4，所以数列{bn}的前9项和