湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺（一）数学试卷【含答案解析】

绥阳县高三冲刺（一）数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，解一次不等式化简集合B，然后利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为，所以，又，所以.故选：B2.已知向量，，若，则（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用线性坐标运算求得，然后利用共线向量坐标运算公式求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，解得.故选：A3.若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，进而求出即可求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，由点在双曲线的一条渐近线上，得，解得，所以的离心率.故选：C4.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案.【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，共有种排法；再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法，故总共有种排法；故选：D.5.记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（）A.6 B.3 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式计算即得.【详解】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为，则，由，得，整理得，由等比数列的公比小于1，得，解得，所以故选：B6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，排除BC；利用导数探讨函数的性质排除D即可.【详解】依题意，，恒成立，即函数的定义域为R，当时，，则，即，BC不满足；当时，令，则，令，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，，D不满足，A满足.故选：A7.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出示意图，根据线段数量关系即可求解.【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，，设圆锥和圆柱的高为，则，，因为，所以，所以，所以圆球的半径为，所以圆球体积为.故选：D.8.已知均为锐角，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用角的变换，结合和差角的正弦公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】由，得，展开整理得，由均为锐角，得，，则，，于是，而，所以.故选：A【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为2023年中国父母参与过的各类亲子活动人数在参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（）A.在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读B.在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于C.图中各类亲子活动占比的中位数为D.图中10类亲子活动占比的极差为【答案】AB【解析】【分析】根据给定的扇形图，结合中位数、极差的意义逐项分析判断即得.【详解】对于A，亲子阅读阅读占比，为最大，A正确；对于B，由于，B正确；对于C，图中各类亲子活动占比的中位数为，C错误；对于D，图中10类亲子活动占比的极差为，D错误.故选：AB10.已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（）A.圆关于直线对称B.的最小值为C.的最小值为D.的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】求出圆心坐标判断A；求出圆心到点的距离结合圆的性质判断B；利用三角代换结合辅助角公式判断C；令，联立方程组，借助判别式求出最值判断D.【详解】圆的圆心，半径，对于A，显然点在直线上，圆关于直线对称，A正确；对于B，点与点的距离，则点与点距离的最小值为，B错误；对于C，令，则，其中锐角由确定，因此当时，，C正确；对于D，，令，由消去得：，则，整理得，解得，因此，，D正确.故选：ACD11.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（）A.是奇函数 B.C.的图象关于对称 D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.【详解】因为为奇函数，所以,即函数关于对称，C正确;由函数关于对称可知,又因为为偶函数，所以，即函数关于对称，则,所以,即,所以,所以是周期为4的周期函数，所以,又,所以,所以,所以,B正确;是偶函数，A错误;对任意的,且,都有,不妨设,则,由单调性的定义可得函数在上单调递增，又由函数关于对称，所以在上单调递增又,,所以得，D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，则在复平面内，所对应的点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的乘方及除法运算求出，再求出所对应的点的坐标.【详解】依题意，，所以对应的点的坐标为.故答案为：13.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是函数的一个极值点，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简，利用平移变换求得，再由是函数的一个极值点，列式求解即得.【详解】依题意，，则，由是函数的一个极值点，得直线是函数图象的一条对称轴，则，而，解得，所以当时，.故答案为：14.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．【答案】##0.2【解析】【分析】求出点关于直线对称点的坐标，进而求出，再结合椭圆定义及勾股定理求出即可.【详解】设关于直线的对称点，由，解得，即，令椭圆右焦点，则，，而点在椭圆上，由，得，设，则，显然的中点都在直线上，则平行于直线，从而，在中，，解得，所以.故答案为：【点睛】思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，且的周长为．（1）求；（2）若，，为边上一点，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出，再求出的面积.【小问1详解】在中，，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，而，所以.【小问2详解】由为边上一点，及（1）得，且，即有，则，解得，所以的面积.16.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，点是棱的中点，点为棱上一点，且．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）连接，连接，证得，再利用线面平行的判定推理即得.（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出向量及平面的法向量坐标，再利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在直三棱柱中，，连接，连接，由点是棱的中点，，得，则，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】在平面内过点作，显然直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令正的边长，则，，，设平面的法向量，则，令，得，令直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值．17.2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟甲乙设此次停车中，甲所付停车费用为，乙所付停车费用为．（1）在的条件下，求的概率；（2）若，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据概率的性质求出，求出的概率及的概率可得答案；（2）根据的值可得的取值，再求取值对应的概率可得分布列、期望.【小问1详解】根据题意可得，解得，

，解得，甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得，其概率为；甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元可得，其概率为；甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得，其概率为；所以的概率，可得在的条件下，的概率为；【小问2详解】的取值为0，3，6，9，15，18，，，，，，，随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望.18.已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，且，其中为坐标原点．（1）求的方程；（2）若垂直于直线的直线与交于不同的两点，且以为直径的圆过两点，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）将直线与抛物线方程联立，借助韦达定理和向量垂直的坐标表示求出得解.（2）设，利用可得；由在以为直径的圆上可得，，由向量的坐标运算可整理得到，由此构造方程求得.【小问1详解】依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，由，消去y得：，显然，设，则，，则，由，得，解得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】由（1）知，抛物线：，显然直线的斜率，否则直线与抛物线只有一个交点，设，直线的斜率，则，而在以为直径的圆上，则，，即，，，整理得，由（1）知，，，于是，两式相减得：，又，因此，解得，所以直线的斜率为或.【点睛】关键点点睛：本题第二问求解直线斜率的关键是能够根据两点在以为直径的圆上，得到垂直关系，进而利用向量垂直关系的坐标表示构造方程组求得.19.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界．（1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；（2）若，证明：存在宽度为2的通道；（3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由．【答案】（1）与；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的值域，再利用给定定义求解即得.（2）利用辅助角公式求出的值域，再利用不等式的性质可得，结合定义推理即得.（3）利用导数求出函数的值域，假定存在，设出通道下界与通道上界的直线方程，利用定义建立不等式，构造函数，按探讨函数值情况即可得解.【小问1详解】函数的定义域为R，在R上单调递增，而，则，即，因此，取，得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：，显然直线与的距离为2，因此通道宽度不超过3，所以通道下界与通道上界的直线方程分别为与.【小问2详解】函数的定义域为R，而，即，则，取，得通道下界直线方程：，通道上界的直线方程：，显