湖南省常德市澧县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2024届初中学业水平模拟考试数学试题卷考生注意：1、本堂考试时量为120分钟，满分120分；2、本试卷分试题卷和答题卷，考生作答时，将解答过程和答案写在答题卷上；3、请考生在答题卷上写好自己的姓名、考号等信息。考试结束时，只交答题卷。一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.2024的相反数是（）A.2024 B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据相反数：“只有符号不同的两个数”，进行判断即可．【详解】解：2024的相反数是；故选C．2.已知的半径为10，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（）A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系来完成．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离.分垂直于直线l,不垂直直线l两种情况讨论．【详解】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离,与l相切；当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离,与直线l相交．故直线l与的位置关系是相切或相交．故选：D．3.下列各式计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了完全平方及平方差公式，积的乘方运算，同底数幂的除法．根据完全平方及平方差公式，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，即可一一判定．【详解】解：A、，故该选项不正确；B、，故该选项不正确；C、，故该选项正确；D、，故该选项不正确；故选：C．4.某班为了解学生对党史的学习情况，随机抽取了8名学生进行调查，他们读书的本数分别是3、2、3、3、5、1、2、5，则这组数据的中位数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可．【详解】解：把这组数据从小到大排列为1、2、2、3、3、3、5、5，排在中间的两个数分别为3，3，故中位数为故选：B5.关于的分式方程无解，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了分式方程无解的问题，由分式方程无解得到，进而得到，然后分式方程去分母，得到关于的整式方程，把代入计算即可求出的值，掌握分式方程无解就是最简公分母的值等于零是解题的关键.【详解】解：∵关于的分式方程无解，∴，解得，分式方程去分母得，，把代入得，，解得，故选：.6.“践行垃圾分类・助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．找出等量关系是解题的关键．【详解】设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，∵米乐比琪琪多收集了7节废电池，∴，∵若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍，∴，∴根据题意可列方程组为：，故选：A．7.若是关于x的一元二次方程的一个解，则方程的另一个解是（）A.2 B.﹣1 C.0 D.﹣2【答案】B【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，然后将代入求解．【详解】设方程的两个根为由一元二次方程根与系数的关系可得，∵为方程的解，∴，解得．∴方程的另一个解是．故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，解题关键是利用一元二次方程的根与系数的关系求解．8.下列因式分解正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可．【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；B、，原式错误，不符合题意；C、，原式错误，不符合题意；D、，原式正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．9.如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（）A B.3 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正多边形和圆，连接，证明是等边三角形，求出的长即可解决问题．【详解】解：连接，如图，∵正六边形内接于，∴，∴是等边三角形，∵是的边心距，∴，∴，由勾股定理得，∴解得，，∴，故选：A10.如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：0136下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当时；函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（）A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．【详解】解：设二次函数的解析式为，由题意知：，解得，二次函数的解析式为，①函数图象开口向上，故①选项正确；②对称轴为直线，故②选项错误；③当时，函数值随的增大而增大，故③选项正确；④方程的解为，，故④选项错误．故选：B．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11.若代数式在实数范围内有意义，则实数取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：由题意得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．12.近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热.支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.0000002米，将0.0000002米用科学记数法表示为_______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．【详解】解：将0.0000002米用科学记数法表示为米，故答案为：．13.如图，以对角线交点O为原点，平行于边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为，则C点坐标为___________．【答案】【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据对角线的交点O为原点，A点的坐标，即可得到C点坐标．【详解】∵对角线的交点O为原点，A点坐标为，∴C点坐标为：．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答．14.如果关于的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】一元二次方程没有实数根，即原方程的判别式△＜0，由此可得关于m的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．15.如图，切于点A，交于点C，点D在上，若，则的度数是______．【答案】##26度【解析】【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，首先根据圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】∵∴∵切于点A，∴∴．故答案为：．16.关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是_____．【答案】##【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有4个整数解，得出关于的不等式，求解即可．【详解】解∶解得：，关于的不等式组的整数解仅有4个，，解得：，故答案为：．17.在平面直角坐标系中，无论取何值，一次函数的图象始终在的图象的上方，则的取值范围为_____．【答案】【解析】【分析】本题考查一次函数综合问题，要使一次函数的图象始终在的图象的上方，则两直线平行即有，求解即可，熟练掌握一次函数的图象和性质是求解题的关键．【详解】∵一次函数，，∴当时，，，∴图象与轴交点坐标为，，则要使一次函数的图象始终在的图象的上方，则，整理得：，解得：，故答案为：．18.如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与点C，D重合），将沿翻折得到，延长交于点M．当点E是边的三等分点时，的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法．根据正方形的性质和折叠的性质证明，进而得到，由E是的三等分点，得到，设，则，，在中由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：如图，连接，由折叠得：，，∵在正方形中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，E是的三等分点，∴，，设，则，，在中，由勾股定理得：，解得，即，故答案为：3．三、解答题（共8小题，满分66分）19.先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值．掌握分式因式分解，约分，熟记特殊角的三角函数值是关键．先因式分解，再把除法变成乘法，约分，再计算同分母分式的加法，把锐角三角函数值代入求出x的值后，再代入最简分式，即可求出答案．【详解】解：原式====，∵，∴原式=20.如图，中，，于点D，于点G．（1）求证；（2）若，若平分，直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；（2）根据平行线的性质、角平分线定义、直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求解即可．【小问1详解】证明：，．又，，，．．．【小问2详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．21.乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，，求车链横档的长，（结果保留整数．参考数据：，，）【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，过点B作于E，先证明，再由平行线的性质得到；设，则，解得到，解得到，由此建立方程得到，解方程得到，再解求出的长即可．【详解】解：如图所示，过点B作于E，∵，∴，∵，∴，设，则，在中，，在中，，∴，解得，∴，在中，，∴车链横档的长为．22.为全面推行“托管拓展”课后服务模式，某校体育兴趣小组开展了篮球、足球、排球、乒乓球、羽毛球五类社团活动．为了对活动进行统筹安排，随机抽取了部分学生进行调查（要求每人从五个类别中选且只选一个），并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将图1中的条形统计图补充完整，并标出对应数字；（3）图2中，“足球”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生1200人，估计该校喜欢“乒乓球”的学生人数．【答案】（1）60（2）见解析（3）36（4）300【解析】【分析】本题主要考查统计调查，能结合条形统计图和扇形统计图得出所需的信息是解题的关键．（1）用篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；（2）求得选择“足球”和“羽毛球”的人数，即可绘制条形统计图；（3）用乘以选择“足球”的学生人数所占的百分比即可求解．（４）先求得样本中选择“乒乓球”的学生人数比例，用该校学生总数乘该比例即可．【小问1详解】本次共调查学生的人数：(名)．【小问2详解】选择“羽毛球”的学生人数为：(名)，选择“足球”的学生人数为：(名)，故补全条形统计图如下．【小问3详解】“足球”所在扇形的圆心角为：，故答案为：36．【小问4详解】(名)．答：估计该校喜欢“乒乓球”的学生人数名．23.“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元（1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元?（2）若该公司计划购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)共辆，且(型汽车不超过辆，根据市场调查，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，请问怎么安排采购方案获利最大?【答案】（1）型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元；（2）当购进辆型汽车，辆型汽车时，该公司获利最大．【解析】【分析】（）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；（）设购进辆型汽车，所购新能源汽车全部售出后获得的总利润为万元，求出与的函数关系式，再根据函数的性质即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组和函数解析式是解题的关键．【小问1详解】解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意得，，解得，答：型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元；【小问2详解】解：设购进辆型汽车，所购新能源汽车全部售出后获得的总利润为万元，则购进辆型汽车，根据题意得，，即，∵，∴随的增大而增大，又∵，且为正整数，∴当时，取得最大值，此时(辆)，答：当购进辆型汽车，辆型汽车时，该公司获利最大．24.如图，是的直径，，是的弦，过圆心作的平行线与过点的切线交于点，与交于点．（1）求证：是的切线；（2）如果，，求的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出，根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出，利用可证明，即可得出，可得结论；（2）由（1）可知，根据得出，利用的余弦值即可得答案；（3）设交于，根据，利用扇形面积公式计算即可得答案．【小问1详解】证明：如图，连接，∵是的切线，∴，∵，，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵点在上，∴是的切线．【小问2详解】解：由（1）知：，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【小问3详解】如（1）中图，设交于，由（1）（2）知，，，，∴，，．【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的计算及解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．25.如图，正方形边长为3，M是边一点（不与A，B重合），连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接；与边交于点E．（1）当平分时，求证：．（2）当时，求的长．（3）交于点F，若，则_______（用含n的代数式表示）．【答案】（1）证明过程见详解；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先证明，再证明；（2）先用勾股定理求出的长，再用勾股定理求出的长；（3）作于P，作于Q，证明，得对应成比例的线段即可得出．【小问1详解】证明：∵四边形是正方形，，，，∵将绕点D逆时针旋转得到，，，，，，，；，，，，平分，，，，∴，【小问2详解】解：在中，，，，在中，．的长为．【小问3详解】解：，，，正方形边长为3，作于P，作于Q，，，，同理，