第21讲 双曲线及其标准方程7种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第21讲双曲线及其标准方程7种常见考法归类1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.知识点2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2a与b没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝eq\r(x＋c2＋y2)，|PF2|＝eq\r(x－c2＋y2)，所以eq\r(x＋c2＋y2)－eq\r(x－c2＋y2)＝±2a，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,c2－a2)＝1.由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．②设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？【答案】eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．3、共焦点双曲线的设法与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为eq\f(y2,a2＋λ)－eq\f(x2,b2－λ)＝1(－a2<λ<b2)．知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)双曲线的定义：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面积公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要结论：S△PF1F2=推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面积公式可得S△PF1F2==1、双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．2、求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．3、双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.4、双曲线的焦点三角形解题注意点在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．5、利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系．(2)求出双曲线的标准方程．(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．考点一：双曲线定义的理解例1．（2023秋·高二课时练习）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（

）A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线变式1．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线变式2．（2023秋·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．双曲线右支 D．一条射线变式3．（2023秋·高二课时练习）与圆及圆都外切的圆P的圆心在（

）A．一个椭圆上 B．一个圆上C．一条直线上 D．双曲线的一支上变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C：，点M与曲线C的焦点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，则的值为______．考点二：双曲线标准方程的辨识例2．（2023秋·广东佛山·高三统考阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（

）充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式1．（2023·全国·高二专题练习）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A． B．C． D．变式2．（2023秋·高二课时练习）“”是“为双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式3．（2023秋·北京·高二北京市第二十二中学校考期中）已知曲线C：，则下列说法不正确的是（

）A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为C．若，则C是圆，其半径是D．若，则C是两条直线变式4．（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．变式5．（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件变式6．（2023秋·高二课时练习）若，则“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式7．（2023秋·高二课时练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（

）A． B．C． D．或变式8．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（

）A．10 B．14 C．18 D．22变式9．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）设m为实数，若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．变式10．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（

）A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1考点三：求双曲线的标准方程例3．（2023·全国·高三专题练习）已知P是平面上的动点，且点P与的距离之差的绝对值为．设点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；变式1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．变式2．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．变式3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．变式4．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或变式5．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．变式6．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．变式7．（2023·河南安阳·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（

）．A． B．C． D．考点四：双曲线的焦点三角形例4．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．8变式1．（2023·四川达州·统考二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（

）A．5 B．6 C．8 D．12变式2．（2023·全国·高三对口高考）设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________；变式3．（2023春·四川遂宁·高二统考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________．变式4．（2023秋·高二课时练习）若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________.变式5．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______．变式6．（2023秋·高二课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.变式7．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．变式8．【多选】（2023秋·高二课时练习）双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（

）A． B．点的横坐标为C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是变式9．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（

）A．点到轴的距离为B．C．为钝角三角形D．变式10．【多选】（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（

）A．P的纵坐标为 B．C．的周长为 D．的面积为4考点五：双曲线定义的应用例5．（2023春·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11变式2．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．6 D．12变式3．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．变式4．（2023·全国·高三专题练习）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．变式5．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（

）A．16 B．18 C． D．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．8变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左右焦点，且C上存在点P使得，则a的取值范围是________．变式8．（2023·青海西宁·统考二模）设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A．- B．-1 C．- D．-2考点六：双曲线的轨迹方程例6．（2023秋·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．求交点P的轨迹C的方程；变式2．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点，且与圆外切，则动圆P圆心的轨迹方程为______.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程变式5．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（

）A．（） B．C． D．（）变式6．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．考点七：双曲线的实际应用例7．（2023·北京海淀·高三101中学校考阶段练习）地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底，则该地标建筑的高为（

）A． B． C． D．变式2．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则______．1．已知方程表示双曲线，求m的取值范围．2．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．3．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．4．设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（

）A． B．2 C． D．15．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为_____________．一、单选题1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线3．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆4．（2023·全国·高三对口高考）已知两点及直线l：①；②；③；④，在直线l上存在点P满足的所有直线方程是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．②④5．（2023·全国·高三对口高考）若双曲线的一个焦点是，则k的值为（

）A． B． C． D．6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆B．当曲线表示双曲线时，的取值范围是C．当时，曲线表示两条直线D．存在，使得曲线为等轴双曲