第17讲 直线与圆的位置关系8种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第17讲直线与圆的位置关系8种常见考法归类1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点1直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数图示相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点注：直线与圆的位置关系及判断位置关系相交相切相离判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0知识点2直线与圆相交1．解决圆的弦长问题的方法几何法（常用）如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|注：直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．知识点3直线与圆相切1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出4.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.5.切线长公式记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；知识点4圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；1、判断直线与圆位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．2、过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.3、过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．4、求切线长(最值)的两种方法(1)(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；(2)(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．5、求弦长的两种方法(1)由半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2求解，这是常用解法．(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间距离公式求解．此解法很烦琐，一般不用．6、坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”考点一：直线与圆位置关系的判断（一）判断直线与圆的位置关系例1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆，直线，则圆C与直线l（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心变式1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）圆：与直线：的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定变式2．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定变式3．（2023秋·高二课时练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交（二）由直线与圆的位置关系求参数例2．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆，直线l：，若l与圆O相交，则（

）．A．点在l上 B．点在圆O上C．点在圆O内 D．点在圆O外变式1．（2023春·浙江·高二期中）已知圆关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．1变式2．（2023秋·高一单元测试）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（

）A． B．C．， D．变式4．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知两点，点是圆上任意一点，是锐角，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式5．（2023春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个变式6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是______．变式7．【多选】（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（

）A．圆上恰有1个点到直线的距离为1，则B．圆上恰有2个点到直线的距离为1，则C．圆上恰有3个点到直线的距离为1，则D．圆上恰有4个点到直线的距离为1，则（三）由直线与圆的位置关系求距离最值例3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．变式1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（

）A． B． C． D．变式2．（2023秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是___________.变式3．【多选】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知，过点作直线的垂线，垂足为，则（

）A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为C．的最大值为3 D．的最小值为2变式4．（2023春·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形的边长为4，是边上的一动点，交于点，且直线平分正方形的周长，当线段的长度最小时，点到直线的距离为______.

考点二：直线与圆的交点问题例4．（2023秋·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2．（2023春·浙江·高二期中）设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（

）A． B． C． D．以上都有可能变式3．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．考点三：圆的切线问题过圆上一点的切线方程例4．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________.变式1．（2023·全国·高三专题练习）经过点且与圆相切的直线方程为__________．变式2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则________．变式4．（2023·河南开封·统考三模）已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______．变式5．（2023秋·高二课时练习）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．6变式6．（2023秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．过圆外一点的切线方程例5．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）求圆在点处的切线方程.变式1．（2023秋·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）过点的圆的切线方程为_________________．变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．(1)求圆的方程；(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．变式3．（2023秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知点，圆O：，则过点P与圆O相切的直线有_____条；切线方程为_____.变式4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆和圆，则过点且与都相切的直线方程为__________.（写出一条即可）变式5．（2023秋·高二单元测试）若在圆上运动，则的最大值为___.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知为圆C：上任意一点，且点．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．变式7．（2023春·河北·高二校联考期末）过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（

）A． B． C． D．变式8．（2023·北京大兴·校考三模）若点是圆上的动点，直线与轴、轴分别相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．与切线长有关的问题例6．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______.变式1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．变式2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知圆，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点．求四边形面积的最小值.切线的应用例7．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线，与相切，则最大值为（

）A． B． C．3 D．5变式1．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．变式3．（2023春·江西·高二临川一中校联考阶段练习）已知圆，直线的方程为，若在直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为点，使得为直角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．考点四：圆的弦长问题求圆的弦长问题例8．（2023秋·高二课时练习）过三点的圆交于轴于两点，则＝（

）A． B．8 C． D．10变式1．（2023春·江苏南京·高二南京市江宁高级中学校联考期末）已知直线：与圆交于两点，则____________.变式2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.变式3．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知，圆，圆，若直线过点且与圆相切，则直线被圆所截得的弦长为（

）A． B． C． D．已知圆的弦长求参数例9．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）设直线与圆相交所得弦长为，则______；变式1．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.变式2．（2023秋·高一单元测试）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有______条.变式3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式4．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设、为正数，若直线被圆截得弦长为，则的最小值为__________.变式5．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知过点的直线与圆心为的圆相交于，两点，当面积最大时，直线的方程为（

）A． B．或C． D．或圆的中点弦问题例10．（2023·全国·高三专题练习）若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（

）A． B． C． D．变式1．（2023秋·辽宁锦州·高二校考期中）若为圆的弦的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．变式2．（2023秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）圆的一条弦以点为中点，则该弦的长为（

）A．2 B．4 C． D．变式3．（2023秋·天津河东·高二统考期中）已知圆，直线过点且与圆交于两点，若为线段的中点，为坐标原点，则的面积为__________．考点五：直线与圆的综合问题例11．【多选】（2023·湖北武汉·统考三模）已知圆：，直线：，则（

）A．直线在y轴上的截距为1B．直线的倾斜角为C．直线与圆有2个交点D．圆上的点到直线的最大距离为变式1．【多选】（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）已知直线与圆，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．圆的圆心坐标为C．存在实数，使得直线与圆相切D．若，直线被圆截得的弦长为4变式2．【多选】（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知圆，直线，则下列说法正确的是（

）A．直线l过定点B．当时，直线l与圆C相切C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则变式3．【多选】（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知圆，直线，P为直线上的动点，过点P作圆M的切线、，切点为A、B，则下列结论正确的是（

）A．四边形面积的最小值为4 B．四边形面积的最大值为8C．当最大时， D．当最大时，直线AB的方程为变式4．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有（

）A．直线与圆相交B．的最小值是1C．若到直线的距离为2，则点有2个D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是变式5．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．直线与圆相离C．圆心到直线距离的最大值是D．直线被圆截得的弦长最小值为考点六：直线与圆方程的应用例12．（2023春·广东广州·高二统考开学考试）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到_________米．变式1．（2023春·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．变式2．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？考点七：韦达定理及其应用例13．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点.(1)求圆的标准方程；(2)已知点，若的面积为，求的值.变式1．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）已知点，，曲线C任意一点P满足．(1)求曲线C的方程；(2)设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．变式2．（2023秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆经过，两点，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)若直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．变式3．（2023秋·高二单元测试）已知方程，．(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值．变式4．（2023秋·辽宁大连·高三校联考阶段练习）圆．(1)求证：不论为何值，圆必过两定点；(2)已知，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，，问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．考点八：与圆有关的定点、定值问题例14．（2023秋·广西桂林·高二广西师范大学附属中学校考阶段练习）过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点．(1)若，求直线的方程；(2)证明：直线的斜率之和为定值．变式1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知圆过点，且与直线相切于点．(1)求圆的标准方程；(2)若，点在圆上运动，证明：为定值．变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，M为的中点，直线l与直线相交于点N．(1)当时，求直线l的方程；(2)证明：为定值．例15．（2023秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆，直线与圆O交于A，B两点．(1)求；(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．变式1．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．(1)若P点坐标为，求(2)经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．变式2．（2023春·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知在平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．(1)求点P的轨迹方程；(2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与x轴的交点，E为直线l：x＝4上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求点Q的坐标．1．（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（

）A． B．4 C． D．72．（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．3．【多选】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切4．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．5．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．6．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．7．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．一、单选题1．（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（

）A．4 B． C． D．23．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）坐标轴与圆的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（广东省江门市2023-2023学年高二下学期期末数学试题）若直线与圆相切，则（

）A．9 B．8 C．7 D．65．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为（）A． B． C． D．6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）设直线被圆：所截得弦的中点为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．8．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（

）A．2 B．1 C． D．9．（2023·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A． B．C． D．二、多选题10．（2023秋·高二单元测试）设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（）A． B． C． D．11．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）已知点在圆上，点分别为直线与轴，轴的交点，则下列结论正确的是（

）A．直线与圆相切 B．圆截轴所得的弦长为C．的最大值为 D．的面积的最小值为12．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知圆，直线，则（

）A．直线与圆C相交B．直线过定点（2，1）C．圆C被y轴截得的弦长为D．圆C被直线截得的弦长最短时，直线的方程为x=113．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦，记线段的中点分别为，则下列结论正确的是（

）A．圆的方程为 B．四边形面积的最大值为C．弦的长度的取值范围为 D．直线恒过定点14．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线l与圆相切于点M，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B点，则下列各选项正确的是（

）A．为定值 B．的最小值为2C．面积的最小值为2 D．的最小值为三、填空题15．（2023秋·福建·高二校联考期中）平行于直线且与圆相切的直线的方程是__________．16．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）若圆被直线平分，则圆的半径为__________.17．（2023春·浙江·高二校联考期末）若直线截圆