第08讲 空间向量基本定理7种常见考法归类解析版-新高二数学暑假自学课讲义

第08讲空间向量基本定理7种常见考法归类1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点1空间向量基本定理1．定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.注：（1）对于基底{a，b，c}应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．②基底中的三个向量a，b，c都不是0.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．（2）空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→)).推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．易错辨析：（1）构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以．（2）在四棱锥O­ABCD中，eq\o(OA,\s\up7(―→))可表示为eq\o(OA,\s\up7(―→))＝xeq\o(OB,\s\up7(―→))＋yeq\o(OC,\s\up7(―→))＋zeq\o(OD,\s\up7(―→))且唯一，这种说法对吗？对．知识点2证明平行、共面问题1.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.3．直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．1、判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．2、用基底表示向量的策略(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．3、证明平行、共面问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量满足a＝λb即可．(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．考点一：空间向量基本定理基底的判断例1．【多选】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（

）A．，，两两不共线，但两两共面B．对空间任一向量，总存在有序实数组，使得C．，，能构成空间另一个基底D．若，则实数，，全为零【答案】ABD【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可.【详解】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确；对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；因为，所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确；故选：ABD变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基底的性质进行求解.【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确；因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；因为与平行，所以不能构成基底，C不正确；因为，所以共面，不能构成基底，D不正确.故选：B.变式2．【多选】（2022·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【分析】利用共面向量定理逐项分析判断作答.【详解】构成空间的一个基底，对于A，，因此，，共面，A正确；对于B，，因此，，共面，B正确；对于C，假定，，共面，则存在使得，而不共面，则，解得，于是，共面，与不共面矛盾，因此，，不能共面，C错误；对于D，，因此，，共面，D正确．故选：ABD变式3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理判断即可.【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得，若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；故选：ACD变式4．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，所以、、共面，故存在实数、使得，即，因为是空间的一个基底，则，解得.故选：D.变式5．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，所以，.因为，，，所以，又SA=1，所以空间的一个单位正交基底可以为.故选：A考点二：用基底表示空间向量例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】

如图所示，，故选：C变式1．（2023春·高二单元测试）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理结合空间向量运算求解作答.【详解】在平行六面体中，M为与的交点，.故选：B变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.

故选：B变式3．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：A.变式4．（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得.【详解】因为，所以，所以，即，又，所以.故选：D

变式5．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P是的中点，所以，又因为点Q在上，且，所以，所以，故选：C.变式6．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示）【答案】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.【详解】依题意，为的重心，则，所以.故答案为：

变式7．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.

【答案】【分析】由已知得，，可得；由可得可得答案.【详解】由已知得，，因为G是的重心，D为BC的中点，所以，，所以；又因为H是的重心，所以，.考点三：利用空间向量基本定理求参数例3．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且（m，n∈R）则m，n的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.【详解】因为点P为平面ABC上的一点，，则，于是，即，显然选项BCD都不满足，A选项满足.故选：A变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知正方体中，侧面的中心是P，若，则_________，_________．【答案】//【分析】用表示出，从而得出，的值．【详解】由于，所以，，故答案为：；．

变式2．（2023秋·高二课时练习）已知为三条不共面的线段，若，那么（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用共面向量的基本定理求出结果.【详解】根据向量加法法则可得：，即，因为，所以，，，所以，，，所以.故选：B.变式3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B． C． D．－1【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解.【详解】矩形中，,所以.

因为，所以.因为,，所以.所以.所以，所以.故选：A变式4．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______．【答案】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，又，由空间向量基本定理可得，，故.故答案为：.变式5．（2022秋·吉林延边·高二校考期末）已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答.【详解】正方体，点是上底面的中心，如图，则，不共面，又，于是得，所以.故选：C例4．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，即，则，则x=2，，，解得.故选：D.变式1．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.【答案】【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出.【详解】因为，所以，即，，下面证明：已知，若三点共线，则，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，即，整理得，故，，所以，因为三点共线，故，解得：.故答案为：考点四：用向量法证明平行、共面问题例5．（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案.【详解】当共面时，不妨设，变形得到，则，设，若点与点共面，则，只有选项中符合题意.故选：.变式1．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．(1)试证：与，共面；(2)，，，试用基底{，，}表示向量．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量与，共面；（2）直接利用向量的加减法运算得答案．【详解】（1）

证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．又∵PF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF．∴AD∥平面PEF．同理可证，BC∥平面PEF．∴向量与，共面.（2）解：.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答.【详解】在正方体中，令，，BD与AC交于点M，即点M是的中点，于是，，因此，即，而直线与直线有公共点，所以三点共线.变式3．（2023春·广东·高二统考阶段练习）如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且平面ABC，则实数________．【答案】/0.75【分析】运用空间向量的线性运算法则，将用基底表示出来，延长OP与AM交于D，当时，平面ABC.【详解】由条件可知：；延长与AM交于D，连接BD，则当时，平面ABC，平面ABC，平面ABC；令，则有，，根据向量基底表示法的唯一性，有：

，解得，，.故答案为：，变式4．（2023·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________.【答案】【分析】设，其中，将、、用基底表示，分析可知、、共面，则存在、，使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的长度.【详解】设，其中，，，，因为平面，则、、共面，显然、不共线，所以，存在、，使得，即，因为为空间中的一组基底，所以，，解得，因此，.故答案为：.变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.【答案】【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值.【详解】设，其中，，，，因为、、、四点共线，则向量、、共面，由共面向量定理可知，存在、使得，即，所以，，解得.故答案为：.考点五：用基底法求空间向量的数量积例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，.(1)用，，表示；(2)计算.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出；（2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积.【详解】（1）；（2）.变式1．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为____________．【答案】/-0.5【分析】，，两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算.【详解】根据题意ABCD为正四面体，，，两两成角，,由，，所以．故答案为：变式2．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.(1)试用向量表示向量；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果；（2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.【详解】（1）因为点为的中点，所以，因为，所以，所以，所以；（2）由（1）得，因为，，所以.考点六：用向量法解决立体几何的垂直、夹角问题例7．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________.【答案】/【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值.【详解】由题设，可得如下示意图，

∴，设，则，又，所以，，，所以以.，所以故答案为：.变式1．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设，，，因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，结合，，，，，所以=0，，，则，，可得，，，所以，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为.故选：B.变式2．【多选】（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在三棱锥A-BCD中，，，两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（

）A． B．C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为【答案】BC【分析】根据空间向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，应用数量积的运算律求向量的模长，根据向量夹角公式、数量积运算律求异面直线夹角.【详解】不妨设，则，且，，所以，因为，且，所以，则，所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为故选：BC变式3．（2023·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______．【答案】【分析】以为基底，，即可求解.【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则,所以，所以,故答案为：变式4．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）在四棱柱中，底面为平行四边形，且，.(1)用表示，并求的长；(2)若为中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解；（2）用表示，计算，由向量法求异面直线所成的角．【详解】（1），，，，即，解得；（2）由（1）知设异面直线与所成角为，则.变式5．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体中，，，且.(1)求的长；(2)求向量与夹角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）用空间的一个基底表示向量，再利用空间向量数量积的运算律求解作答.（2）利用（1）中信息，结合空间向量的夹角公式计算作答.【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底，因为，，且，则，，所以.（2）由（1）知，，则，又，所以向量与夹角的余弦值.例8．（2022·全国·高二假期作业）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是.(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到，即可证得；（2）根据平面向量转化基底，求出、、，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，∴，∴，∴.（2）∵，，∴，，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.变式1．【多选】（2023春·山东菏泽·高二统考期末）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.【详解】如图，由题意得，，，，，对于选项A，所以，即.故选项A正确.对于选项B，故选项B正确.对于选项C，所以即故选项C错误.对于选项D，故选项D错误.故选：AB变式2．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（

）A．B．C．直线AC与直线是相交直线D．与AC所成角的余弦值为【答案】AB【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后，由向量数量积公式求出，求出，A正确；B选项，求出，，得到B正确；C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误；D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.【详解】由空间向量运算法则得到：，所以，故，A正确；因为，所以，故，，B正确；连接，因为，且，所以四边形为平行四边形，点平面，而点平面，故直线AC与直线是异面直线，C错误；，，，又，，故，设与AC所成角为，所以故与AC所成角的余弦值为，D错误.故选：AB考点七：用向量法解决立体几何的距离问题例9．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长.【详解】解：记，，，由题意可知，，所以，，所以，即的长为，故选：D.变式1．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以为基底向量，可得，则，∴．故选：C.变式2．（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.(1)将空间向量与用表示出来；(2)求线段BM的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.【详解】（1）（2）由题可知因为，又因为，所以.易得，所以，所以，即的长为.变式3．（2022秋·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，四面体中，分别为上的点，且设（1）以为基底表示，则＝________；（2）若且则________.【答案】【分析】利用空间向量的加减法运算和基底的定义表示，再根据向量的数量积的运算律求解.【详解】(1).(2)，所以，故答案为:，.变式4．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______.【答案】【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案.【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即.因为，为对角线的中点，所以.因为为对角线靠近点的三等分点，所以，所以.所以，所以.所以，所以线段.故答案为：.一、单选题1．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据空间向量基本定理求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，所以，故.故选：B.2．（2021秋·辽宁·高二校联考期中）已知三棱柱，点在线段上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量基本定理进行求解.【详解】由题意得：，，，故故选：D3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断所给三个向量是否共面，即可得解.【详解】对A选项，，故三向量共面，A错误；对B选项，若共面，则，解得，故三向量共面，B错误，对C选项，，故三向量共面，C错误，对D选项，若向量共面，则无解,故向量不共面，故D正确,故选：D4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（

）A．若，则B．两两共面，但不共面C．一定存在x，y，使得D．一定能构成空间的一个基底【答案】C【分析】利用向量的线性关系、向量的基底的定义和空间向量基本定理，即可求解．【详解】对于A，若不全为0，则共面，与题意矛盾，故A正确；对于B，是空间的一个基底,则两两共面，但不共面，故B正确；对于C，不共面，则不存在实数，使得，故C错误；对于D，若共面，，无解，故

不共面，一定能构成空间的一个基底，故D正确故选∶C．5．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设，，，因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，结合，，，，，所以=0，，，则，，可得，，，所以，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为.故选：B.6．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC，不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由题意为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.【详解】由题意，知，，不共面，四边形为平行四边形，，为空间的一组基底.，又，，，，，.故选：D.7．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体中，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形，利用向量的加法法则得到，再利用空间向量的数量积及运算律求模长.【详解】以为基底向量，可得，则，∴．故选：C.8．（2022秋·山西太原·高二校考阶段练习）已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量共面定理可知ACD中的向量共面，不能作为空间的一组基底；假设B中向量共面，可得，由此可构造方程组，由方程组无解可知B中向量不共面，可作为空间一组基底.【详解】对于A，，共面，不能作为空间的一组基底，A错误；对于B，假设共面，则存在，使得，，方程组无解，假设错误，即不共面，可以作为空间的一组基底，B正确；对于C，，共面，不能作为空间的一组基底，C错误；对于D，，共面，不能作为空间的一组基底，D错误.故选：B.9．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基底表示，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为，所以，

因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：A.二、多选题10．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（

）A．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底B．是空间四点，若不能构成空间的一组基底，则共面C．若，则点四点共面D．已知是空间向量的一