2.4.1-中值定理(部编)课件

导数的应用§2.4§2.4.1中值定理§2.4.2洛必达法则§2.4.5函数的最值及其应用§2.4.4函数的极值§2.4.3函数的单调性一、拉格朗日中值定理中值定理二、罗尔中值定理§2.4.1三、柯西中值定理一、拉格朗日中值定理

设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导.则至少存在一点))(()()('abfafbf-x=-几何解释:C如图，平移经过曲线两个端点的直线，

移到与曲线只有一个交点处，如图中的对应点处，

在处切线的斜率即为，

而直线的斜率为.

，

因为两条直线平行，所以就是满足定理结论的点.例1

求函数在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理条件的由于在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日中值定理条件.解由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(－1)=4,而因此有例2

证明不等式：解令，不妨设，

显然满足拉格朗日中值定理的条件，故存在使得即，故例3

试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan

x.证设f(x)=arctan

x,不妨设a<b.由于arctan

x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.可知必定存在一点,使得由于因此arctan

x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.由于，因此从而有例4

当x>0时,试证不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点使得.说明本例中，若令y=ln

t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.即进而知推论1

若在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.事实上，对于(a,b)内的任意两点，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：

位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2

若两个函数f(x)、g(x)在(a,b)内满足则在(a,b)内f(x)≡

g(x)+C（C为常数）。例5证二、罗尔中值定理定理

设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,2-2例6证由零点定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,练习选择题(选出符合题意的选项).下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有().注意罗尔定理的条件有三个:(1)函数y=f(x)在[a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).分析不难发现，在[－2,0]上不满足连续的条件，因此应排除A.对于，在[－2,4]上连续，在(－2,4)内可导；f(－2)=36，f(4)=0，，因此应排除B.对于f(x)=|x|，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除Ｄ.综合之，本例应单选Ｃ.拉格朗日中值定理的一个十分重要的推广：

柯西中值定理设函数和满足下列条件：（1）在闭区间上连续；内可导；在内的每一点均不为零.

（2）在开区间（3）则在内至少有一点，使得三、柯西中值定理

[注意]在上式中，如果取，那么，从而上式就变为因此，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理统称为中值定理，它们给出了函数及其导数之间的关系，为我们利用导数研究函数的某些特性提供了方法.四、小结Rolle定理Lagrange中值定理罗尔