2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学适应性试卷（6月份）

第1页（共1页）2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学适应性试卷（6月份）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列各数中，负整数是（）A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣2.52．（3分）今年，某市某一周内的最低气温分别是2℃，4℃，4℃，5℃，3℃，4℃，2℃，则这一周最低气温的众数是（）A．2℃ B．3℃ C．4℃ D．5℃3．（3分）如图，下列图形中经过折叠不能围成一个直四棱柱的是（）A． B． C． D．4．（3分）已知正方形的面积为75，则该正方形的边长介于（）A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间5．（3分）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．若1兆＝10m，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．166．（3分）如图，点A为∠B边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tanB的值，错误的是（）A． B． C． D．7．（3分）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意课列方程为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，直线l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l1，l2之间，点A，D分别在l1，l2上，点B，C，E，F在同一直线上．若∠α＝53°，则∠β的度数为（）A．50° B．52° C．54° D．56°9．（3分）在多项式a﹣b﹣c﹣d中任意添括号，添括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新算操作”．例如：a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d，a﹣（b﹣c）﹣d＝a﹣b+c﹣d，…有两个判断：①至少存在一种“新算操作”，使其运算结果与原多项式之差为0；②所有可能的“新算操作”共有4种不同运算结果．判断正确的是（）A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误10．（3分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝CE＝，AD，BE交于点F，连结DE，CF．则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为．12．（3分）某函数的图象经过点（﹣1，2），请写出一个符合条件的函数表达式为．13．（3分）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是．14．（3分）已知▱ABCD中，AB＝4，∠ABC与∠DCB的角平分线分别交边AD于点E，F，且EF＝2，则边AD的长为．15．（3分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，AO的延长线交线段BD于点E．若∠BAC＝2∠DOE，，则∠DOE的度数为．16．（3分）已知点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为k．若x2﹣x1＝6，则t﹣k的值为．三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）17．（8分）（1）解不等式：2（x﹣1）＞4；（2）化简：．18．（8分）观察以下等式：第1个等式：42﹣0×8＝16；第2个等式：52﹣1×9＝16；第3个等式：62﹣2×10＝16；第4个等式：72﹣3×11＝16．…按照以上规律，解决下列问题：（1）请直接写出第5个等式．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．19．（8分）如图，直线y＝6x与反比例函数y＝（k＞0，且x＞0）的图象交于点A，点A的横坐标为2．（1）求反比例函数的表达式．（2）点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB．求△AOB的面积．20．（8分）民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下：七年级10名学生活动成绩统计表成绩/分678910人数1ab21已知七年级10名学生活动成绩的中位数为7.5分．请根据以上信息，完成下列问题：（1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？（2）求a，b的值．（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．21．（8分）某城市准备制作一批新的公交车候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后，设计师画了一幅侧面示意图，AB为水平线段，CD⊥AB于点E，AB＝2米，，．（1）求sinA，cosB．（2）求CE的长．22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，CD是⊙O的直径，OA⊥CD，BC交OA于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）请用一个等式表示出∠A与∠C之间的数量关系，并证明．（3）若⊙O的半径为5，，求线段AE的长．23．（10分）如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（m＞0），连接AB，AC．（1）当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标．（2）当BC与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和．（3）设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求m的值．24．（12分）在Rt△ABC中，M是斜边AB上的一点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点C，D在直线AB的同一侧．（1）当M是AB的中点时，连接AD，BD．①如图1，求∠ADB的大小；②如图2，已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB，连接CD．求证：BD＝CD．（2）如图3，当AM＞BM时，在线段MD取一点G，连接BG并延长交AC的延长线于点F，当四边形CMGF是平行四边形时，若△ACM的面积为8，BC•GM＝12，求▱CMGF的面积．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（3分）下列各数中，负整数是（）A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5【解答】解：3是正整数，0既不是正数也不是负数，﹣2.5是分数；﹣2是负整数；故选：C．2．（3分）今年，某市某一周内的最低气温分别是2℃，4℃，4℃，5℃，3℃，4℃，2℃，则这一周最低气温的众数是（）A．2℃ B．3℃ C．4℃ D．5℃【解答】解：∵4出现了3次，出现的次数最多，∴众数是4℃；故选：C．3．（3分）如图，下列图形中经过折叠不能围成一个直四棱柱的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、B、D可以围成直四棱柱，C不能围成一个棱柱，故选：C．4．（3分）已知正方形的面积为75，则该正方形的边长介于（）A．7与8之间 B．8与9之间 C．9与10之间 D．10与11之间【解答】解：由题意得，该正方形的边长为，∵，∴8＜＜9，∴该正方形的边长介于8和9之间，故选：B．5．（3分）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿．若1兆＝10m，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：1兆＝1万×1万×1亿＝104×104×108＝1016，则m＝16，故选：D．6．（3分）如图，点A为∠B边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tanB的值，错误的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴tanB＝tan∠ACD，∴tanB＝＝＝，故选：A．7．（3分）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意课列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，依题意得：＝．故选：D．8．（3分）如图，直线l1∥l2，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l1，l2之间，点A，D分别在l1，l2上，点B，C，E，F在同一直线上．若∠α＝53°，则∠β的度数为（）A．50° B．52° C．54° D．56°【解答】解：延长AC交l2于H，如下图所示：∵l1∥l2，∠α＝53°，∴∠CHD+∠α＝180°，∠CHD＝180°﹣∠α＝180°﹣53°＝127°，∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠ECH＝45°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝∠EDF＝60°，∴∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，在四边形CEDH中，∠ECH+∠CHD+∠CED+∠EDH＝360°，即45°+127°+120°+∠EDH＝360°，∴∠EDH＝68°，∴∠β＝180°﹣∠EDF﹣∠EDH＝180°﹣60°﹣68°＝52°．故选：B．9．（3分）在多项式a﹣b﹣c﹣d中任意添括号，添括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新算操作”．例如：a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d，a﹣（b﹣c）﹣d＝a﹣b+c﹣d，…有两个判断：①至少存在一种“新算操作”，使其运算结果与原多项式之差为0；②所有可能的“新算操作”共有4种不同运算结果．判断正确的是（）A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误【解答】解：根据题意有（a﹣b）﹣c﹣d＝a﹣b﹣c﹣d，∴存在“新算操作”，使其运算结果与原多项式之差为0，故①正确；所有可能的“新算操作”有：第一种：结果与原式相同；第二种：a﹣（b﹣c）﹣d＝a﹣b+c﹣d；第三种：a﹣b﹣（c﹣d）＝a﹣b﹣c+d；第四种：a﹣（b﹣c﹣d）＝a﹣b+c+d；∴共有4种不同运算结果，故②的说法正确；∴正确的有2个；故选：A．10．（3分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，BD＝CE＝，AD，BE交于点F，连结DE，CF．则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠ADB＝∠BEC，即∠FDB＝∠BEC，又∴∠FBD＝∠CBE，∴△FBD∽△CBE，∴，即，∵∠CBF＝∠EBD，∴△CBF∽△EBD，∴，即，过点E作EH⊥BC于H，如下图所示：设CH＝a，∵∠BCA＝60°，EH⊥BC，∴∠CEH＝30°，∴CE＝2a，∴BD＝CE＝2a，∵BD＝CE＝AB，∴AB＝6a，∴BC＝AB＝6a，∴BH＝BC﹣CH＝6a﹣a＝5a，在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH＝＝，在Rt△BEH中，由勾股定理得：BE＝＝，∴，∴＝，故选：B．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为6π．【解答】解：该圆锥的侧面积＝π×2×3＝6π．故答案为6π．12．（3分）某函数的图象经过点（﹣1，2），请写出一个符合条件的函数表达式为y＝﹣2x（答案不唯一）．．【解答】解：设函数的解析式为y＝kx，∵经过点（﹣1，2），∴﹣k＝2，解得：k＝﹣2，∴函数解析式为y＝﹣2x，故答案为：y＝﹣2x（答案不唯一）．13．（3分）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是．【解答】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2、4、6；2、4、7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果，其中三条线段能构成三角形的结果数为2，所以三条线段能构成三角形的概率＝＝．故答案为．14．（3分）已知▱ABCD中，AB＝4，∠ABC与∠DCB的角平分线分别交边AD于点E，F，且EF＝2，则边AD的长为10或6．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，CD＝AB＝4，∴∠AEB＝∠CBE∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝4，同理：DF＝CD＝4，分两种情况：①如图1所示：∵EF＝2，∴AD＝AE+EF+DF＝4+2+4＝10；②如图2所示：∵EF＝2，AE＝DF＝4，∴AF＝2，∴AD＝AF+DF＝2+4＝6；综上所述：AD的长为10或6；故答案为：10或6．15．（3分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，AO的延长线交线段BD于点E．若∠BAC＝2∠DOE，，则∠DOE的度数为30°．【解答】解：如图，连接OB、OC，由圆周角定理得，∠BAC＝，，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝，∴∠COD＝∠BAC，设∠DOE＝α，∵∠BAC＝2∠DOE，∴∠BAC＝2α＝∠COD，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∵∠ACB＝，∴2α+∠ABC+＝180°，∴∠ABC＝，∴∠AOC＝2∠ABC＝，∵∠DOE+∠COD+∠AOC＝180°，∴α+2α+＝180°，解得α＝30°，即∠DOE＝30°，故答案为：30°．16．（3分）已知点A（x1，t），B（x2，t）在二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象上，设该二次函数的最小值为k．若x2﹣x1＝6，则t﹣k的值为9．【解答】解：∵x2+bx+c＝t，∴x2+bx+c﹣t＝0，∴x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c﹣t．∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2，∴b2﹣4（c﹣t）＝36，∴t＝，∵k＝﹣，∴t﹣k＝9．故答案为：9．三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）17．（8分）（1）解不等式：2（x﹣1）＞4；（2）化简：．【解答】解：（1）去括号，得2x﹣2＞4，移项，得2x＞4+2，合并同类项，得2x＞6，系数化为1，得x＞3；（2）＝＝＝＝＝．18．（8分）观察以下等式：第1个等式：42﹣0×8＝16；第2个等式：52﹣1×9＝16；第3个等式：62﹣2×10＝16；第4个等式：72﹣3×11＝16．…按照以上规律，解决下列问题：（1）请直接写出第5个等式．（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．【解答】解：（1）根据上述等式，可知第5个等式：82﹣4×12＝16．（2）第n个等式：（n+3）2﹣（n﹣1）（n+7）＝16，证明：等式左边＝n2+6n+9﹣（n2+7n﹣n﹣7）＝n2+6n+9﹣n2﹣6n+7＝16，∴等式左边＝等式右边，∴等式成立．19．（8分）如图，直线y＝6x与反比例函数y＝（k＞0，且x＞0）的图象交于点A，点A的横坐标为2．（1）求反比例函数的表达式．（2）点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB．求△AOB的面积．【解答】解：（1）点A横坐标为2，且在直线y＝6x的图象上，∴y＝6×2＝12，∴A（2，12），∵点A在反比例函数y＝（k＞0，且x＞0）的图象上，∴k＝2×12＝24，∴反比例函数解析式为y＝．（2）∵点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，∴B（4，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，A（2，12），B（4，6），，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+18，∴直线AB与y轴的交点为（0，18），∴S△AOB＝＝18．20．（8分）民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下：七年级10名学生活动成绩统计表成绩/分678910人数1ab21已知七年级10名学生活动成绩的中位数为7.5分．请根据以上信息，完成下列问题：（1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？（2）求a，b的值．（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．【解答】解：（1）∵100%﹣（50%+20%+20%）＝10%，10%×10＝1（人），答：七年级活动成绩为7分的学生数是1人；（2）∵七年级10名学生活动成绩的中位数为7.5分，∴成绩由低到高排列第5位的成绩为7分，第6位的成绩为8分，即a＝4，b＝2．（3）是，理由如下：结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为×100%＝30%，八年级的优秀率为×100%＝40%，七年级的平均成绩为＝7.8（分），八年级的平均成绩为＝8.5（分），∵30%＜40%，8.5＞7.8，∴本次活动中优秀率高的年级平均成绩也高．21．（8分）某城市准备制作一批新的公交车候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后，设计师画了一幅侧面示意图，AB为水平线段，CD⊥AB于点E，AB＝2米，，．（1）求sinA，cosB．（2）求CE的长．【解答】解：（1）由题意得：CD⊥AB，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，在Rt△ACE中，tanA＝＝，∴设CE＝2a米，则AE＝5a（米），∴AC＝＝＝a（米），∴sinA＝＝＝，在Rt△BCE中，tanB＝＝，∴设CE＝3k（米），则BE＝5k（米），∴BC＝＝＝k（米），∴cosB＝＝＝，∴sinA＝，cosB＝；（2）设AE＝a米，∵AB＝2米，∴BE＝AB﹣AE＝（2﹣a）米，在Rt△ACE中，tanA＝，∴CE＝AE•tanA＝a（米），在Rt△BCE中，tanB＝，∴CE＝BE•tanB＝（2﹣a）米，∴a＝（2﹣a），解得：a＝，∴CE＝a＝（米），∴CE的长为米．22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，CD是⊙O的直径，OA⊥CD，BC交OA于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）请用一个等式表示出∠A与∠C之间的数量关系，并证明．（3）若⊙O的半径为5，，求线段AE的长．【解答】（1）证明：设∠C＝α，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠C＝α，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝90°﹣α，∵OA⊥CD，∴∠CEO＝90°﹣∠C＝90°﹣α，∴∠AEB＝∠CEO＝90°﹣α，∴∠ABE＝∠AEB＝90°﹣α，∴AB＝AE；（2）∠A与∠C之间的数量关系是：∠A＝2∠C，证明如下：由（1）可知：∠C＝α，∠ABE＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠A＝180°﹣（∠ABE+∠AEB）＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，∴∠A＝2∠C；（3）连接BD，如下图所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∵⊙O的半径为5，∴CD＝10，在Rt△CBD中，CD＝10，BC＝，由勾股定理得：BD＝＝，∵OA⊥CD，∴∠COE＝∠CDB＝90°，又∵∠C＝∠C，∴△COE∽△CDB，∴OE：BD＝OC：BC，即OE：＝5：，∴OE＝，设AE＝x，则OA＝AE+OE＝，由（1）的结论得：AB＝AE＝x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA2＝AB2+OB2，即，解得：x＝．∴AE＝．23．（10分）如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣1交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（m＞0），连接AB，AC．（1）当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标．（2）当BC与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和．（3）设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求m的值．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，∴顶点为（1，﹣2），∵点B与抛物线的顶点重合，∴m＝1，∴3m＝3，把x＝3代入y＝x2﹣2x﹣1得，y＝2，∴点C的坐标为（3，2）；（2）当BC与x轴平行时，则点B，C的纵坐标相同，两点关于对称轴直线x＝1对称，∴＝1，∴m＝，∴B点的纵坐标为y＝（）2﹣2×﹣1＝﹣，∴点B与点C的纵坐标的和为：2×＝﹣；（3）若0＜3m＜1，则0＜m＜，与m＞矛盾，不合题意；最高点的纵坐标为m2﹣2m﹣1，最低点的纵坐标为（3m）2﹣2×（3m）﹣1＝9m2﹣6m﹣1，当m≤1时，最高点的纵坐标为（3m）2﹣2×（3m）﹣1＝9m2﹣6m﹣1，最低点纵坐标为﹣2，∵最高点与最低点的纵坐标之差为，∴9m2﹣6m﹣1+2＝5m，解得m＝，∵m＜1