湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2024年6月高一数学月考试题一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．已知复数z＝（1﹣3i）（2+i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A．若l∥α，且m∥α，则l∥m B．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m∥n C．若m∥l，且m⊥α，则l⊥α D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β3．已知向量，，且，则k＝（）A． B． C． D．4．若，且，则sinα的值为（）A． B． C． D．5．已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（）A．28 B．36 C．42 D．506．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝A1B1＝1，则侧棱BB1与底面ABCD所成角的正弦值为（）A． B． C． D．7．已知D是△ABC的边AB的中点，且△ABC所在平面内有一点P，使得，若AB＝4，则＝（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．168．将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，且g（0）＝1，则下列结论中不正确的是（）A．g（x）为偶函数 B． C．当ω＝5时，g（x）在上恰有2个零点 D．若g（x）在上单调递减，则ω＝1二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）（多选）9．下列说法错误的是（）A．棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体 B．圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的 C．棱台的所有侧棱交于同一点 D．用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台（多选）10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（）A．当时，△ABC为直角三角形 B．当a＝5，b＝7，c＝8时，△ABC最大角与最小角之和为 C．当时， D．当时，△ABC为锐角三角形（多选）11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0，点D在边BC上，AD＝1，AB•CD＝BD•AC，则（）A． B．b+c＝bc C．△ABC面积的最小值是 D．2b+8c的最小值是18（多选）12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90° B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形 C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30° D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．在三棱台ABC﹣A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1的面积分别为S和S1，若AB＝2A1B1，则＝．14．已知，则sinα＝．15．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且|z|＝2，则的最小值是．16．在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，∠ABC＝60°，点P为BC中点，点Q是边AB上一个动点，则的取值范围为．四．解答题（共5小题，共70分）17．如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中AB＝AA1＝2，AD＝6．（15分）（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．18．如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，P是上的中点，Q是AC的中点，BP与CE交于点O．（15分）（1）求证：OQ∥平面ABEF；（2）求证：AP⊥CE．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinB+sinC＝2sinA，8b＝7a．（10分）（1）求sinB的值；（2）求sin（A﹣B）的值．20．如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠CDA＝60°，P为棱SA上一点，AB＝2AD＝2CD＝2AP＝4PS＝4．（15分）（1）证明：SC∥平面PBD；（2）求二面角S﹣DC﹣A的大小；（3）求点A到平面PBD的距离．21．对任意两个非零向量，，定义：．（15分）（1）若向量，，求的值；（2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值；（3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1-5：DCCDB6-8:BBC二．多选题（共4小题）9：ABD．10：ABC．11：BCD．12：ABD三．填空题（共4小题）13：4．14：．15：1．16：[﹣3，21]．四．解答题（共5小题）17．解：（1）长方体的体积为2×2×6＝24，半圆柱的底面积为，半圆柱的体积为，该几何体的体积为24+3π．（2）长方体去掉上底面后的表面积为2×6+2×2×2+2×6×2＝44，由（1）得半圆柱的底面积为，半圆柱的侧面积为，所以该几何体的表面积为．18证明：（1）连接AE，∵P是上的中点，∴O是EC的中点，又Q是AC的中点，∴OQ∥AE，∵AE⊂平面ABEF，OQ⊄平面ABEF，∴OQ∥平面ABEF；（2）由题意，AB⊥CE，BP⊥CE，又AB，BP⊂平面ABP，且AB∩BP＝B，∴CE⊥平面ABP，而AP⊂平面ABP，∴AP⊥CE．19．解：（1）根据sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得b+c＝2a，由8b＝7a，得，可得c＝2a﹣b＝a，根据余弦定理得＝＝，因为B∈（0，π），所以（舍负）；（2）由8b＝7a，可得8sinB＝7sinA，所以，根据，，由余弦定理得，所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB＝．20．解：（1）证明：连接AC交DB于点O，连接OP．在底面ABCD中，因为AB∥CD，且AB＝2CD，由△ABO∽△CDO，可得，因为AP＝2PS，即，所以在△CAS中，，所以OP∥CS，又因为OP⊂平面PBD，SC⊄平面PBD，所以SC∥平面PBD．（2）设CD的中点为M，连接AM、SM，因为∠CDA＝60°，AD＝CD＝2，所以△CDA为等边三角形，所以AM⊥CD，又SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以SA⊥CD，SA∩AM＝A，SA，AM⊂平面SAM，所以CD⊥平面SAM，SM⊂平面SAM，所以CD⊥SM，所以∠SMA为二面角S﹣DC﹣A的平面角，SA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以SA⊥AM，在Rt△SMA中SA＝SP+AP＝3，，所以，所以∠SMA＝60°，即二面角S﹣DC﹣A的大小为60°；（3）因为AB∥CD，∠CDA＝60°，所以∠DAB＝120°，所以，在△PBD中，，，所以PD2+PB2＝BD2，即PD⊥PB，所以，设点A到平面PBD的距离为d，则VA﹣PBD＝VP﹣ABD，即，即，即点A到平面PBD