高中数学题型全面归纳（学生版）：第二节平面向量的数量积

第二节平面向量的数量积

考纲解读

理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算.

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题.

命题趋势探究

平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、求夹角、距离等

是每年必考内容，单独命题时，以选择、填空题的形式出现，注意考查向量的运算及性质，

高考中，与向量有关的解答题一般与其他内容相结合(如解析几何、三角函数、平面几何)

进行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，应引起

重视.

预测2019年高考将考查平面向量的数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数结合的

解答题也是热点之一，每年高考分值一般保持在5分左右.

知识点精讲

平面向量的数量积

(1)已知两个非零向量。和作汝=2,Oh=b,如％)叫作向量£与坂的

夹角.记作可，并规定(£出)€[(),可.如果£与石的夹角是就称[与B垂直，记为

aYb.

(2)\a||b|cos叫作a与B的数量积(或内积)，记作ad,即a||b|cos

规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量%与b垂直的充要条件是a-b=0.

两个非零向量a与B平行的充要条件是£不=±|«||

二、平面向量数量积的几何意义

数量积等于£的长度|与B在£方向上的射影|&|cos0的乘积.即7B=|a||

一一一一ci*b一一一ci,b

b|cos0.(b在。方向上的射影|b\cos0=-rzr；。在8方向上的射影Ia|cos，=k).

三.平面向量数量积的重要性质

性质1ea=ae=\a\cos6.

性质2alboa・b=0.

性质3当a与8同向时。♦A二|a||》|；当当。与b反向时a・b=-|a||b|.

a.a==|〃|2或|a|=y[a^.

性质4cos0=(aO^b0).

\a\\b\

性质5\a-b\<\a\\b\.

注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性

质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.

四、平面向量数量积满足的运算律

(1)ab=ba(交换律)；

(2)(勿)0=/“/=4,(/1〃)(几为实数)；

(3)(a+b)c-ac+bc(分配律)。

数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律(a2>cHa(»c),不可约分

a-b^ac^b-c.

五、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a=(X],yJ力=仪2，丫2),则。•)=*山2+丫]丫2由此得到

(1)若a=(x,y),则a?=|a『=f+V或|“|=^x2+y2；

22

(2)设A区,y,)产区生),则AB两点间距离|AB|=7(x2-x,)+(y2-y,)

(3)设a=(X1,yJ/=心其),。是a与)的夹角，则cosq=-/

由非零向量。，瓦Q~L办的充要条件是玉&+X%=。・

2由|cosM=|中2：X%]?1得(%也+必必)2?(芭2城)|&2+1)•

VV+%U+y2

六、向量中的易错点

(1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且I。祝I\a\\b\.

(2)当加0时，由a?。0不能推出力一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零向

量方都有a?。0.

当"。时，且a?。a%时，也不能推出一定有万=c,当b是与。垂直的非零向量，c

是另一与a垂直的非零向量时，有由bdk0,但〃c.

(3)数量积不满足结合律，即匿)c(yic)a,这是因为3Moe是一个与c共线的向

量，而(力是一个与。共线的向量，而。与c不一定共线，所以不一定等于

(b^c)a,即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.

(4)非零向量夹角为锐角(或钝角).当且仅当a?。0且a?0)(或a?b0,

且a?劝(20))

题型归纳及思路提示

题型79平面向量的数量积

思路提示

平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计

算，否则运用定义式.这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直.

一、平面向量的数量积

例5.19(1)在心A4%中，NC=90°,&7=4,则诵.而=()

A.-16B.-8C.8D.16

(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DE-CB=;DE-DC

的最大值为.

(3)在A48仲，M是BC的中点AM=L点P在AM上且满足AP=2PM,贝!j

正.(雨+元)等于()

分析利用向量数量积的几何意义(投影)求解.

变式1如图5-27所示，在平行四边形ABCD中，APVBD,垂足为P,且小=3,则

AP-AC=.

图5-27

变式2在A/比中，AB=1,BC=亚,AC=旧,若G为A4比1的重心，则

AG-AC=.

例5.20如图5-28所示，在矩形ABCD中，AB=M,BC=2,点E为BC的中点，点F

在边CD上，若同•M=亚，贝庞•赤的值是：____________.

图5-28

变式1如图5-30所示在式中，ABAC=120°,AB=2,AC=1,。是边BC上一点,

DC=2BD,贝丽•~BC=.

BC

图5-30

变式2如图5-31所示，在

\ABOV,ADVAB,~BC=囱而,|而|=1,则而•~AD=.

图5-31

变式3（2016天津理7）已知△ABC是边长为1的等边三角形点D,E分别是边AB.

BC的中点，连接。E并延长到点歹，使得。£=2即，则衣•比的值为（）.

A.二1II

B.-D.—

888

例5.21已知向量a,8c满足a+方+c=0,|a|二l,|b|=2,|c|=J5,则

a!bbRc(f!a.

变式1在A彼中，若|四|=3,|a'|=4,|4。|=6,则

~AB-~BC+~BC-CA+CA­~AB=.

变式2向量a,4c满足a+Z>+c=O,且出|=2,则|c|二

变式3设向量满足a+Z>+c=O,且（a-Z0Ac,1A〃，若|。|=1,,贝！）

\af^bf^c\2=.

例5.22设a,4C是单位向量且。为0,则m-c）?9C）的最小值为（）.

A.-2B.亚-2C.-1D.l-V2

变式1已知a,万是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足5-c)?(bc)=0,则

旧的最大值是()

rzV2

A.1B.2C.V2D.—

z2

变式2若平面向量a,方满足12a-b?3,则a><&的最小值是:

例5.23在DABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=10,则而、恁=

-------*--------*9z~1jS"

评注利用中线向量求解ABXAC,可得衍生结论而?恁AM-卫-，利用这一结论可

4

求解向量数量积运算中有关中线向量所涉及的最值计算的问题，其变式题如下.

变式1设DABC,凡是边AB上一点，满足《3=；A氏且对于边A8上任一点P,恒

有丽》玩片石?麻，则()

A.?ABC90°B.90°c,AB=ACc.AC=BC

变式2点P是棱长为1的正方体ABC。-的底面A/CiA上一点，则中存C的

取值范围是().

A.[-1,--]B.[---]C.[-1,0]C.[--,0J

4242

二.平面向量的夹角

得功-”’2

求夹角，用数量积，由4?形\a\T\b\cosqcos<?=-4

\a\Ab\&；+城收+为2

进而求得向量的夹角.

例5.24已知向量。=(1,V3),£>=(-2,0),则勾入的夹角是.

例5.25已知a,是非零向量且满足(a-2b)人a,(b-2a)A”则a/的夹角是().

评注求两向量的夹角主要是应用公式c°s"=就来解决'为此应该求出。功的值或与

IaI¥切的关系，或在a,)坐标已知的情况下直代带入计算.

例5.26已知向量。,仇。满足|。|=1,2|=2,。=。+"”。,则9的夹角为（）

TCTC27r7T

A.c.

6332

变式1已知a/是非零向量，且满足|a|=SI=|a-b\,则。与a+A的夹角是.

变式2若平面向量a,//满足|a|=1,|A|?1,且以向量a,//为邻边的平行四边形的面积为

；,则a,p的夹角q的取值范围是.

例题5.27已知|a|=0,|W=1,6入的夹角为45°,求使向量a+/b与/a+b的夹角为锐

角的/的取值范围.

分析由公式cosq=一也一可知，夹角q若为锐角，则cosq＞0,即a?b0,同时也应

注意从以上结果中排除同向共线这一情形.

评注注意当（。+/〃）?（/“万）＞0时，已包括了向量与/a+b的夹角为0°,即方

向相同的情况，故应排除.本题若改为与/a+5的夹角为钝角，求/的范围”，同样

需用（a+//＞）?（/ab）＜0且排除两向量方向相反的情况.

变式1设两个向量4,e2，满足|ej=2,|e?卜1，4,e2的夹角为g，若向量2%+7e?与

4+小2的夹角为钝角，求实数t的范围.

变式2（2017北京理6）设机，〃为非零向量则“存在负数4使得加=力1”是

的（）.

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式3若向量。与力不共线，a凄0,且C=4-（3丝）），则向量4与C的夹角为（）

717[71

A.0B.—C.-D.—

632

三、平面向量的模长

求模长，用平方，|。|=必.

7C

例5.28已知|。|=传|=5,向量a与b的夹角为一，求|a+",|a-b\.

评注在求解向量的模长时，常用到如下公式来求解.

(1)|a/=/=a?a或|a|=7^"；

(2)|a?6|2弊2a6；

(3)若“=(1,}0贝!]|。|=^x2+y2.

变式1已知向量满足|a|=1,2|=2,a,6的夹角为60°,则|Q-b\=

变式2已知向量满足|a|=1,|切=2,|a-切=2,则|a+切等于（）

A.1B.V2C.V5D.V6

变式3在DABC中，已知|而|=3,|团|=4,?ABC60°求|恁|.

例5.29已知向量〃，力的夹角为120°,|。|=3,|。+切=旧,则|加等于()

A.5B.4C.3D.1

变式1(2017全国1理13)13.已知向量。，b的夹角为600，时=2,。|=1,则

|。+2.=<

变式2已知|“|=2|=2,3+2㈤?(ab)=-2,则a,万的夹角为.

变式3设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，配'=16,|通+恁卜|丽-AC\,

则|通7|=()

A.8B.4C.2D.1

例5.30已知平面向量a,/?(a构0,a0，满足|少卜1，且a与/?-a的夹角120°，贝!||a|

的取值范围是.

变式1若4,6,C均为单位向量，且a?b0,(a-c)?(bc)?0|,贝!l|a+〃-C|的最大值

为O

A.\/2-1B.1C.5/2D.2

变式2已知a,人为单位向量，alb0,若向量C满足贝!||c|的取值范围是（）

A.[V2-1,V2+1]B.[V2-l,V2+2]C.[1,V2+1]D.[1,V2+2]

例5.31在平面上，AB,A砥函卜|明|=1,Q=AB.+福■，若|丽Kg,贝力丽|

的取值范围是。.

变式1在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

|而『+|而

IPCP=

A.2B.4C.5D.10

最有效训练题22（限时45分钟）

1.下列四个命题中真命题的个数为（）

4若由b0,则2若出blf!c,且〃。贝ija=c；

3（。鬃）。=。勤。）；4（a?b）2a21b2.

A.1B.2C.3D.4

2.已知向量a=（l,l）,2a+Z>=（4,2）,则向量凡》的夹角为（）.

7C7Cn7t

A.—B.—C.——D.—

6432

3.已知向量a=（l,2）,》=（2,-3）,若向量c满足（c+a）//》,”（a+A）,则c