新教材高中数学集合与常用逻辑术语单元质量测评新人教A版必修第一册

第1章集合与常用逻辑术语

单元质量测评

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.下列语句是命题的是（）

A.2f+3x—l>0B.比较两数大小

C.橹起袖子加油干！D.cos45°=号

答案D

解析A项不能判断真假，不是命题；B,C两项不是陈述句，不是命题；D项是命题.

2.下面所给三个命题中真命题的个数是（）

①若acybc,则a>b；

②若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

③若二次函数y=af+6x+c中，Z?2-4ac<0,则该二次函数的图象与x轴有公共点.

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析①该命题为真命题，由〃。?必占得1>0,则有a>8.②该命题为真命题，根据圆内

接四边形的定义可进行判定.③该命题为假命题，因为当b2-4ac<0时，一元二次方程af+

6x+c=0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点.综上所述，故选C.

3.命题“VxGR,的否定是（）

A.VxGR,|x\+%<0

B.VxGR,|x|+*W0

C.3xGR,|x\+x<0

D.3xGR,Ix\+V20

答案C

解析“VxeR,|*|+f20"的否定是FxWR,|x|+/<0w.

4.已知xi,用GR,则“小>1且用>1"是“小十及>2且用及>1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由Xi＞l且也＞1得汨+至＞1+1=2,*/2＞1X1=1,所以“为＞1且及＞1"是"为

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+尼＞2且为用＞1"的充分条件；设为=3,用=5，则为+至=5＞2且而及=/＞1,但如＜1,

所以不满足必要性.故选A.

5.下列命题中，真命题有()

①山x?+2x-1=0是关于x的一元二次方程；②抛物线y=ax+2x-1与*轴至少有一个

交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案A

解析对于①来说，当0=0时，加f+2x—1=。是一元一次方程；对于②来说，抛物线y

=ax'+2x—1对应的一元二次方程的判别式4=4+4a,当a＜-l时，方程无实数根，此时抛

物线与x轴无交点；③正确，AQB,BQA=A=B；空集是任何集合的子集，是任何非空集合

的真子集，故④错误.

6.“a2+(Zr-l)2=0”是“a(Z?-l)=0”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析a°+(8—l)2=0=a=0且b—1,而a(6—l)=0=a=0或b—1,故"a'+C—1”

=0”是“a(6—1)=0”的充分不必要条件.

7.已知集合{={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y&A,x-y&A\,则6中所含元素的

个数为()

A.3B.6

C.8D.10

答案D

解析当x=5时，y=\,2,3,4；当x=4时，y=l,2,3；当x=3时，y=l,2；当x=2

时，y=l.共10个.故选D.

8.在下列命题中，真命题的个数是()

①VxGR,/+*+3＞0：

是有理数；

②WxGQ,O

③关于X的方程/+|x|—6=0有四个实数根;

@3x,y£Z,3x—2y=10.

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析①中，x2+x+3=^+0J+y>O,故①是真命题；②中，.•.（^+1是有理

数，故②是真命题；③中，由f+|x|-6=0,得旧=2,；.x=±2,方程有两个实数根，故

③是假命题；④中，当x=4,y=l时，结论成立，故④是真命题.由以上可知，正确选项为

C.

9.给出下列四个命题：

①设集合X={x|x>—1},则{0}G*

②空集是任何集合的真子集；

③集合4=1},B={*|尸=4711}表示同一集合；

④集合P={a,b},集合Q={b,a},则P=Q

其中正确的命题是（）

A.①②B.①③

C.③④D.④

答案D

解析①中⑻与X均表示集合，不能用e来表示集合与集合之间的关系，①不正确；②

中空集是任何非空集合的真子集，②不正确；③中4={y|y20},6=5|才21或才忘一1},故

不是同一集合，③不正确；④中根据集合中元素的无序性知④正确.故选D.

10.下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（）

A.对任意的a,6GR,都有才+夕一24—26+2〈0

B.菱形的两条对角线相等

C.VxCR,y[x2=x

D.正方形是矩形

答案D

解析A中的命题是全称量词命题，但ab—2a—26+2=（a—1）'+（b—1尸20,故是

假命题：B中的命题是全称量词命题，但是假命题；C中的命题是全称量词命题，但0=|0，

故是假命题；D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.

11.设〃为全集,46是集合，则“存在集合。使得4UC,BQCC'是"405=0”的（）

A.充分而不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

答案C

解析

若存在集合。使得AQC,BQGC,则可以推出408=0；若4n8=0,由Venn图可知，

存在A=C,同时满足AQC,比GC故“存在集合。使得AQC,医QC'是'"。占=0”的充

要条件.

12.已知△46。的边长为a,b,c,定义它的等腰判别式为j9=max{a—b,b—c,c-a}

+min{a—6,b-c,c-a},则“〃=0”是“△/比为等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析充分性：若“介=0”,设则。=max{a—4b—c,c—a}+min{a—Z?,b

—c,c—a}=c—a+8—c=0或c—a+a-6=0,a—b^4b—c,

则△4?。一定为等腰三角形，所以充分性成立.

必要性：若△/比■为等腰三角形，设a=6,当cWa时，则与c—a中必然有一个为

最大值，另一个为最小值，则/6—c+c—a=6—a=0；当c=a时，Z>=0+0=0,所以必要

性成立.故选C.

第n卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上）

13.“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相

思》诗，在这四句诗中，可作为命题的是一.

答案红豆生南国

解析“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，

故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此

物最相思”是感叹句，都不是命题.

14.设xGR,则“x>l”是的条件.

答案充要

解析因为xeR,"x>l"q">1”,所以“x>l”是“f〉l”的充要条件.

15.命题p：VxGR,f+x+lWO,则命题㈱p为.

答案3xCR,x+x+l=0

解析命题o是全称量词命题，根据全称量词命题的否定是改量词，否结论，则是mxe

R,/+*+1=0.

16.由命题'勺xGR,*2+2.+m=0”是假命题，求得实数R的取值范围是或a,则实数

a—.

答案1

解析因为命题xGR,x+2jr+zz?=0"是假命题，所以其否定“VxER,x+2^+

必/0”是真命题，等价于方程f+2x+炉=0无实根，所以4=4-4成0,解得粉1,又因为卬

的取值范围是(a,+8),所以实数a=L

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断真假.

(1)pi：3xeR,/一x+lW0；

(2)A：所有的菱形都是平行四边形；

(3)外：有的梯形是等腰梯形；

(4)"：任意xGZ,1的个位数字不等于3；

(5)例：有一个素数含三个正因数.

解(1)㈱R：VxCR,x—x+l>0；真命题.

(2)㈱.：存在一个菱形，它不是平行四边形；假命题.

(3)㈱口：所有的梯形都不是等腰梯形；假命题.

(4)^仍：存在xWZ,使f的个位数字等于3：假命题.

(5)㈱小：所有的素数都不含三个正因数；真命题.

18.(本小题满分12分)已知集合力={x|-2<xW5},8={x|w+lWxW2m-l},且回

0.

(1)若“命题p：VxRB,入丘4”是真命题，求加的取值范围；

(2)若“命题q：BxWB”是真命题，求m的取值范围.

解(1)'；/={*|-2&启5},8={x|m+1WXW2R-1},且历"，”命题p：Vx^B,x

e/'是真命题，

7+1W2zw—1,

：.BQA,芹0,.；勿+12一2,

.2，L1W5,

解得2—

(2)<7为真,则4n屏。.

♦:吃0,；.G2,

—21W5,

/.；.2W辰4.

19.(本小题满分12分)已知集合4={才|-1〈水3},片3后力-1或在7+1).

(1)当卬=0时，求4C6；

（2）若0：—KK3,q：1或且g是夕的必要不充分条件，求实数力的取

值范围.

解（1）当勿=0时、8={x|xW—1或*21},

又A={x\—l<x<3},所以AC\B={x[1Wx<3}.

（2）因为夕：—1<X3,Q：x这立一1或x2%+l.

g是2的必要不充分条件，所以加一123或—所以加W—2或加24.

20.（本小题满分12分）求关于x的方程HV+2X+I=O的实数根中有且只有一个负实数

根的充要条件.

解若方程a*+2x+l=0有且仅有一个负实数根，贝I：当a=0时，x=-j,符合题意.

当a#0时，方程d/+2x+1=0有实数根，则d=4—4a20,解得aWl,

当a=l时，方程有且仅有一个负实数根十=-1,

当a<l且a#0时，若方程有且仅有一个负实数根，则匕0,即水0.又以上过程均可逆，

a

所以方程a/+2x+1=0有且仅有一个负实数根”的充要条件为“aWO或a=l”.

21.（本小题满分12分）设a,b,c为△/回的三边，求证：方程f+2ax+^=0与

2cx一彦=0有公共根的充要条件是/4=90°.

证明必要性：方程/+2@*+炉=0与W+2cx—^=0有公共根f,

+2af+Z/=0,炉

贝！I2=f=——=——.

[U+2cf-Z/=oa-cc-a

.♦.产}