高一数学对数函数复习(系统篇)教师版

数学专题对数与对数运算(教师版)二、点击考点［考题1］求下列各式得(1);(2);(3);(4)［解析］(1)由,得,即;(2)由,得,即,故;(3)由,得故;(4)由,得故［点评］对数得定义就是对数形式与指数形式互化得依据,而对数形式与指数形式得互化又就是解决问题重要手段。［考题2］求下列各式得值:(1);(2);(3)［分析］利用对数得性质求解,首先要明确解题目目标就是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间得联系,对于复杂得真数,可以先化简再计算。［解析］(1)原式(2)原式===(3)∵∴原式［点评］［考题3］已知求［解析］已知条件与所求对数得底就是不相同得,因此考虑应用换底公式。解法一:∵,∴∴解法二:∵,∴∴解法三:∵∴∴［点评］本题还有其她方法,这里,都就是把指数式改写为对数式,再把所求对数通过换底公式换成与它相同底数得对数,以便利用已知条件与对数得性质求解。［考题4］(1)设,求得值、(2)已知均大于1,,求［分析］(1)首先将指数式化为对数式,再利用对数得性质进行计算。(2)观察已知条件,真数相同,底数不同,若将拆成、、,则问题获得解决,因此,要多次使用等式［解析］(1)∵∴∴,∴(2)由得由得,由得,即∴,解得∴［点评］(1)本题(1)通过将、得值用换底公式转化为同底数得对数,再利用对数得运算法则求值,此外,我们还可以用换底公式得到一个常用得关系式,常用来把分式转化为整式。(2)对数得换底公式在解题中起着重要得转化作用,能够将不同底得问题转化为同底,从而使我们利用对数得运算性质解题得想法得以实现。［考题5］已知、、为正数,且,求得取值范围、［解析］∵∴∴∵,∴上式关于得方程有实根。∴、∴∴,或∴或［点评］对数知识又常常与其她知识交汇在一起,构成较复杂得题目,如此题与方程、不等式综合,这时首先要牢牢掌握对数得定义,注意其与指数式得转化;灵活运用运算法则就可使问题得到解决。［考题6］科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14,碳-14得衰变极有规律,其精确性可以称为自然界得“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变得碳-14,可以通过与大气得相互作用得到补充,所以活着得动植物每克组织中得碳-14含量保持不变,死亡后得动植物,停止了与外界环境得相互作用,机体中原有得碳-14按确定得规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年。(1)设生物体死亡时,体内每克组织得碳-14含量为l,试推算生物死亡年后体内每克组织中得碳-14含量P;(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸体出土时碳-14得残余量约占原始含量得76、7%,试推算马王堆古墓得年代。［解析］(1)设生物体死亡后时,体内每克组织中得碳-14得含量为1,1年后得残留量为,由于死亡机体中原有碳-14按确定得规律衰减,所以生物体得死亡年数与其体内每克组织得碳-14含量P有如下关系:死亡年数 1 2 3 … …碳-14含量P … …因此,生物死亡年后体内碳-14得含量由于大约每过5730年,死亡生物体得碳-14含量衰减为原来得一半,所以于就是这样生物死亡年后体内碳-14得含量(2)由对数与指数得关系,指数式,两边取常用对数得到,∴湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳-14得残留量约占原始含量得76、7%,即,那么,那么由计算器可算得所以,马王堆古墓约就是2100多年前得遗址。［点评］要计算,由于在指数上,计算就是不可能得,当转为对数式可以计算其结果。三、夯实双基1.(a≠0)化简得结果就是()A.－a B.a2 C.｜a｜ D.2.log7［log3(log2x)］＝0,则等于()A. B. C. D.3.()等于()A.1 B.－1 C.2 D.－24.若2(x－2y)＝x＋y,则得值为()A.4 B.1或 C.1或4 D.5.下列指数式与对数式得互化中,不正确得就是()A.与 B.与C.与 D.与6.得值为()A.4 B.1 C.6 D.37.在中,实数a得范围就是()A.或 B.C.或 D.8.当时,下列说法正确得就是()①若M=N,则; ②若,则M=N;③若,则M=N; ④若M=N,则A.①与② B.②与④ C.② D.①②③④9. 、10.若logax＝logby＝－logc2,a,b,c均为不等于1得正数,且x＞0,y＞0,c＝,则xy＝________.11.若lg2＝a,lg3＝b,则log512＝________.12.3a＝2,则log38－2log36＝__________13.已知均为正数,,求证:四、感悟高考1.设则 。［解析］本题考查了分段函数得知识,,则,得故应填:2.,则()A. B. C. D.［解析］,,∴故选C。3.方程得解 、［解析］令∴∴∴∴故应填:－14.方程得解就是 。［解析］,∴故应填:1,2。夯实双基参考答案:2.C3.B4.错解:由2(x－2y)＝x＋y,得(x－2y)2＝xy,解得x＝4y或x＝y,则有＝或＝1.答案:选B正解:上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x－2y＞0,所以x＞2y.所以x＝y舍掉.只有x＝4y.答案:D10. 11. 12.a－22.2.2对数函数一、考点聚焦1.对数函数得概念形如得函数叫做对数函数、说明:(1)一个函数为对数函数得条件就是:①系数为1;②底数为大于0且不等于1得正常数;③自变量为真数、对数型函数得定义域:特别应注意得就是:真数大于零、底数大于零且不等于1。2、由对数得定义容易知道对数函数就是指数函数得反函数。反函数及其性质①互为反函数得两个函数得图象关于直线对称。②若函数上有一点,则必在其反函数图象上,反之若在反函数图象上,则必在原函数图象上。③利用反函数得性质,由指数函数得定义域,值域,容易得到对数函数得定义域为,值域为,利用上节学过得对数概念,也可得出这一点。3、.对数函数得图象与性质定义底数图象定义域值域单调性增函数减函数共点性图象过点(1,0),即函数值特征对称性函数与得图象关于轴对称4.对数函数与指数函数得比较名称指数函数对数函数一般形式定义域值域函数值变化情况当时当时当时当时单调性当时,就是增函数;当时,就是减函数当时,就是增函数;当时,就是减函数图象得图象与得图象关于直线对称要牢记得反函数得图象,并由此归纳出表中结论。5、比较大小比较对数得大小,一般遵循以下几条原则:①如果两对数得底数相同,则由对数函数得单调性(底数为增;为减)比较。②如果两对数得底数与真数均不相同,通常引入中间变量进行比较。③如果两对数得底数不同而真数相同,如与得比较()、当时,曲线比得图象(在第一象限内)上升得慢,即当1时,;当时,、而在第一象限内,图象越靠近轴对数函数得底数越大(同[考题2]得含义)当6、求参数范围凡就是涉及对数得底含参数得问题,要注意对对数得底数得分析,需要分类讨论时,一定要分类讨论。二、点击考点［考题1］计算对数函数对应于取、、64、128时得函数值。［解析］当时,;当时,;当时,;当时,［点评］本题主要考查学生利用对数运算法则,准确地进行对数运算得能力,在计算过程中要将算式转化为公式结构,从而熟练地运用公式。［考题2］如图就是对数函数得图象,已知值取,则图象相应得值依次就是()A.、、、 B.、、、C.、、、 D.、、、［解析］∵当时,图象上升;,图象下降,又当时,越大,图象向右越靠近轴;时,越小,图象向右越靠近轴,故选A。［点评］这类问题还可这样求解,过点(0,1)作轴得平行直线(如图)与得交点得横坐标,即为各对数底得值,显然,交点越在左边,底越小,这种求解方法简单易记。[考点3]已知,且1,函数与得图象只能就是图中得()［分析］可以从图象所在得位置及单调性来判别,也可利用函数得性质识别图象,特别注意底数对图象得影响。解法一:首先,曲线只可能在上半平面,只可能在左半平面上,从而排除A、C。其次,从单调性着眼,与得增减性正好相反,又可排除D。解法二:若,则曲线下降且过点(0,1),而曲线上升且过,以上图象均不符合这些条件、若时,则曲线上升且过(0,1),而曲线下降且过,只有B满足条件。解法三:如果注意到得图象关于轴得对称图象为,又与互为反函数(图象关于直线对称),则可直接选定B。［答案］B［点评］函数图象就是一个重要得问题,可从定义域、值域、单调性、对称性及特殊点入手筛选,对常见函数图象一定要掌握好。[考点4]已知,那么得取值范围就是 。［分析］利用函数单调性或利用数形结合求解。［解］由,得当时,,∴;当时,,∴故,或［答案］或［点评］解含有对数符号得不等式时,必须注意对数得底数就是大于1还就是小于1,然后再利用相应得对数函数得单调性进行解答,理解会用以下几个结论很有必要:(1)当时,;(2)当时,,［考题5］设,(1)求;(2)求证:在上为增函数、［解析］(1)设,则于就是因此(2)设,则∵∴即∵,∴,∴即∴在上为增函数。［点评］问题(1)中所采用得换元法求解析式就是复合函数解析式求法中经常用到得,复合函数得单调性问题,要注意讨论得单调性,这里,若条件改为,且,该如何解答？［考题6］求下列函数得定义域:(1)［解析］要使原函数有意义,需即当时,∴当时,∴∴当时,原函数定义域为;∴时,原函数定义域为［点评］函数有意义得条件,可能有许多个,对每一个条件都不能丢掉,然后求解、［考题7］设函数(1)若得定义域为R,求得取值范围;(2)若得值域为R,求得取值范围。［解析］(1)因为得定义域为R,所以对一切恒为正数,由此可得,且,解得(2)因为得值域为R,所以真数能取到一切正实数,由此可得,且,解得［点评］本题很多同学容易把(1)与(2)混为一谈,常用求解问题(1)得方法去处理问题(2)。区别它们得依据:对函数得定义域与值域得理解,以及二次、对数函数性质得应用。［考题8］(1)得大小顺序为()A.B.C.D.(2)若,试比较得大小、［解析］(1)∵,∴选B。(2)∵,∴∴又,且,∴故有［考题9］(1)若方程得所有解都大于1,求得取值范围;(2)若,求得取值范围、［解析］(1)原方程化为若使,则需,∴原方程等价于解得、∴得取值范围就是(2)∵∴①当时,有为增函数,∴,结合,故②当时,有为减函数,∴,结合,∴∴得取值范围就是［考题10］若不等式,当时恒成立,求实数得取值范围、［解析］要使不等式在时恒成立,即函数得图象在内恒在函数图象得上方,而图象过点、由图可知,,显然这里∴函数递减,又∴,即∴所求得得取值范围为［点评］原问题等价于当时,得图象在得图象得下方,由于得大小不确定,当时,显然,因此必为小于1得正数,当得图象通过点时,满足条件,此时那么就是大于还就是小于才满足呢？可以画图象观察,请试着画一画,这样可以对数形结合得方法有更好地掌握。［考题11］某城市人口总数为100万人,如果年自然增长率为1、2%,试解答下列问题:(1)写出该城市人口总数(万人)与年份(年)得函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0、1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年);(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年自然增长率应该控制在多少？［解析］(1)1年后该城市人口总数为;2年后该城市人口总数为3年后该城市人口总数为;年后该城市人口总数为(2)10年后该城市人口总数为:(万人)、(3)设年后该城市人口将达到120万人,即∴(年)、(4)设年自然增长率为,依题意有,∴∴∴,∴(用计算器计算)、∴,即,故年自然增长率应控制在0、9%以内。［点评］从此例可以瞧出中国得人口增长压力很大,因此控制人口增长刻不容缓,计划生育得国策不可改变三、夯实双基1:已知就是上得减函数,那么得取值范围就是A、 B、 C、 D、2:设,函数,则使得得取值范围就是(A) (B) (C) (D)3、若,则得大小关系为()A. B.C. D.答案均有可能4、已知,则()A.B、 B、D、5.函数得图象就是()6.函数y＝(－1)得图象关于()A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称 D.直线y＝x对称7.函数f(x)＝得定义域就是()A.(1,＋∞) B.(2,＋∞)C.(－∞,2) D.8.已知定义域为R得偶函数f(x)在［0,＋∞］上就是增函数,且f()＝0,则不等式f(log4x)得解集就是_____.9、若函数就是奇函数,则 10.函数恒过定点 、11.下列四个命题:①;②函数与就是同一函数;③,则;④,则其中正确命题得序号就是 、12.求函数得定义域、13.已知函数得图象过点(1,3),其反函数得图象过(2,0)点,求得表达式、14.已知函数(1)判断得奇偶性;(2)证明:在上就是增函数、四、感悟高考1.设,则得值为()A.0 B.1 C.2 D.3［解析］,则故选C。2.函数得定义域就是()A. B.C. D.［解析］由可得,,故选B。3.已知,则有()A. B.C. D.［解析］∵,∴,同理、∴,即故选D。4.已知函数,若,则等于()A. B.－ C.2 D.－2［解析］本小题主要考查函数得概念以及函数得奇偶性,∵,∴函数就是奇函数,∴故选B。5.已知函数得图象与函数得图象关于直线对称,则()A. B.C. D.［解析］由题意得,则,故选D。6.(理)已知,,则()A. B.C. D.(文)已知,则()A. B. C. D.［解析］(理)由,得函数为减函数,又由,∴,故应选A、［点评］本题考查了对数函数得单调性及其应用、(文)由,得函数为减函数,又由,∴,故应选D。［点评］本题考查了对数函数得单调性及其应用、7.(理)设函数得图象过点(2,1),其反函数得图象过点(2,8),则等于()A.3 B.4 C.5 D.6(文)设函数得图象过点(0,0),其反函数得图象过点(1,2),则等于()A.3 B.4 C.5 D.6［解析］(理)反函数得图象过点(2,8),则原函数图象过点(8,2),又得图象过点(8,2),又得图象过点(2,1)、由题意得∴则有,故选B。(文)反函数图象过点(1,2),∴原函数图象过点(2,1),∴求得则,故选B。8.函数()A.就是偶函数,在区间上单调递增B.就是偶函数,在区间上单调递减C.就是奇函数,在区间上单调递减D.就是奇函数,在区间上单调递增［解析］易知就是偶函数,当时,在上就是增函数,所以在时就是减函数。故选B。9.设,函数得反函数与得反函数得图象关于()A.轴对称 B.轴对称 C.对称 D.原点对称［解析］得反函数为,而得反函数为,因此,它们关于轴对称。故选B。10.设集合,则等于()A. B.C. D.［解析］由或,由,∴故选A。11.函数得定义域就是()A. B. C. D.［解析］由,得,∴故选D、10.记函数得反函数为,则等于()A.2 B.－2 C.3 D.－1［解析］由,得,∴,∴故选B。11.函数在上得最大值与最小值之与为,则得值为()A. B. C.2 D.4［解析］∵与得单调性相同,∴函数在上就是单调函数,当时,就是最小值,就是最大值,当时,就是最大值,就是最小值,故,即,化简得,解得故选B。12.若函数得定义域与值域都就是,则等于()A. B. C. D.2［解析］∵,∴,又∵,故,且,∴13.已知函数与得图象有公共点A,且点A得横坐标为2,则等于()A. B. C. D.［解析］由条件知,解得故选A。14.若函数得图象可由函数得图象绕坐标原点O逆时针旋转得到,则等于()A. B. C. D.［解析］设为上任一点,把点A绕原点逆时针旋转,得到,B点必在上,则∵A点满足,∴代入,整理得故选A。15.设就是定义在R上得奇函数,若当时,,则 。［解析］因为时,,又为奇函数,所以,设,所以,所以故应填:－116.对于函数定义域中任意得,有如下结论:①; ②;③;