多元函数微分学课件

第五章多元函数微分学

§1多元函数及其极限与连续

【考试要求】

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连

续函数的性质.

一、基本概念

1.二元函数的定义

设。是xOy平面上的一个非空点集，如果对于。中的任意一

点P(x,y)w。，按照一定的法则九变量z总有惟一的值与之对应,

则称变量z是变量元和y的二元函数(或点尸的函数)，记为

z=/(x,y)，其中x，＞称为自变量，z称为因变量，。称为该函数

的定义域,数集｛zIz=JUy),(x,y)e。｝称为该函数的值域.

类似地，可以定义〃元函数

y=/(J%，…，％)，(%，％2,…，%)£”当〃22时,〃元函数统称为

多元函数.

2.二元函数的极限

设函数2=/(1广)在点此(均为)的附近有定义(点4可以除

外).若对于任意给定的数£>。，总存在正数鼠使得当

0<J(x-Jr。)?+(y-Vo)?<b时，有I/(x,y)—A1<£,则称数A为函

数z=/(x,y)当点P(x,y)趋向于点此(为,%)时的极限，记为

lim/(x,y)=A或lim/(x,y)=A.

(x,、)->(%(),%)xf%0"

0

2

注1称U(E»)={(x,y)|0<(x-x0)+(y—y0)2<*}为点

4(%,%)的去心S邻域.在几何上。(々》)表示以为中

心，半径为S的去心开圆.

注2二元函数的极限要求当点P(x,y)以任何方式趋于点

1(飞»0)时,均有limf(x,y)=A.

(x,y)-»(x0,y0)

注3若P(x,y)沿着某条路经趋于4(%,先)

时，lim/(x,y)不存在，或尸(x,y)沿着两条不同的路径趋于

(%,y)->(Xo，M))

玲(元0»0)时，hm/(x,y)都存在但不相等，则limf(x,y)

(%,y)f(xo，%)(%,》)一(％0，%)

不存在,这是证明二元函数极限不存在的常用方法.

3.二元函数的连续

设函数2=/(羽丁)在点4(%,%)的某邻域内有定义，若

limAz=lim[f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)]=0,贝lj称函数

Axf0Ax—00000

Ay-0Ay->0

2=/(九丁)在点4(%»0)处连续.

注1等价定义：若函数z=/(x,y)满足①在4(%,%)的某

邻域内有定义；②limf(x,y)存在；③

(%,y)->(%0，%)

lim/(%,y)=/(/,%),则称z=/(x,y)在点^(%,打)处连续.

(内)一(％0，%)

注2连续函数：若函数z=/(x,y)在平面区域。上每一点都

连续，则称z=/(x,y)在。上连续.

注3多元初等函数在其定义区域内连续.

4.二元函数的几何意义：z=/(x,y)((x,y)w。)在几何上

表示空间直角坐标系下的一张曲面，该曲面在'Oy坐标面上的投

影区域就是其定义域。.二元连续函数表示一张无洞、无缝、无眼

的曲面.

二、重要结论

1.定理1(有界性)：若函数在有界闭区域。上连续，则

/(x,y)在。上有界.

2.定理2(最值性)：若函数/(x,y)在有界闭区域。上连续,

则/(兀田在。上必取得最大值和最小值.

3.定理3(介值性)：若函数/(x,y)在有界闭区域。上连续,

则/(x,y)在。上必能取得介于最小值与最大值之间的任何值.

三、典型例题

题型1确定函数的表达式,求函数的定义域

例1设/(%+%))=%、-只求/(%»).

X_________

例2求的定义域，并画出定义域的图

ln(l-x2-y2)

形.

题型2求二元函数的极限

例1求下列各函数的极限：

(1)lim---------9

x―>0।2

0+y

⑵lim-

/23"TC\

)—2“+yCOS——

(3)lim

x—>0

y-0

x+y

(4)lim-'2

X—>00x-xy+y

yfoo

解令1=pcosO,y=夕sin6,则当xfoo,yfoo时q—+oo,

I—(JI\

V2sin0+-

原式二lim———-----Z.因为当qf+oo时L-0,而

p1——sin26^P

I2)

V2sin/9+—

I4J

=2"

(1)邛

1—±sin22

I2J2

所以原式=。.

l-cos(x2+J2)

⑸limr\r\2.2，

x—>0(一十9)「

yf0

2।2

%+y

22

(6)lim(x+y)sin2~~~

x—>0%y

yf0

1.71X

l一ysm——

例2设/(x,y)=—^-----------------—,x>O,y>0,求

l+xyarctanx

(1)g(x)=limf(x,y)；(2)limg(x).

y->+ooXf()+

例3设⑴/(x,y)=xsin,+ysin,；(2)/(x,y)=—^―,讨

yxx+y

论极限

lim[lim/(x,y)],lim[lim/(x,y)]Slimf(x.y).

y->0x->0x-»0y-0%->0

y->0

注二重极限与二次极限之间没有必然的联系.

题型3证明极限lim/（x,y）不存在

%—＞与

三打

1♦一

例1证明极限常12,2+（尤_））2不存在

例2讨论极限1血工匚是否存在.

，工+》

题型4讨论函数的连续性

例讨论下列各函数的连续性：

22

%-y

,(%,y)w(0,0),

（1）/（内）=〈x2+y2

[0,(内)=(0,0);

孙(/一『)

⑵/(x,y)=，x2+y2,(%,y)w(0,0),

〔O,(x,y)=(O,O).

注当z=/（x,y）在点（X。，%）关于％或了都连续时，

z=/（x,y）在点（/，%）不一定连续.如

’2盯2,2.

—----,x+yW。，小八、

22

/（X,y）=x+y在（。，。）关于1或了都连续，但在

0,X2+>2=0

(0,0)不连续.

四、练习题

1.设f(x,y)=3x+2y,求/(xy,/(x,y)).

349

x-y—xy+xy

lim

2.证明极限"8x+y不存在.

1

(x+y)*Tsin=^，x+yw。，

/(x,y)=<+y

3.若函数在点(o,o)

0,x+y=0

处连续，求。的范围.

参考答案1.3xy+6x+4y3.

§2偏导数与全微分

【考试要求】

1.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分.

2,了解全微分存在的必要和充分条件，了解全微分形式的不

变性（数二、三不要求）.

3.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法（数二、三

不要求）.

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

一、基本概念

L偏导数的定义

设函数2=/（羽》）在点［（%,为）的某邻域内有定义若极限

口（或…。X—/）存在，贝I」

称此极限值为函数z=/（%y）在点6（玉），）。）处对x的偏导数,

”亚

x=x或力（%0，%）.

记作dx『,Qx0

y=y。y=y0

类似地可以定义函数z=f（x,y）在点PQo,Jo）处对J的偏

dz

x=x或A（%，为）.

导数加o,dyx=xo

y=y（）y=y（）

一般地函数z=/（演y）在区域D内任一点P（X,y）处的

生对5zdf

偏导数记为瓦，瓦，fx（^y）,可，加，刀（羽丁）等.

注1求二元函数对某一自变量的偏导数时,只须将函数看

导法即可.

注2其它多元函数偏导数的定义及求法完全类似.

2.二阶偏导数

若函数z=/（x,y）的偏导数瓦与加关于X和y的偏导数

仍然存在,则称其为z=/（九y）的二阶偏导数,记作

z

水=%（2）=%肃8^z=《（内）=黑，

其中以；（x,y）与/；；（x，y）称为二阶混合偏导数.

3.全微分

设函数z=/(x,y)在点尸(羽y)的某邻域内有定义，若

Z=/(九))在该点的全增量Az=f(x+Ax,y+Ay)-于(x,y)

可表示为Az=A,Ax+B・Ay+o(P)，其中A,8与Ax,Ay无

关，夕=7(W+(Ay)2，则称函数Z=/(%y)在点(x,y)处可微分,

并称A・Ax+5・Ay为函数z=/(x,y)在点尸(x,y)处的全微分记

作dz=A・Ax+B・Ay或dz=Adx+8dy

可以证明

dz=L。,y)dx+fy(x,y)dy

注1函数Z=/(%,y)在点P(x,y)可微

=Az—dz=O(Q)=lim-------=0

夕-op

注2判断分段函数z=/(x,y)在分段点《(飞》0)处的可

微性时,一般应利用可微性的定义.

4.全微分形式的不变性

设z=/(%v)为可微函数则不论〃与V是自变量还是中间

&&八

十日有七dz=一au+一dv

及富均有Qudv

5.方向导数(数学二、三不要求)

设函数z=/(x,y)在包含尸(x,y)与P'(x+Ax,y+Ay)的邻

域内有定义，/={&,△"},则称

%=］而也仝山上3/了均z=f（xy）六占

讥P-0p为函数4JW力在点

尸（九丁）处沿着7方向的方向导数,其中夕=j3）2+（Ay）2

同理可定义三元函数的方向导数.

6.梯度（数学二、三不要求）

设函数z=/（X,＞）在点P（x,y）的某邻域内有连续的一阶偏

更,更U

导数，则称向量grad“%刈―瓦'+所，为函数2=/（九y）

在点尸（九田处的梯度.

、、f（%，/z）——iJk

汪gorr9aralaxH/H&・

二、重要结论

1.全微分存在的必要与充分条件（数学二、三不要求）

（D可微的必要条件:若函数z=/（九y）在点P（x.y）处可

微，则函数在该点处的偏导数必然存在,且4一瓦，~力,因此

次&

dz=——dxH-----dy

dxdy

（2）可微的充分条件：若函数z=/（九y）在点P（x.y）处

的偏导数存在且连续，则该函数在点尸(x・y)处可微.

2.求偏导与次序与无关的条件

若函数z=/(羽，)的两个二阶混合偏导数小为与dydx连

续，则dxdydydx.

3.隐函数存在定理

设厂(x,y,z)在点4(%,%,z0)的某邻域内具有连续的偏导数

且-易,%,4)=0,工(入加4)±0,贝IJ方程尸(%,%z)=°在点

4(%，%，Z。)的某邻域内恒能惟一确定一个单值连续且有连续偏导

数的函数z=/(x,y)，它满足Z。=/(%,%),且

dz_Fxdz_Fy

dxFz,dyF.

注公式右端的1,y,z是函数尸(x,y,z)的三个互相独立

的自变量.

4.多元复合函数求导法则

(D全导数(函数有多个中间变量，一个自变量)：设

》=/(x,y,z)可微，x=xQ);y=yQ),z=zQ)可导，则

dududxdudydudz

dtdxdtdydtdzdt■函数关系图为：

(2)函数中有多个中间变量，多个自变量：设

z=”=〃(x,y),v=v(x9y)w=以羽丁)的各偏导

数都存在,则

-d-z-_--S-z-•du-|-dz•Sv-|--S-z--•S-w--,

dxdudxdvdxdx

dz_dzdudzdvdz

dydudydvdydwdy

函数关系图为:

(3)函数的中间变量与自变量混杂在一起：设

z=/(羽乂/V),4=N(/y),V=v(x,y)的各偏导数都存在,

dz_dfdf8udfdv

--------|-•-(----------------•

则dxdx8udxdvdx，

dz_8fdf8udfdv

dydydudydvdy■

函数关系图为：

注1求导时先画出函数关系图，弄清楚各变量之间的关系.

注2根据函数关系图写出求导公式:函数有几个自变量，就

有几个求导公式；函数到达自变量有几条路径，偏导数公式中就有

几项的和；对应于每条路径,函数有几重复合，偏导数公式的相应

项中就有几个因子的乘积.

注3求抽象函数的偏导数时，一般要先设出中间变量，再利

用复合函数求导法.

5.隐函数求导法

（D由方程/a，y）二°所确定的函数y=的导数

（…）

y

dxFy.

（2）由方程/（%y，z）二°所确定的函数z=/（九y）的偏

生=_4生=上(工wO)

导数小F,F

J尸(x,y,",v)=0,

(3)由方程组［G(x,y,u,v)=O确定了函数

dudugvdv

"="(x,y),v=v(x,y),求嬴，瓦，瓦，区时，先将两个方程两

边分别对不,》求偏导数,再利用消元法或代入公式(见同济大学

《高等数学》下册Pg-41)求出偏导数即可.

6.方向导数的计算公式(数学二、三不要求)

设函数〃=/(x，y，z)在尸(x,y,z)处可微，则该函数在

P(x,y,z)处沿任何方向/={cos。,cos/?,cos7｝的方向导

dudfdfndf

M,,o-COSCCH-------COSBH--------COSV

数为0/Oxdy&-

7.方向导数与梯度的关系(数学二、三不要求)

0比一

因为方="=®ad力•cos。所以有下列结论：

(1)方向导数是梯度向量在方向『上的投影；

(2)梯度方向是方向导数取得最大值的方向(6=。)，且方向

导数的最大值为梯度的模.

8.一元函数与多元函数在几个重要概念之间关系上的比较

一元函数

多元函数

偏导数连续

注对不一定成立的关系要能举例说明•

9.利用偏导数求二元函数

若*=g(x,y),则/(x,y)=jg(x,y)dx+9(y).

些更=/i(x,y)则f(x,y)=j^(x,y)dy+o(x).

Qy，八J

三、典型例题

题型1关于连续、偏导数、可微之间关系的讨论

2

Xy22n

fk，x+y，o,

/(%»)=<

例1设0,/+y2=a问在（。,。）处函数的

偏导数是否存在，函数是否连续,是否可微?

注若函数在点々a。，为）处不连续,则函数在该点必不可微.

盯22

/」，，好+与±0n,

f(^y)犷+y

讨论函数在(0,0)

例20,x2+y2=0

处的连续性和可微性.

例3确定a的值，使得函数

i

(%2+y2ysin———^(x,y)w(0,0),

=<x+y

在Qo）

0,(x,y)=(0,0)处可

微,并讨论当a=1时函数/（x,y）的两个偏导数在（°,。）处的连

续性.

小—―/（°，°）「2（7-1•1

土曰〒,由九（。,。）=lim--------------=hmXsin—

2

拄手.田10XD%

存在，必有2。-1=0,即"g,此时人（0,0）=0,同理

4（o,o）=o

要使/。，丁）在（°，°）可微,须

1

Af—[<(。,。)1+4(。,0)月」."十"

。“。paJx2+y2

1

ccCC--.I八

=lim(x2+y)2!sm,=0,

夕—0x29+y2

[11

则应有“T>5'即0>5,

V+y)sin22,(x,y)w(。,。),

x+y

1/(x,y)=<

当。=l时，°,(x,y)=(0,0)

若(羽y)w(0,0),则

12x1

A%,y)=2%sinK-Kc°K'

、C.1

人（x,y）=2ysm--r2―y^cos1.

x+y2x+yx+y

lim/（x,y）上（、

由于极限；之r不存在，所以工（九丁）在（°，°）不连续.

同理fy（x,y）在（0,0）在也不连续

例4二元函数/（九丁）在点（%%）处两个偏导数

力,(%,%)，/；(玉),%)存在是/(%,y)在该点连续的().

(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件

(O充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件

(x+ay)dx+ydy

例5已知(x+y)2为某二元函数的全微分，则〃

等于().

(A)-1(B)0(C)1(D)2

dP_8Q

解由加=菽得〃=2,故(D)入选.

M、三F，（x，y）w（°，0），

例6二元函数』,（x,y）=（O,O）在点（°，°）处

（）.

（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在

（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在

题型2求显函数的偏导数和全微分

例1设=Vxln（x+y）求

dfd2fa2/

/(x+y—y),瓦，左及外2

d,y),

例2设f(x,y)=(x2-l)lncos2(y2-x)+ex'+ysin(xy2)

求/)(L2).

c5yZ

7ri|°”SMdu

例3及"=x，求江，不，在及M

例4设z=x，+>2)*,求胃口

j=0

例5设2=6_一/(%_2,)且当y=0时％=%2求3

CzA<

与dz.

例6设…叱％=1n/”2/,求呼

xy_xd2fcd2fyd2f

例7设Ce-2'd.求7•右-2词+1守

例8设[=/（%»）满足

d2zc女^

前=2x"%,1）=0③=smx求人（%,y）及%⑵1）

题型3求含有抽象函数符号的复合函数的偏导数

例1设Z=/（羽丁）可微且/一，讥孑t,力（%,以《二%,

求fy（%，y）y=x2，其中xw°

例2设v=/（x，2,"=DZ,其中,具有二阶连续的偏导

dvdvdvd2va2v

数,求Qx,dy，&（1,1,4）»dx21dxdy-

例3设z=/（孙彳）+g《），其中/具有二阶连续的偏导

d2z

数，g具有二阶连续的导数，求而;.

例4设移）+沏（龙+》），且九。有连续的二阶导数，求

dxdy-

解注意了与。关于中间变量都是一元函数.

&1,-,y”，

~=—29f+-*/-y+y-(p-1=---f+—•f+y(p,

exXXXX

t，x+,，+f，，x+(r+f，+(，+

c:二—2f'~f~fpW1=yfpW・

exeyxxx

产+，

例5设K(X/)=L，(Z)dz,其中/(z)在(―8,+8)内

d2ud2u

连续且可导，证明右一获

例6设w=/Q）/=。（孙f+y2）,其中/，。具有连续的二阶

导数及偏导数，求

・莒

(

答.

o

X

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