幂函数（原卷版）

3．3幂函数【考点梳理】考点一：幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．考点二：五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减考点三：一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：幂函数的定义1．（2023·全国·高一）在函数，，，中，幂函数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023·全国·高一专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型二：幂函数的定义域和值域参数问题4．（2023秋·全国·高一专题练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（

）A． B．3 C．或3 D．2或5．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．为奇函数 D．为减函数6．（2022秋·江苏·高一淮阴中学校考期中）已知幂函数，，若有下列四个判断：①定义域是；②值域是；③该函数是偶函数；④在单调递增，其中恰有三个正确，不正确的是（

）A．① B．② C．③ D．④题型三：幂函数的定点和图像问题7．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．当时，函数的图像是一条直线；B．幂函数的图像都经过和点；C．幂函数的定义域为；D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．8．（2023·全国·高一专题练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，9．（2023·全国·高一课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，题型四：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）10．（2023秋·全国·高一专题练习）若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在上单调递减，则（

）A． B．或 C． D．或11．（2023·全国·高一专题练习）幂函数在上单调递增，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2022秋·重庆·高一校联考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型五：幂函数的综合性问题13．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知幂函数(1)求的解析式；(2)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间；(3)若图像经过坐标原点，解不等式.14．（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知幂函数在上单调递减.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.15．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）已知幂函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式.【双基达标】一、单选题16．（2023·全国·高一专题练习）幂函数（是常数）的图象一定经过点（

）A． B． C． D．17．（2023春·甘肃白银·高一统考开学考试）若幂函数在上单调递增，则（

）A．3或3 B．3 C．4 D．4或418．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．619．（2023·全国·高一专题练习）记，则（

）A． B．C． D．20．（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）已知函数，且，均有，则（

）A． B．8 C．4 D．21．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．22．（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数中两个数的大小.(1)与；(2)与.23．（2023秋·全国·高一）已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)求当时，函数的解析式；24．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在定义域上不单调．(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；(2)若，求实数a的取值范围．【高分突破】一、单选题25．（2023·高一）给出幂函数：①；②；③；④；⑤，其中满足条件，的函数的个数是（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个26．（2023秋·高一课时练习）已知若，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．27．（2022秋·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）已知幂函数，对任意的且，满足，若，，，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断28．（2022秋·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期末）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（

）A． B． C． D．29．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（

）A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且D．是奇数，且二、多选题30．（2023秋·全国·高一专题练习）已知幂函数，则（

）A．B．的定义域为C．D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像31．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（

）A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D．时，幂函数在上是减函数32．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（

）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．当时，D．当时，33．（2022秋·福建福州·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．若幂函数的图象经过点，则解析式为B．若函数，则在区间上单调递减C．幂函数始终经过点和D．若幂函数图像关于轴对称，则34．（2022秋·广东茂名·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若幂函数过点，则B．函数表示幂函数C．若表示递增的幂函数，则D．幂函数的图像都过点，35．（2023·全国·高一专题练习）若函数，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题36．（2023·全国·高一专题练习）若是幂函数，则＝.37．（2023秋·高一课时练习）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为.38．（2023·全国·高一专题练习）已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数.39．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是．四、解答题40．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递增．(1)求m的值及函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．41．（2022秋·陕西西安·高一校考期中）已知幂函数的图象经过点.(1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）；(2)若，求a的取值范围.42．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知是幂函数，且在上单调递增．(1)求的值；(2)若函数，证明：的值是定值．43．（2023秋