高中数学30个重要知识点整合

目录

1——集合与常用逻辑用语

2—一复数

3——平面向量

4—不等式与线性规划

5—算法、推理与证明

6—计数原理与二项式定理

7—函数、基本初等函数I的图像与性质/

函数与方程、函数模型及其应用

8—导数及其应用

9一一三角函数的图像与性质

10一—三角恒等变换与解三角形

11——等差数列.等比数列

12——数列求和及其数列的简单应用

13——空间几何体与三视图

14——空间点、直线、平面位置关系

15——空间向量与立体几何

16——直线与圆的方程

17一一圆锥曲线的定义、方程与性质

18一一圆锥曲线的热点问题

19——概率

20一一统计与统计案例

21一一离散型随机变量及其分布

22一一函数与方程思想,数学结合思想

23—分类与整合思想，化归与转化思想

24——坐标系与参数方程

25—不等式选讲

集合与常用逻辑用语

崎一组对象的全体.xeA,xeA元素特点：互异性、无序性、确定性

子集XEA^>X&BOAQB0QA

关系真子集xeA=>XG5,3x0eB,x0wN。月u3

集相等A=B、B=AoA=B〃个元素集合子集数2”

合

交集NCl3={x|xe4且xeB]CMNU3)=(C/)n(Q8)

后算并集A\<}B=[x\x&A,^x&B]qx4n3)=(CL，4)U(C*)

集

CA且A]G/W)="

合补集V={x|.vet7x£

能够判断真假的语句

与

原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原

常原命题：若p,则《

命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命

用命题四种逆命题：若，，则p

逻命题否命题：若―\P,则「q题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互

常为逆否的命题等价

辑逆否命题：若「q,则」夕

用

用充分条件p=>G，p是q的充分条件若命题p对应集合A,命题q对应集合B,

逻充要

语必要条件pnq,q是p的必要条件则?二>0等价于4=3,2等价于

辑条件

充要条件pOq,〃,夕互为充要条件A=B。

用

类比集合的并

语或命题p^q,有一为真即为真，夕,g均为假时才为假

逻辑

且命题p^q,p,q均为真时才为真，夕,g有一为假即为假类比集合的交

连接词

非命题-W和p为一真一假两个互为对立的命题类比集合的补

全称量词V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题

量词

存在量词3,含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题

复数

规定：z2=-1;实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成

虚数单位

立。产=1,*+1=i,产+2=T，产+3__j（kGZ）。

形如a+加（。力eR）的数叫做复数，a叫做复数的实部，，叫做复数的虚部。

瞧复数

少w0时叫虚数、a=0,6w0时叫纯虚数。

复数相等a+bi=c+di{a,b,c,deR)Oa=c,6=d

共见复数实部相等，虚部互为相反数。即二=。+6，则三=a一而。

复数

加减法

(<7+6r)±(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a,b,c,dwR)o

乘法(、

AT\~Q+bi)(c+df)=(qc-bd)+(be+ad)i,(ab,c,dwR)

百算

//.、//.、ac+bdbe—da.[.八T六、

除法(a+bi)-i-(c+an=—------+~5-----i(zc+atW0、a,b,c,deR)

c+dc+dT

复数二=。+方<——对应>复平面内的点（）<——对应>向量

几何Za,Z>OZ

意义向量反的模叫做复数的模，目=J/+/

平面向量

向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度口撇该向量的模。

重0向量长度为o,方向任意的向星【6与图向量共线】

要平行向量方向相同或者相反的两个m噂向量叫做平行向量，也口哄线向量。

概

向量夹角起点放缶-点的两向量所成的角，范围是［0,同。£荒的夹角记为＜工否＞。

念

质<a,b>=0,忸cose叫做不在Z方向上的投影。【注意：投影是数量】

重不监，存在唯一M实数对（九"）,使a=+，e2。若约,e2为K,y轴上的单位

基本定理

要

止父1可量，（九//）就是向量a的坐标。

法

—^表示坐（向量坐标上下义理解）

则

共滕件a,b（1#6共线。存在唯一实数义，Z=Xb(不凹)=再必=々必

定A(.r2,y2)<=>

理垂直条件aJL办<=>=0+x2y2=0

法则Z+各的平行四边形法则、三角形法则

加法a+b=(xl+x2,yl+y2)

平运算算律a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)与加去诵［有同样的坐标表示

面

法则3-1的三角形法则a-3=（再一如弘一乃）

向减法

运算分解

量^ON-OMMN=(x)tr-xu,yN-yM)

为向量，2＞0与3方向相同,

雌Xa=(Ar,Ay)

之＜0与。方向相反，|兄《=冈,

统

各

X-人A

运算

种Mlid)=(&/)a,(A+4)a=Aa+pa,

算律与缄运算有同样的坐标券

运A(a+b)=Aa+Ab

算9

喻ci1)=a.bcos<a,b>。石=再12+凹》2

Z=M+y2,

数量主要-2

a»a=7,a*b<c

积运1加2+A巧区/彳+才Y年+为

算

a・b=b・a,(a+b)・c=a・c+》・c»与上面曦量积、数痔具有同样的坐标

算律

(茄)•刃=4・(4)=A[q*b)。表万'方法。

不等式与线性规划

(1)a>b,b>c=>/7>c;两个实数的顺序关系：

(2)a>b,c>0^>ac>be；a>b,c<0=>ac<be;a>boa-b>0

(3)a>b^>a+c>b+c;a=boa-b=0

a<b<=>a-b<0

质(4)a>b,c>a+c>b+d;

a>bo-<-的充要条件是

(5)a>b>0,c>d>O=>ac>bd;ab

n

(6)a>b>0,neN\»>!=>a>b'\^fa>^Jbab>0Q

解一元二次不到:实际上就是求出对应的一元二:欠方程的实数根(如果有实数根)，再结合对应的函数的图

象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不萼式中还要根据钠的不同取值确定方不龈的大小

等式

以及函数图象的开口方向，从而确定段式的解集.

a+b>2y[ab[a,b>0);ab<(f；+^)2(abeR);<Jab

2a+b2

(<7>0,b>0)v『(a力>0);a2+b2>Zab„

二元一好二元一次不等式Ax+By+C>Q的解集是平面直角坐标系中表示Ax+By+C=O某T厮有点组成

等式组的平面区域。_兀一次不等式组的解集是指各个根式解集所表7F的平面区域的公共部分。

约束条件对变量K，F的制约条件。如果是x,y的一次式，则触性约束条件

目标函数求解的最优问题的表达式。如果是XJ的一次式，则磔性目标醴。

可行解满足线性约束条件的解(x,v)叫可行螂

磔可行域所有可行解组成的集合叫可行域

使目标球取得最大值或者最〃值的可行解叫最优解。

简单的

在线性约束条件下求线性目标统的最大值或者最大值的问整，

第一步画出可行域。注意区域

不含

第二^根据目标函数几何意义确定最优解。边界的通

问题实际背景

第三步求出目标函数的最直

解法

含第一步设会个变量，建立约束条件和目标蠲。注意实际问题对变

实际背景第二步同不含实际背景的睇去步黑星挪艮制。

算法、推理与证明

顺序结构依次执行程序框图，是一种用程序框、流

逻辑

条件结构根据条件是否成立有不同的流向程线及文字说明来表示算法的

结构

算法循环结构按照一定条件反复执行某些步骤图形。

输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句.

语句

归纳推理由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。

合清推理

ffiS类比推理由一类对象具有的特征推断与之相彳卵幡的某种特征的推理。

演绎推理根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理.

推理综合法由已知导向结论的证明方法。

数学直接证明

与分析法由结论反推已知的证明方法。

证明

证明间接证明主要是反证法，反设结论'导出矛盾的证明方法。

数学数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自

归纳然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n°（例如n°=1）时结论正确；然后假设当

法n=k（左&N^,k>/）时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

计数原理与二项式定理

完成一件事有〃类不同方案，在第1类方案中有叫种不同的方法，在第2类方案中有/〃2种不

分类加法

同的方法.....在第〃类方案中有[%种不同的方法.那么完成这件事共有

计数原理

N=叫+〃?2+…+〃]”种不同的方法.

完成一件事情，需要分成〃个步骤，做第1步有〃4种不同的方法，做第2步有I%种不同的方

分步乘法

法......做第n步有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N=叼X〃4x…X7〃“种不同的

计数原理

方法.

从H个不同元素中取出m(ni<〃)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从11个不同元

排

定义素中取出7〃。〃<11)个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出

列

排列fii(m<〃)个元素的排列数，用符号47表示。

组

排列数

合A^'=w(n-l)(w-2)(w-w+l)=————(%///eN,m<«),^1^0!=1.

公式(n-/?/)!

从n个不同元素中，任意取出〃】。〃<〃)个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出

项

式定义111()11<〃)个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出7〃。〃<〃)个

定元素的组合数，用符号C,表示。

组合

理组合数m_"(7?-1)…(〃-7〃+1)m_4"

Vr„一.Vr-„一.

公式川4：

崛C；=C尸(tn,77GM且7〃《〃)；C：+1=c；+C；T(m,〃€N,且m«〃).

定理(a+b)n=C°an++--+C^an~rbr+--+C；；bn(C；叫做二项式系数)

一项

通项公式T—i=C；a/Tb，(其中04左左wN,N*)

式XE

c；+U…+c：Y；c：+c：+C；+…+C+…+C=2"；

理系数和

公式C：+C；+C；+-=C；+C；+C：+-2"T;C：+2C；+3C；+-+〃C；'=〃2i

函数、基本初等函数I的图像与性质

本质：定义域内任何f自变更寸应士的函数直两函数相等只要定义域和对应法则相同即可。

解析式法、表格法、图象法。分段函数是T函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值

表示方法

域的并隽

函数对定义域内间I,演,当e/，再<N2，，偶磁在定义联于

单调性/(x)是增函数u>/(Xi)</(.r2),坐标原点对称的区间

上具有相反的单调性、

RMfix')是减国数o/(再)>f(x2)。

表对越域任意K,/(.r)是偶函数O/(.r)=/(-.X),奇趣在定义域关于

坐标原点对称的区间

奇偶性/(X)是奇函数o/(-X)=-f(x)0偶函数图象关于

上具有相同的单调性

y轴对称、奇函数图象关于坐标原点对称.

周期性对豉耿辰x,螭田常数T,f(x+T)=f(x)

指数函数0<<7<1(-00,+8)单^^减，工<0时旷<1,%>0时0<1，<1函数图象过定

y=(f点(0.1)

班a>l(-00,+00)单调递增，.1<0时0<1，<1,工>0时9>1

初等对数函数Q<a<l在(0,内)单调递减，0<x<l时y>0,x>l时y<0函数图象过定

函数

J=logflx<7>1在（0,+oc）单调递增，0<K<1时y<0,x>1时y>0点(L0)

I

幕整a>0在在(0,内)单调递增，图象过坐标原点函数图象过定

y=xaa<0在在(0,+00)单调递减点(1,1)

函数与方程、函数模型及其应用

方程/(x)=0的实数根。方程/(x)=0有实数根。函数y=/(x)的图象与x轴有交点<=>函

函数

数y=/(x)有零点.

零点

存在定理图象在［ab］上连续不断，若<0,则y=/(x)在(a,b)内存在零点。

崎把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。

阅读审题分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

函数

数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。

建模

解题步骤解答模型利用数学方法得出函数模型的数学结果。

解释模型将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。

导数及其应用

函数y=/(x)在点x=为处的导数/'&0)=lim""+:，~/°。).

何意几何/'(^)为曲%y=/(x)在点(%/(与)处的切线斜率，切浅方程是

义意义y-/■)=/'(z)Xx-z)).

C=Q(C为常数)；(/)'=nx~i(〃eN.)；

；9T

(sinx)r=COSH(cos4)，=-sinx;

睇

(ex)f=ex(axy=a'\na(q>0,且awl);

加9Qn|x|)'=L

0nx)f=~，Gogx)f=-loge(a>0,且〃工1).

XflXa

运算L/(力士g(x)r=/\x)士g，(x)；

[/(x)・g(x)]'=Z(x)-g(.x)+/(x).g-(x),[Cf(x)y=Cf(x)；

运算

留=色注誓色W)x。),[1'一g'(x)

颉

g(x)Lg(x)_-g2(X).

复合函数求导法则.1，=[/(g(x))]'=/'(g(x))g'(x).

导

单调性的各个区间为单灌递瑁区间；的区间为单调递减区间.

数f'(x)＞of'(x)＜0

研究

及极值/'(f)=0且/'(X)在毛附近左负(正)右正(负)的天为极小(大)值点.

函数

其口力］上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极大值中的最大

应

者，最小值和区间端点和区间内的极小值日的最4第。

用

/(x)在区间［a,6］上是连续的，用分点a=z)＜再＜…＜项4＜八＜…＜x“=b将区间

口㈤等分成〃个小区间，在每个小区间项］上任取一点自

［3,(z=ls2.

Jj(9=螃彳„/⑷•

如果()星上的连续函数，并且有(则

基本/X[a,b\rx)=/(x),

会jV(x>&=F(5)-F(a).

定积

分13(工四=(左为常数)；

f[/(X)士g(x)孜=J：/(xK士fg(x>iv；

[V(x)dr=£/(x)rfr+f(x\ix.

区间［qb］上的连续的曲浅丁=/(x),和直设x=ax=/a=b),y=0所围成的曲边梯形

简单

的面积S=1|/(月也.

三角函数的图像与性质

V

基任意角a的终边与单位圆交于点P(x,v)时，sina=y,cosa=Ktana=」.

X

本

同角三角.22,sina

问siira+cosa=1,------=tana

函数关系cosao

题

诱导公式360°±a,180°±a,-a,90°±a,270°±a,"奇型存言限

值域周期单调区间奇雌对称中心对称轴

X=

角增--+2k兀、—+2k九

y=sinx2k兀22.

函[-M]奇醴(左乃,0)左左+―

角(xeR)IT_31_2

数减T7

函—+2K7T.——+2K7T

的_22.

数

y=cosxTT

性增左左,2k7r]

的[-4+2(^+|,0)x=k兀

质(xeR)[-M]2k兀偶函教

图减[2%r,2匕r+4]

与

象

yx

图=tan71

与/471

象Rk兀增—+k兀、—+k兀奇统无

性(x。左;r+一)122J

2

质

上下平移y=/(.r)图象平移同得y=/(x)+k图象，k>0向上，左<0向下。

平移变换

左^¥移y=/(.r)图象平移同得y=/(.r+<p)图象，0>0向左，<p<0向右。

图

象

X轴方向v=fix')图象各，融横坐标变为原来co倍得v=f(-x)的鸣。

变伸砌奂CO

换y轴方向y=/(.r)图象各点纵坐磔为原来的A倍得y="(x)的图氨

中心对称y=/(.r)图象关于点(ab)对称图象的解析式是y=2b-f(2a-x)

对期换

轴又懒y=fix')图象关于直线x=a对称图象的解析式是y=/(2a-x)。

三角恒等变换与解三角形

和差角公式倍角公式

.、2tana

1E2：sin(a±/7)sin2a=---------—

sin2a=2sinacosa

=sinacos(3±cosasin(3l+tan'a

,l-tan*a

cos2a=cos2a-sin;acos2a=--------5-

cos(a±P)1+tan'a

融=2cos2a-l=l-2sin;(

=cosacos/?干sinasinB.21—cos2a

sina=-------------

2

/।gtana±tanB

tan(a±p)=---------------—-2tana?1+cos2a

正切1Ttanctan(3tan2a=--------cosa=-------------

1-tan5"a2

射影定理：

理Q=b=c

西sin^4sin3sinC*a=bcosC+ccosB

—就a—2Rs\nAb=2RsinB.c=2RsinC(R夕Hg园

XESzb=acosC+ccosA

随三角形两边和一边对角、三角形两角与一边.c=acosB+bcosA

222122222

ZE®a=b+c—2bccosA,b=a+c—2accosB:c=a+b-labcosC.

检d2+e2-t/(d+c)2-a2

cosA=---------------=----------------1等.

ZES2bc2bc

两边及一角（一角为夹角时直接使用.一角为TS对角时列方程）.三边.

角

率

恒S=^-a-hn=—bhh=-=—aisinC=-drsinJ=­arsinB0

应

等222'222

也导出

变S=—（E夕檄园半径）；S=L（a+6+c）r。•内切圆半径）.

叵

换4出2

把要求解的量归入至何解三角形中.在实际问题中，往往涉及到多个三角形，R要根据已知逐

与—

次把求解目标归入到一个可解三角形中.

解

仰

视注在水平线以上时，在视浅所在的垂直平面内，视或与水平线所成的角.

角角

与

形视比在水毯以下时，在视浅所在的垂直平面内，视浅与水平线所成的角.

实际角

方

常用术语方向角一股是指以观测者的位置为中心，格正北或正南方向作为起始方向旋转到

同

目标的方向线所成的角（一股是铳角，如北偏西30。）.

角

方

位某点的指北方向发起，依顿时针方向到目标方向线之间的水平夹角.

角

等差数列、等比数列

按照一定的次金既!1的一列数。分有夯、无夯、增值、递减、摆动、常数数列等.

通项公式数列{4}中的项用示，an=/（〃）

数列a=<

㈤}Sn-S^,n>2.

前〃项和S”=用+%+…+4

黝触4+1=4+/(〃)型

简单

累乘法%+i=aJ⑺型解决递推数列问题的基

的递

数本思想是"转化"，即转

推数转化法%-pq+qpI(PHQL4HO)=Xi-:+q

列化为两类基本数列----等

列列pp

差数列、等比数列求端

法砺4+1=can+d(cH0,1,d=0)O+4=c(a„+2).

等

系数法比较系数得出之，转化为等比数列.

差

满足4“一%=d（常数），d>0递增、d<0递减、d=0常翻S列.

数

等差

列通项an+an=ap+a9<^m+n=p+q.

%=q+(〃-IX=0州+(〃一

等数列俎

a„+an=2ap<=>m+n-2p不为0)

比{4}

前〃项

数Sm$-S»33m-S训,…为等差数列.

列

满足4"+1：。"=4（qwO的常数），单调性日q的正负，q的定围确定.

通项aman=apaq=m+〃=p+q，

一一一八-1-

等比an==amQ

应aman=a；=/w+〃=2p(公比不为1)

数列

{4}可(1-4")_用一。应.

前〃项公比根于一1时，

S*=1-q1-q/，

SM.S训-SmsS3m-5训,…西幡列.

nax,q=\.

注：表格中冽4均为正谈

数列求和及其数列的简单应用

…”丁d"r)e+2+3

等差数列

三q(1-4")_用一。应1

用等匕储洌S"=,1-q\-q，砌1+2+2?+…+2曰=2"-1.

求

nax,q=\.

和

目标通力…+〃f+D——+D.

数公

平方和

列式

目粽、K〃+I)T

求l3+23+---+n3=(1+2+…+〃尸=

立方和.2J,

和

及如q=2+2n,a„=3".常用裂项方法：成白上)=9；—/日；

数如an=2〃+2",a=(一1)"〃+2.

常n

列1_lf1_1].

用111

的裂项法如4=------=-―----.7-12(n-ln+ir

求n(n+1)n〃+1

筒1-if1_____L_1

和错位2

单如/=(2〃-1>2".4n-12(2〃-12«+lJ

方相减法

应管+1_11

法

用n