第1章 整式的乘除（培优篇）

整式的乘除（全章复习与巩固）（培优篇）一、单选题1．计算的结果是（

）A． B． C． D．2．已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（

）A． B． C．11 D．193．已知a与b互为相反数且都不为零，n为正整数，则下列两数互为相反数的是(

)A．a2n－1与－b2n－1 B．a2n－1与b2n－1 C．a2n与b2n D．an与bn4．下列选项中不能运用平方差公式的有（）A． B．C． D．5．若，则等于（

）A．2020 B．2019 C．2018 D．－20206．下列计算正确的是（

）A．2÷2﹣1=-1 B． C．(﹣2x﹣2)﹣3=6x6 D．7．若，则a+b=A．-2 B． C．2 D．48．我们规定一种运算：，其中都是有理数，则等于（

）A． B． C． D．9．设，，．若，则的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．410．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（

）A．6 B．2 C．3 D．4二、填空题11．已知5a=2b=10，那么的值为________.12．计算：____________.13．已知a=255，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系为______．14．已知，则代数式值=_______．15．若的积不含项，则___________．16．若，满足，则的值为___________．17．已知，求________．18．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算（a+b）6的展开式中，从左起第四项是_____．三、解答题19．计算：（ （2）20．已知，求下列各式的值：(1)； (2).21．计算．(1)(0.25x-)(0.25x+0.25)； (2)(x-2y)(-2y-x)-(3x+4y)(-3x+4y)；(3)(2a+b-c-3d)(2a-b-c+3d)； (4)(x-2)(16+x4)(2+x)(4+x2)．22．（1）化简：（2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务先化简，再求值：，其中，．解：原式第一步第二步．第三步当，时，原式．第四步任务：①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）；②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______；③请写出正确的解答过程．23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式______；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____；（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______．（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？24．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．【解决问题】已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式；若可配方成（m、n为常数），则mn＝；【探究问题】已知，则；已知x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值．

参考答案1．A解：根据同底数幂的乘除法，可知=.故选：A【点拨】此题主要考查了幂的运算性质，直接利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，同底数的幂相除，底数不变，指数相减，计算即可.2．B【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算即可得出结果．解：x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=．故选：B．【点拨】此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．3．B解：已知a与b互为相反数且都不为零，可得a、b的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A、C相等，选项B互为相反数，选项D可能相等，也可能互为相反数，故选B.4．B【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．解：A．∵，∴选项A能运用平方差公式，不合题意；B．，不能运用平方差公式，符合题意；C．∵，∴选项C能运用平方差公式，不合题意；D．∵，∴选项D能运用平方差公式，不合题意；故选：B．【点拨】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．C【分析】将变形为，，代入即可求解．解：∵，∴，，∴=2018．故选：C【点拨】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．6．D解：试题分析：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知2÷2﹣1=21-（-1）=22=4，故不正确；根据单项式除以单项式，可知=，故不正确；根据积的乘方，可知(﹣2x﹣2)﹣3=-x6，故不正确；根据合并同类项法则和负整指数幂的性质，可知=7x-2=，故正确.故选D7．D解：当时，；当时，；解得：，故选D.8．A【分析】依据去括号和合并同类项法则，按照题目规定的运算规则进行计算.解：====故选A【点拨】本题目为规定新运算题，考查学生的阅读理解，迁移应用能力，读懂规定的运算规则是解答此题的关键.9．A【分析】先将a=x-2017，b=x-2019代入，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答．解：∵a=x-2017，b=x-2019，a2+b2=34，∴（x-2017）2+（x-2019）2=34，∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34，∴2（x-2018）2=32，∴（x-2018）2=16，又∵c=x-2018，∴c2=16.故答案为A．【点拨】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．10．D【分析】根据大正方形的边长，可求出大正方形的面积为，根据完全平方公式，分解为3部分，刚好就是A、B、C这3类图形面积部分.其中，分解的ab部分的系数即为B类卡片的张数．解：大正方形的面积为：其中为A类卡片的面积，∴需要A类卡片一张；同理，需要B类卡片4张，C类卡片4张．故选D．【点拨】本题考查了完全平方公式在几何图中的应用，遇到这类题目，需要想办法先将题干转化为我们学习过的数学知识，然后再求解．11．1【分析】将题目中所给的式子进行化简和构造，根据同底数幂的乘法以及积的乘方证明ab=a+b即可.解：∵5a=10，2b=10∴（5a）b=10b

，（2b）a=10a；即5ab=10b

，2ab=10a∴5ab×2ab=10ab=10b×10a=10a+b即a+b=ab∴=1故答案为1.【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，积的乘方.12．2019.【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．解：∵∴=故答案是：2019.【点拨】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．13．b＞c＞a【分析】根据幂运算的性质，及它们的指数相同，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大．解：a=255=（25）11=3211，b=344=（34）11=8111，c=433=（43）11=6411，则b＞c＞a．【点拨】此题要熟练运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数的大小比较两个数的大小．14．14．【分析】根据方程求出的值，再运用完全平方公式可求的值．解：∵，且，∴，即，，，，故答案为：14．【点拨】本题考查了完全平方公式和等式变形，解题关键是恰当的对等式变形，熟练运用完全平方公式进行计算．15．【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．解：==∵的积不含项，∴，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．16．【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出，的值，代入原式计算即可得到结果．解：已知等式变形得：，即，∵，，∴，，解得：，，则．故答案为：．【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．【分析】设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案．解：∵∴设，则∴，即∴故答案为：．【点拨】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解．18．20a3b3【分析】通过观察可知“杨辉三角”的规律：①每个数等于上方两数之和．②每行数字左右对称，由1开始逐渐变大．③a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大．依据此规律，可得出最后答案．解：由题意可知：每个数等于上方两数之和，∴（a+b）5的展开式中系数从左向右分别是1，5，10，10，5，1，∴（a+b）6的展开式中系数从左向右分别是1，6，15，20，15，6，1，又∵a的指数从左向右逐渐变小，b的指数由左向右逐渐变大，∴（a+b）6展开式左起第四项是20a3b3，故答案为：20a3b3．【点拨】本题属于规律探索型问题，考查观察以及归纳总结能力，找到蕴含的规律是解题的关键．19．5；7.试题分析：根据幂的计算法则进行计算即可.解：（1）原式=1-+9-4=5（2）原式=9－－=7.考点：幂的计算20．(1)7(2)5【分析】（1）将两边平方后，利用完全平方公式将等式左边计算后即可得出所求代数式的值；（2）给（1）中的式子减去2，利用完全平方公式即可得出所求代数式的值．(1)解：∵，∴，即，∴．(2)解：∵，∴，∴．【点拨】本题考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解题关键．21．(1)x2-(2)8x2-l2y2(3)(2a-c)2-(b-3d)2(4)x8-256试题分析：（1）把小数化为分数，提公因式后用平方差公式计算；（2）先用平方差公式进行计算，再去括号，合并同类项；（3）先分组[(2a-c)+(b-3d)][(2a-c)-(c-3d)]，再用平方差公式运算；（4）将原式化为(x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16)，再用平方差公式运算.解：（1）原式===；（2）原式=(-2y+x)(-2y-x)-(4y+3x)(4y-3x)==；（3）原式=[(2a-c)+(b-3d)][(2a-c)-(b-3d)]=；（4）原式=(x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16)=x8-256.22．（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可；（2）①平方差公式或完全平方公式；②根据去括号法则可知第一步出现了错误；③根据整式的混合运算顺序解答即可．解：（1）原式（2）①第一步运算用到了乘法公式或；故答案为：或．②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误；故答案为：一；去括号时符号错误．③当，时，原式．【点拨】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．23．（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）30；（3）9；（4）20【分析】（1）由大正方形等于9个长方形面积的和；（2）将所求式子转化为，代入已知条件即可；（3）将式子化简为，即可确定、、的值；（4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积．解：（1）由图可知大正方形面积为，大正方形由9个长方形组成，则有；故答案为；（2）由（1）可得，，，；故答案为155；（3），，，，；故答案为9；（4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，即，，，．【点拨】本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键．24．(1)；(2)﹣12；(3)﹣1；(4)S是一个“完美数”，理由见分析；(5)﹣．【分析】（1）把29分为两个整数的平方即可；（2）原式利用完全平方公式配