第5章 生活中的轴对称（巩固篇）

第5章生活中的轴对称（提高篇）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列图形是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．2．如图，根据的已知条件，按如下步骤作图：（1）以圆心，长为半径画弧；（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接，与交于点，连接、．以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（

）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④3．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．124．如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（

）

A．1.5 B．1.6 C．2 D．35．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸CD的距离分别为AC、BD，且，若A到河岸CD的中点的距离为500m.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，牧童回家所走的最短路程为（

）A．500m B．1000m C．1500m D．2000m6．如图，平行线m，n间的距离为5，直线l与m，n分别交于点A，B，，在m上取点P（不与点A重合），作点P关于l的对称点Q．若，则点Q到n的距离为（

）A．2 B．3 C．2或8 D．3或87．如图，∠AOB＝45°，点E、F分别在射线OA、OB上，EF＝8，S△OEF＝24，点P是直线EF上的一个动点，点P关于OA的对称的点为P1，点P关于OB的对称点为P2，当点P在直线EF上运动时，的最小值为（）A．8 B．16 C．18 D．368．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面正确的结论有（

）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝AG；③∠FAG＝∠ACF④BH＝CHA．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B．下列结论中,不一定成立的是(

)A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP10．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（）A． B． C． D．11．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．1812．下列说法中，正确的个数是（

）①轴对称图形只有一条对称轴，②轴对称图形的对称轴是一条线段，③两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，④全等的两个图形一定成轴对称，⑤轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言，⑥角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；⑦角是轴对称图形，⑧线段不是轴对称图形

⑨线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，⑩Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，若AB=10,则BC=5.A．4个 B．5个 C．6个 D．7个填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．下列说法：①全等的两个三角形一定成轴对称；②等腰三角形最少有1条对称轴，最多有3条对称轴；③成轴对称的两个图形一定全等；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形．其中正确的有________．（填序号）14．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，点D关于AB，AC对称的点分别为E、F，连接EF分别交AB、AC于M、N，分别连接DM、DN，已知△DMN的周长是6cm，那么EF＝_____．15．仔细观察图1，体会图1的几何意义，用图1的方法和结论操作一长方形纸片得图2或图3或…，，均是折痕，当在的内部时，连接，若，，的度数是_______________．16．如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为____________17．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝8，△ABC的面积为40，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为_____．18．如图，在平行四边形中，，在内有一点，将向外翻折至，其中为其对称轴，过点，分别作，的垂线，垂足为，，，，已知，，那么__________．三、解答题（本大题共6小题，共60分）19．（8分）如图，已知C、D是两个村庄，OA、OB为两条公路，现计划修建一个客运站P，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，你能确定P点的位置吗？请在图中用尺规找到P的位置．20．（10分）如图，已知与关于直线l对称．（1）请用无刻度的直尺画出该对称轴l；（2）在对称轴l上找一点P，使的和最小．（请保留作图痕迹）21．（10分）如图，长方形纸片ABCD，点E，F，C分别在边AD，AB，CD上．将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处．（1）如图1，若∠AEF＝40°，∠DEG＝35°，求∠A'ED'的度数；（2）如图1，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）；（3）如图2，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）．22．（10分）．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．（1）画出直线；（2）直线与相交于点O，试探究与直线、所夹锐角的数量关系．23．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AB翻折得到△ABE，过点E作AD的垂线，垂足为F，延长EF交AC于G．（1）求证：EA＝EG；（2）连接DG．①如图2，当DG⊥AC时，试判断BD与CD的数量关系，并说明理由；②若AB＝5，△EDG的面积为4，请直接写出△CDG的面积．24．（12分）【阅读与理解】折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？【分析】把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C’处，即AC＝AC’，据以上操作，易证明△ACD≌△AC’D，所以∠AC’D＝∠C，又因为∠AC’D＞∠B，所以∠C＞∠B．【感悟与应用】（1）如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，CD＝CB．求证：∠B＋∠D＝180°．

参考答案1．C【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．解：∵不是轴对称图形，∴A不符合题意；∵不是轴对称图形，∴B不符合题意；∵是轴对称图形，∴C符合题意；∵不是轴对称图形，∴D不符合题意；故选C．【点拨】本题考查了轴对称图形即沿某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合的图形，熟练掌握定义是解题的关键．2．D【分析】由题意得：AB=AP，CB=CP，从而可判断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS，可判断④．解：由题意得：AB=AP，CB=CP，∴点A、C在BP的垂直平分线上，即：AC垂直平分BP，故①错误；∵AB=AP，AC⊥BP，∴AC平分，故②正确；∵AC垂直平分BP，∴点B、P关于直线AC对称，即：四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，∴，故④正确；故选D．【点拨】本题主要考查垂直平分线的判定定理。等腰三角形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键．3．B【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于点D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴△ABP周长的最小值是4+3=7．故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．4．C【分析】延长CE′和BA相交于点F，根据翻折的性质可以证明△BE′C≌△BE′F，可得CF=2，再证明△FCA≌△DBA，可得BD=CF=2．解：如图，延长CE′和BA相交于点F，由翻折可知：∠BE'C=∠E=90°，CE'=CE=1，∵BE'是∠ABC的角平分线，∴∠CBE'=∠FBE'，∵BE′=BE′，∴△BE'C≅△BE'F(ASA)，∴E'F=CE'=1，∴CF=2，∵∠FCA+∠F=90°，∠DBA+∠F=90°，∴∠FCA=∠DBA，∵∠FAC=∠DAB=90°，AB=AC，∴△FCA≅△DBA(ASA)，∴BD=CF=2．故选：C．【点拨】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解决问题的关键．5．B【分析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．由题意：AC=BD，∠A’CM=∠BDM=90°，∴A′C=BD，在△A′CM与△BDM中，，∴△A′CM≌△BDM，∴CM=DM，M为CD的中点，A′M=BM，由于A到河岸CD的中点的距离为500米，所以A′到M的距离为500米，A′B=2A′M=1000米．故最短距离是1000米．故选：B．【点拨】此题考查了轴对称的性质和“两点之间线段最短”，全等三角形的判定和性质等，解答时注意应用全等三角形的性质是解题关键．6．C【分析】根据题意，分两种情况：当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时．作点P关于l的对称点Q，连接．由轴对称，得，，分别计算即可求得答案．解：当点P在点A左侧时，如图，作点P关于l的对称点Q，连接．由轴对称的性质，得：，，∴点Q到n的距离为；当点P在点A右侧时，如图，作点P关于l的对称点Q，连接．由轴对称的性质，得：，，点Q到n的距离为．故选：C．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离、轴对称的性质，解题的关键是利用分类讨论和数形结合思想解题．7．C【分析】连接OP，过点O作交EF的延长线于点H，先用三角形面积公式求出OH，再证明是等腰直角三角形，当OP最小时，的面积最小．解：如图所示，连接OP，过点O作交EF的延长线于点H，∵EF=8，，∴OH=6，∵点P关于OA对称的点，点P关于OB对称点为，∴，，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴最小时，的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为6，∴的面积最小值为：，故选C．【点拨】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是构造出三角形OEF的高，掌握轴对称的性质和垂线段最短．8．C【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC=∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．解：∵BE是中线得到AE=CE，∴S△ABE=S△BCE，故①正确；∵∠BAC=90°，AD是高，∴∠ABC=∠DAC，∵CF是角平分线，∴∠ACF=∠BCF，∵∠AFG=∠FBC+∠BCF，∠AGF=∠GAC+∠ACF，∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG，故②正确；∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACB=90°，∴∠BAD=∠ACB，而∠ACB=2∠ACF，∴∠FAG=2∠ACF，故③正确．根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．9．D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PA=PB，再利用“AAS”证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP，全等三角形对应边相等可得OA=OB．解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA=PB，故A选项正确；∵∠PAO=∠PBO=90°，∠POA=∠POB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP（AAS），∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故B，C选项正确；∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，故D选项错误；即不一定成立的是选项D，故选：D．【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出两三角形全等是解题的关键．10．B【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点在上时，有最小值．解：连接．垂直平分，，，当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值为．故选：B．【点拨】本题考查了轴对称中的最短路线问题，明确当点，，在一条直线上时，有最小值是解题的关键．11．B【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S△OMN＝•MN•OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，故选：B．【点拨】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．12．B【分析】轴对称图形是指将图形沿着某条直线翻折,直线两侧部分能够完全重合的图形;其中这条直线是对称轴;成轴对称的两个图形是全等图形;但全等图形不一定成轴对称;角是轴对称图形,其对称轴是角平分线所在直线;线段是轴对称图形,其线段所在直线和线段的垂直平分线是对称轴;角平分线上的点到角两边的距离相等;在直角三角形中,30°所对直角边等于斜边的一半.根据以上知识点进行判断即可.解：因为轴对称图形对称轴至少有一条,不是只有一条,因此①错误;因为对称轴是一条直线,因此②错误;因为成轴对称的两个图形是全等图形,因此③正确;因为全等图形不一定成轴对称,因此④错误;因为轴对称图形是指一个具有轴对称性质的图形,是一个图形,而轴对称是两个图形关于一条直线对称,因此⑤正确;因为角平分线上的点到角两边的距离相等因此⑥错误;⑦角是轴对称图形,是正确的;因为线段是对称轴图形,因此⑧错误;因为线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等,因此⑨正确;因为在直角三角形中,30°所对直角边等于斜边的一半,因此⑩正确;正确是③⑤⑦⑨⑩,故选B.【点拨】本题主要考查轴对称,轴对称图形,轴对称图形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称,轴对称图形的性质.13．②③④【分析】根据全等三角形、等腰三角形、轴对称的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．解：①全等的两个三角形，不一定构成轴对称的条件，故①不正确；②等腰三角形最少有1条对称轴，当等腰三角形的三边相等时，有3条对称轴，故②正确；③成轴对称的两个图形一定全等，故③正确；④任意两条相交直线都组成一个轴对称图形，故④正确故答案为：②③④．【点拨】本题考查了轴对称、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解．14．6【分析】根据轴对称的性质知，EM＝DM，FN＝DN，所以由△DMN的周长公式得到△DMN的周长＝EF．解：由轴对称的性质知，EM＝DM，FN＝DN，∴EF＝EM+MN+FN＝DM+MN+DN＝△DMN的周长＝6cm．∴△DMN的周长＝EF＝6cm．故答案是：6cm．【点拨】考查了轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．15．【分析】根据折叠的性质得到，，根据图形可得，，再根据计算即可；解：∵，，∴由折叠性质得，，∴，，∴，即，∴；故答案为：．【点拨】本题主要考查了折叠图形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．16．或【分析】设，由折叠的性质可得，分两种情况，①当点在AC的下方时，②当点在AC的上方时，由角的关系分别求解即可．解：设，∵正方形ABCD的四个角都为90°，若沿AC折叠，则点D会与点B重合，∴，①当点在AC的下方时，如图1所示：则，∴，∵AF平分∴∵∴，解得；②当点在AC的上方时，如图2所示：则，∵AF平分∴∵∴，解得；综上所述，的度数为或故答案为：或【点拨】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质和角平分线的性质是解题的关键．17．10【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为40，AB＝8，∴×8×CE＝40，∴CE＝10，故CM+MN的最小值为10．故答案为：10．【点拨】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．18．36【分析】连接，，根据折叠的性质可得，根据四边形四边形，结合已知条件即可求得．解：如图，连接，，∵将向外翻折至，其中为其对称轴，∴，∵四边形四边形，∴，∴，故答案为：36．【点拨】本题考查了轴对称的性质，利用四边形四边形结合已知条件计算是解题的关键．19．答案见分析【分析】先连接CD，根据线段垂直平分线的性质作出线段CD的垂直平分线MN，再作出∠AOB的平分线OF，MN与OF相交于P点，则点P即为所求点．解：点P为线段CD的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点，则点P到点C、D的距离相等，到AO、BO的距离也相等，作图如下：【点拨】此题考查角平分线性质与线段垂直平分线的性质作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．20．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）找到每个图中的对应线段，延长找到交点，过交点作直线l即可．（2）根据轴对称的性质及两点之间线段最短，连接EC，交直线l于点P，则点P即为所求．解：（1）如图，直线l即为所求；（2）如图，点P即为所求．【点拨】本题考查了作图--轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P点．21．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由折叠的性质，得到，，然后由邻补角的定义，即可求出答案；（2）由折叠的性质，先求出，然后求出∠FEG的度数即可；（3）由折叠的性质，先求出，然后求出∠FEG的度数即可．解：（1）将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处，∴，，∴；（2）根据题意，则，，∵，∴，∴，∴；（3）根据题意，，，∵，∴，∴，∴；【点拨】本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，正确得到，．22．（1）见分析；（2）【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．解：（1）如图，连接．作线段的垂直平分线．则直线是和的对称轴；（2）如图，连接．∵和关于直线对称，∴．又∵和关于直线对称，∴．∴，即．【点拨】解答此题要明确轴对称的性质：1．对称轴是一条直线．2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等．4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．23．（1）见分析；（2）①BD=；②4【分析】（1）证明∠BAE=∠DEG，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC+∠BAE=∠ACB+∠DEG，即可推出结论；（2）①过点G作GN⊥BC于N，证明△ABE≌△ENG，推出GN=BE=BD，根据等腰直角三角形三线合一的性质推出ND=NC=，由此得到结论BD=；②由①知EB=BD=DN=NC