第6章 概率初步（培优篇）

第6章概率初步（培优篇）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．在和中，已知AB＝A'B'，∠A＝∠A'，再从下面条件中随机抽取一个：①AC＝A'C'，②BC＝B'C'，③∠B＝∠B'，④∠C＝∠C'．抽到的条件恰好能保证的概率是（

）A． B． C． D．2．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是(

)A． B． C． D．13．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（

）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．4．下列事件：（1）打开电视机，正在播放新闻；（2）下个星期天会下雨；（3）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1；（4）一个有理数的平方一定是非负数；（5）若，异号，则；属于确定事件的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．45．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从口落出的概率为（

）A． B． C． D．6．如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（

）A． B． C． D．7．学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（）A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一8．小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（

）A．10 B．8 C．12 D．49．如图所示，分别用两个质地均匀的转盘转得一个数，①号转盘表示数字2的扇形对应的圆心角为120°，②号转盘表示数字3的扇形对应的圆心角也是120°，则转得的两个数之积为偶数的概率为（

）A．B．C． D．10．某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（

）A．①③ B．②③ C．① D．②11．某市民政部门五一期间举行“即开式福利彩票”的销售活动,发行彩票10万张(每张彩票2元),在这些彩票中,设置如下奖项:奖金(元)100050010050102数量(个)1040150400100010000如果花2元钱购买1张彩票,那么所得奖金不少于50元的概率是()A． B． C． D．12．某初中七（5）班学生军训排列成77=49人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点4个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则15次点名后蹲下的学生人数可能是（

）A．3 B．27 C．49 D．以上都不可能填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是___．14．如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷．小红在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域，数字表示在A区域中有1颗地雷，那么第二步踩B区域，踩到地雷的概率为______．15．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宜传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是，则n的值是_________．16．图，转盘中8个扇形面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，估计下列事件发生的可能性大小，写出它们发生的概率：（1）P（指针落在标有6的区域内）=；（2）P（指针落在标有9的区域内）=；（3）P（指针落在标有偶数的区域内）=；（4）P（指针落在标有偶数或奇数的区域内）=；17．一个不透明的盒子中装有6个红球，3个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到的不是红球的概率为__________18．要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球：________．(只写一种)三、解答题（本大题共6小题，共60分）19．（8分）19．经济学教授张锐在“缓解中小企疫情之困需政策合力”一文中提及：“保护中小企业就是保护经济增长的基石，为疫情之中和疫情之后的中小企业排忧解难，所有的政策能量供给都应当不遗余力”．某市计划对该市的中小企业进行财政补贴，相关行业的主管部门为了解该市中小企业的生产情况·随机调查了100家企业，得到这些企业今年第一季度相对于去年第一季度产值增长率的频数分布表．增长率企业数640201816［各组数据的组中值代表各组的实际数据，说明：组中值是各小组的两个端点的数的平均数，如的组中值是］(1)以这100个企业为样本，求该市中小企业今年第一季度相对于去年第一节度产值增长率在范围内的概率；(2)该市有3000家中小企业，通过市场调研·去年该市中小企业的第一季度平均产值是20万元，若要使一家中小企业保持良好的经营状态，必须保证其第一季度产值不低于19万元，若要想让该市增长率为负的中小企业保持良好的经营状态，该市至少应准备多少万元的补贴资金？20．（10分）每年6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动．参与的所有献血者的血型检测结果有“A”、“B”、“AB”、“O”4种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了两幅不完整的统计表．血型ABABO人数a105b(1)这次随机抽取的献血者人数为人，m＝；(2)上表中的a＝，b＝；(3)若活动中该地有4000人参与义务献血，根据抽样结果回答：从所有献血者中任抽取一人，估计其血型是O型的概率是多少？并估计这4000人中大约有多少人是O型血？21．（10分）某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：(1)在这次调查中，一共抽查了名学生．其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为．扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为度．(2)请你补全条形统计图．(3)某班8位同学中，2人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，李老师要从这8人中任选1人参加学校社团展演，则恰好选出1人喜欢乐器的概率是．22．（10分）一堆彩球有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出8个球中都有7个红球，一直数到最后8个球，正好数完，在已经数出的球中红球的数目不少于90％．（1）这堆球的数目最多有多少个？（2）在（1）的情况下，从这堆彩球中任取两个球，恰好为一红一黄的概率有多大？23．（10分）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）．24．（12分）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值．参考答案1．D【分析】由AB＝A'B'，∠A＝∠A'知，若要使△ABC≌△A'B'C'，则需要①AC＝A'C'或③∠B＝∠B'或④∠C＝∠C'，再根据概率公式求解即可．解：在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，若要使△ABC≌△A'B'C'，需要用“角角边、角边角、边角边”证明，则①AC＝A'C'或③∠B＝∠B'或④∠C＝∠C'符合，∴抽到的条件恰好能保证△ABC≌△A'B'C'的概率是，故选：D．【点拨】本题主要考查概率公式和全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定义及概率公式．2．B【分析】找到符合条件的点P的个数，再根据概率公式计算可得．解：要使△ABP与△ABC全等，点P的位置可以是P1，P2两个点，∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P的概率是，故选：B．【点拨】本题考查了概率公式的应用，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．3．A【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数，只能是1与3的和，即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，，丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，，甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，，丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，故选：A．【点拨】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键．4．B【分析】根据事件发生的可能性大小逐一判断相应事件的类型，即可得答案．解：（1）打开电视机，正在播放新闻是随机事件，（2）下个星期天会下雨是随机事件，（3）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1是不可能事件，是确定事件，（4）一个有理数的平方一定是非负数是确定事件，（5）若a、b异号，则a+b＜0是随机事件．综上所述：属于确定事件的有（3）（4），共2个，故选：B．【点拨】本题考查的是必然条件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.熟练掌握基础知识是解题的关键．5．C【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以，最终从点G落出的概率为，故选：C．【点拨】本题考查了概率问题，解题的关键是掌握概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．6．D【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．解：如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：．故选D．【点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．7．D【分析】试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一．解：小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误；小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B错误；小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误；小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确．故选：D．【点拨】本题考察了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事发生的概率是．8．C【分析】用大于8的数字的个数（n-4）除以总个数=对应概率列出关于n的方程，解之可得．解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，∴，解得：n=12，故选：C．【点拨】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．9．C【分析】列表得出所有可能的情况数，找出两数之积为偶数的情况数，即可求出所求的概率．解：列表如下1253361544820661230由表知，共有9种等可能结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种结果，所以转得的两个数之积为偶数的概率为，故选C．【点拨】此题考查此题考查列表法与树状图法，解题关键在于得出所有可能出现的情况列出表格.10．D【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．解：当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以此时“移植成活”的频率是0.904，但概率不一定是0.904，故①错误，随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880，故②正确，若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率也不一定是0.875，因为某一次或几次的频率太高或太低会影响估计概率，概率是一件事情发生的可能性，故③错误，故选D.【点拨】此题考查频率与概率，统计图，解题关键在于看懂图中数据.11．C【分析】让所得奖金不少于50元的彩票张数除以彩票的总张数就是所得奖金不少于50元的概率．解：因为从10万张彩票中购买一张，每张被买到的机会相同，因而有10万个结果，奖金不少于50元的共有10+40+150+400=600（个），所以所得奖金不少于50元的概率=．故选C．【点拨】本题考查了概率公式，解决关键是理解列举法求概率的条件，事件有有限个结果，每个结果出现的机会相等．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．D【分析】从每次点的4个同学与已经蹲下的同学的重合人数入手，进而分析得到结果.解：假设点的4个同学全部为站立的学生，则蹲下人数+4；假设点的4个同学中只有1个为已蹲下的学生，则蹲下人数－1+3=+2；假设点的4个同学中有2个为已蹲下的学生，则蹲下人数－2+2=0；假设点的4个同学中有3个为已蹲下的学生，则蹲下人数－3+1=－2；假设点的4个同学全部为已蹲下的学生，则蹲下人数－4；第一次点完之后，蹲下人数为4，为偶数，之后每次蹲下的人数一定符合上述五种情况之一，所以增加或减少的人数仍为偶数，故蹲下的人数只可能为偶数.故选D.【点拨】本题为推理论证题，需要有严谨的逻辑思维及较强的推理分析能力.13．【分析】先确定总的结果数，再确定该事件包含的结果数，最后利用概率公式求解即可．解：如图，由题意得：随机闭合图中的两个开关，一共有3种情况，分别是ab,ac,bc;其中能够让一个灯泡发光的情况有ac和bc共2种，所以概率为；故答案为：.【点拨】本题考查了随机事件的概率问题，解题的关键是牢记概率公式等，考查了学生对概率的理解与应用．14．【分析】先求出B区方格数，再求出B区地雷数，根据概率计算公式求解即可．解：一共有=81个方格，A区有6个方格，所以，B区有81-6=75个方格，又B区地雷数为：10-1=9（颗）所以，第二步踩B区域，踩到地雷的概率为故答案为：【点拨】本题主要考查了简单概率的计算，灵活运用概率公式是解答本题的关键．15．10【分析】根据概率的意义列方程求解即可．解：由题意得，，解得n=10，故答案为：10．【点拨】本题考查了概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．16．（1）；（2）0；（3）；（4）1【分析】根据不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1解决（2）、（4），然后根据概率公式解决（1）、（3）．解：（1）（指针落在标有6的区域内）；（2）（指针落在标有9的区域内）；（3）（指针落在标有偶数的区域内）；（4）（指针落在标有偶数或奇数区域内）．这些事件发生的可能性从小到大的顺序排列为：指针落在标有9的区域内、指针落在标有6的区域内、指针落在标有偶数的区域内、指针落在标有偶数或奇数区域内．【点拨】本题主要考查了事件的分类和概率的求法．解题的关键是：用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率所求情况数与总情况数之比．17．解：18．答案不唯一，如放2个白球，4个黄球(只要满足放入的白色球数量占全部球数量的即可)解：根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是黄色的概率是，只需使黄球占总数的即可，例如：在袋中放入2个黄球，4个红球，答案不唯一．19．(1)(2)8220【分析】（1）根据这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表，利用样本估计总体即可估计该市的中小企业中产值增长率在0≤y<0.40范围内的企业的概率；（2）根据题意要想让该市的所有中小企业保持良好的经营状态，利用频数分布表中的数据分别进行计算即可得该市应准备多少万元的补贴资金．(1)解：∵在这100个企业中，该市中小业的第一季度产值增率在0≤y<0.40范围内的数量18+16=34（个），∴P（该市中小企业的第一季度产值增长率在0≤y<0.40范围内）=；(2)∵增长率为﹣0.60≤y<-0.40，组中值为，20×(1-50%)=10，需补贴19-10=9（万），增长率为﹣0.40≤y﹤-0.20，组中值为，20×(1-30%)=14，需补贴19-14=5（万）增长率为﹣0.20≤y<0，组中值为，20×(1-10%)=18，需补贴19-18=1（万）增长率为0≤y<0.20，组中值为﹥0，增长率为0.2≤y<0.40，组中值为﹥0，不需补贴，∴3000××(6×9+40×5+20×1+18×0+16×0)=8220（万），∴该市至少应准备8220万元的补贴资金．【点拨】本题考查了概率公式、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是综合运用以上统计知识．20．(1)50，20(2)12，23(3)血型是O型的概率是，估计这4000人中O型血的人数大约有1840人【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后用B型的人数除以抽取的总人数即可求得m的值；（2）先计算出O型的人数，再用总人数减去O型、B型、AB型人数计算出A型人数；（3）用样本中O型的人数除以样本人数得到血型是O型的概率，然后用4000乘以此概率可估计这4000人中是O型血的人数．(1)解：这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以，故答案为50，20；(2)解：O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），故答案为12，23；(3)解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率，（人），估计这4000人中大约有1840人是O型血．【点拨】本题考查了扇形统计图、统计表、概率公式、用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键；随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．21．(1)50，24%，28.8(2)见分析(3)【分析】（1）根据喜欢声乐的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比和扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角的度数；（2）根据（1）中的结果，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据题目中的数据，可以得到恰好选出1人喜欢乐器的概率．(1)在这次调查中，一共抽查了学生人数为：8÷16%＝50（名），其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：×100%＝24%，喜欢“戏曲”的人数为：50﹣12﹣16﹣8﹣10＝4（名），∴扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：360°×＝28.8°，故答案为：50，24%，28.8；(2)由（1）得：喜欢戏曲的学生有4名，补全的条形统计图如图所示；(3)∵某班8位同学中，2人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，李老师要从这8人中任选1人参加学校社团展演，∴恰好选出1人喜欢乐器的概率为＝，故答案为：．【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运