衡水内部资料-高中数学-双曲线（解析版）

3.2.2双曲线

思维导图

i.求双曲线离心率的常见方法：

(1)依据条件求出a,c,利用e=-

把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为类一元二次方程

(1)在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.

①A>0时，直线与双曲线有两个不同的交点；

②A=O时，直线与双曲线只有一个公共点；

③A<O时，直线与双曲线没有公共点

(2)当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线

与双曲线有一个公共点

直

线与

线

曲

双注意：直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件

置

位

的

系

关直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上,

可用直线演率与渐近的率1:匕较.

-bb

对于实物在*轴上的双曲线，若因>，则交在同一支上；若IM<-

则同两.

若直线过焦点，贝向考虑用双曲线的定义.

方法一求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长

联立方程、整理一元二次方程、韦达定理、代入弦长公式

弦长

方法二

弦长=J1+&25(a+*2>-4*产2yi+yz^Y虏%

常见考法

考点一双曲线的离心率

【例1】（2020•云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1,a,81成等比数列，则圆锥曲线/+乙=1

a

的离心率是（）

A.如或豆1B.6或如C.空D.1或10

3333

【答案】A

2

【解析】由1,a,81成等比数列有：a=81.所以a=±9，

2

当。=9时，方程为丁+上.=1,表示焦点在y轴的椭圆，

9

其中q=3,C|=79-1=2V2.故离心率0=幺=2也；

a}3

当a=—9时，方程为*-二=1,表示焦点在x轴的双曲线，

9

其中。2=1,。2=>/百3=’而，故离心率0=且=故选择A

a2

!常见有两种方法：①求出&c,代入公式e=£；②只需要根据一个条件得到关于。力,c的齐次式，转j

!化为a，。的齐次式，然后转化为关于，的方程:不等式），解方程（不等式），即可得，的取值范围）.j

【一隅三反】

1.（2020•江苏南京）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4g，0）到双曲线C：二一匕=1的一条渐近线

a-9

的距离为6,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.4C.72D.73

【答案】A

22io/Q

【解析】双曲线C：=一匕=1的一条渐近线为3%-欧=0,则零_=6,解得。=百，

/9^9^

aV3

22

2.（2020•贵州省思南中学高二期末（理））已知耳、工为双曲线C：=一与=13>0,。>0）的左、右

ab

焦点，点尸为双曲线C右支上一点，|「与|二|百巴|,/尸6工=30°,则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.V2+1c.D.6+1

2

【答案】C

，:NP耳工=30。

.•.归耳|=2辰

,,,由双曲线焦半径公式知|「制=exp+a=26c|桃|=exp-a=2c

，2a=2&-2c

1V3+1

故选c.

V3—12

3.（2020•全国）已知月，工为双曲线G：二—*=1的焦点，P为x?+y2=。2与双由线G的交点，且

有tanNP耳玛=；，则该双曲线的离心率为（）

A.叵B.比C.叵D.V2

523

【答案】C

【解析】由题意知/耳「舄=90。，

在6中，tanNPF冉=；,可设Pg=机，则P£=4相，

由勾股定理得，万加=2c,

又由|P耳|一|「周=2a得2a=3m，所以e=£=姮.

a3

故选：C

22

4.（2020•沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线「y=1（a>（）,8>0）的一条渐近线经过点（L—2）,

丁

则该双曲线的离心率为（）

A.百B.好C.75D.2

2

【答案】C

22

【解析】•••双曲线2r-二v=13>0力>0）的一条渐近线经过点（1,—2）,

ab

・・•点（1,-2）在直线y=—2x上，

a

.，=2.

a

则该双曲线的离心率为e

故选：C.

考点二直线与双曲线的位置关系

【例2】已知双曲线『一?=1,问当直线/的斜率上为何值时，过点P（l,l）的直线/与双曲线只有一个公共

点.

【答案】见解析

【解析】①当直线/的斜率不存在时，直线/：X=1与双曲线相切，符合题意.

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为—1）+1,

代入双曲线方程，得（4一Q）/一（2%-2严取一好+2%—5=0.

当4—F=0,即火=±2时，直线/与双曲线的渐近线平行，直线/与双曲线只有一个公共点.当4一斤现时,

令4=0,得仁宗

综上可知，当2=|或々=±2或直线/的斜率不存在时，过点。的直线/与双曲线都只有一个公共点.

直线与双曲线相交应考虑交在同一支上,还是交在两支上，

可用直线的斜率与渐近线斜率匕曲.

bb

对于实轴在x轴上的双曲线，若四＞一，则交在同一支上；若IM＜一，

aa

•则交在两支上.

若直线过焦点，则可考虑用双曲线的定义.

【一隅三反】

1.（2018•福建高二期末（理））若直线y==kx+2与双曲线x2—y2=6的右支交于不同的两点，则k的取

值范围是（）

（岳61

A.一〒'〒B.0,-----

k3）

小。〕

c1n。十（亍后刃］

c.

【答案】D

【解析】把y=fcv+2代入,2=6,得/P一（依+2户=6,

1-二力0

△＞0,

化简得（1-攵2）为2—4日-10=0,由题意知＜玉+々＞0，

%1­X2＞0,

16%2+40（l-公）＞0,

解得一2（—＜A：＜-1.

\-k23

-10

\-k2

答案：D.

2.（2020・天水市第一中学高二月考（理））直线/：y=丘+1与双曲线C：/一丫2=2的右支交于不同的

两点，则斜率左的取值范围是（）

B.（-1，1）

【答案】C

%22=2

【解析】由＜,一可得，（1一公）x2-2"一3=0，因为直线/:y="+l与双曲线C:Y—y2=2

y=Ax+1

4左2+12（1—左2）〉o

解得—逅＜%＜—1,所以斜率%的取值范围是

交于不同的两点，所以,

2

近一1

故选C.

3.（2020•四川资阳）直线/：船一丫一2%=0与双曲线—^=2仅有一个公共点，则实数A的值为

A.-1或1B.-1

D.I,-1,0

【答案】A

（解析】因为直线/：kx-y-2k=0过定点（2,0）,而直线/：kx-y-2k=0与双曲线/一产=2仅有一个公共点，

所以直线/：丘一丫一2%=0与双曲线渐近线平行，即实数A的值为一1或1,选A.

4.（202。宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x2一炉=2的右焦点作直线/交双曲线于4,B两点，若|AB|

=4,则这样的直线/的条数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】设4和弘),B(x2,y2)

当直线/与x轴垂直时，|AB|=4,满足题意

当直线/与x轴不垂直时，设直线/：y=k(x-^),

联立直线与双曲线方程得：<)-'("一石)，整理得：(22)/+2省人2%一3k2一2=(),

2—

所以内工2='X]+工2='又|4却=Jl+>J(X[+龙2)2—4„

3炉+2

-4x=4)解得：k=+—^

k2-22

综上：满足这样的直线/的条数为3条

考点三弦长

【例3】(2019•全国高三课时练习)过双曲线土一21=1的右焦点尸2,倾斜角为30。的直线交双曲线于A,

36

8两点，。为坐标原点，Fi为左焦点.

⑴求|AB|；

⑵求AAOB的面积.

1X10

【答案】(1)；(2)-^-^3.

【解析】(1)由双曲线的方程得。=豆，。=逐，:.da2+及=3,外(一3,0),&(3,0).

直线AB的方程为y=4*—3).

_5八

y=W(九-3)

设A(xi,yi),3(x2,”)，由<消去y得5r+61-27=0.

片上1

36

627

/.X]+x2g,西•々=--—■

24

二|阴=11+在T(x,+X2)-4%&]=

3J

（2）直线A8的方程变形为瓜一3y-3e=0.

1-35/313

.••原点0到直线AB的距离为d

J（百f+（-3）22'

o1IAn\J116/T312[T

SVAOB=-|AB|-J=-x—>/3x-=—<3.

【一隅三反】

1.（2020.全国）已知直线丫=1«+1与双曲线f一g=1交于A,B两点，且|AB|=8j],则实数k的值

为（）

B.土百或土31

A.±77

3

D.+^-

C.±73

3

【答案】B

【解析】由直线与双曲线交于48两点，得左。±2,将丁=船+1代入*2一匕=1得

4

（4一炉）/一2立一5=0,则八=4二+4（4—〃）x5>0,即&2<5.

2^5

设A（X]，X）,5（入2，%），则X+工2=----T，XIX2

今—K

；.[4创=Jl+公=8及

k—+y/3或Z=+.故选B.

3

2.（2018•全国高二课时练习）求双曲线九2一二=1被直线y=x+l截得的弦长.

4

【答案】-V2

3

/_£=12

【解析】由彳4，得4f—（x+i）2一4=0,即3f—2x—5=0.（*）

y=x+l

25

设方程（*）的解为』，了2，则有4+工2=§，%々=一§

故d=V2|xj-x\=血小(%+/)—4中2=血・

2|6

22

3.（2020•邢台市第八中学高二期末）已知双曲线C：4-3=1（。＞0力＞0）的离心率为点（6,0）是双

ab~

曲线的一个顶点.

⑴求双曲线的方程;

（2）经过双曲线右焦点尸2作倾斜角为30。的直线，直线与双曲线交于不同的两点A,B,求|AB|.

【答案】⑴：V”⑵*

丫22

【解析】（1）因为双曲线C：二一七=1（。＞0力＞0）的离心率为6，点（6,0）是双曲线的一个顶点，所以

才b

解得c=3,b=n，所以双曲线的方程为反-反=i

a=636

V2V2

（2）双曲线3•一,=1的右焦点为6（3,0）

所以经过双曲线右焦点B且倾斜角为30。的直线的方程为y=¥（x—3）.

627

设A（X2J,3a2，%），则

Xj+%2=一~?Xj%2=一

5

所以|AB|

4.（2020•宾县第二中学高二期末（文））已知曲线C:/-y2=I及直线/：丁=依-1.

（1）若/与C左支交于两个不同的交点，求实数左的取值范围；

（2）若/与C交于AB两点，O是坐标原点，且AAO3的面积为&,求实数Z的值.

【答案】⑴卜逝,-1）；⑵攵=0或&=±半

22_]

"一’一1消去V,得（1一%2）/+26一2=0.

【解析】（1）由《

y=kx-\、'

v/与C左支交于两个不同的交点

.12Ho2k

。，3=-1

,,△=4-+80-炉）＞0"—-20

••.%的取值范围为卜夜,-1）

2k2

（2）设A（%,y）、6（孙%），由⑴得％+》=_

乂/过点0（0,—1）,SAW=万人―百=3•

2

.-.（X,-X）2=（2V2）2,即卜吕）8

2I+=8-

\-k2

左=0或左=±.

2

考点四点差法

22

【例4】（1）（2020•黑龙江南岗）已知双曲线C：鼻一2=1（。>（）/>0）,斜率为2的直线与双曲线。相

a~b

交于点A、B,且弦AB中点坐标为（1,1），则双曲线C的离心率为（）

A.2B./C.V2D.3

2

（2）（2020.河南南阳.高二其他（文））直线/经过尸（4,2）且与双曲线=1交于〃，N两点，如果

点P是线段MN的中点，那么直线/的方程为（）

A.x-y-2=0B.x+y-6=0

C.2x-3y-2=0D.不存在

(3)(2019•黑龙江大庆四中高二月考(理))己知双曲线上-)？=1与不过原点。且不平行于坐标轴的直

2

线/相交于两点，线段MN的中点为P,设直线/的斜率为左，直线OP的斜率为网，则人人=

A.—B.--C.2D.—2

22

【答案】(1)B(2)A(3)A

2222

【解析】⑴设A(%,%)、B(x2,y2),则乌一冬=1,与—与=i,

a~h~a~b~

所以"="，所以4=1x±也，

a~b~-x2a~弘+x2

又弦AB中点坐标为(1,1)，所以％+々=2,y+必2,又=2,

x]-x2

所以2=即与=2,所以双曲线的离心率e=£=、与=、学』+与=后=6

故选：B.

(2)当斜率不存在时，显然不符合题意；

当斜率存在时，设M(王，y)，N(%,%丁

因为点P是线段MN的中点，所以~+%=8,y+%=4，

2

,Xv12_1

7Z■—>v1T

代入双曲线方程得1：，两式相减得片一只=2(才一£),

则％=人上=端~F=I，又直线过点七所以直线方程为y=x—2,

为一工22(x+%)

炉2

联立，2'，得到f一8%+10=0，经检验/>0，方程有解，

y=x-2

所以宜线y=x—2满足题意.故选：A

2

(3)设直线1的方程为》=占尤+。，代入双曲线方程二—y2=l

2

设+匕）,7^（%2，匕%2+）），则N（'）+〃

、22?

,,2b11

则&=仁+------=—,故勺•&2=一，故选A.

玉+x22K,2

【一隅三反】

22

1.（2020•青海西宁）已知倾斜角为四的直线与双曲线C=1（。＞（）,/?＞（））相交于A,8两点,

4a2b1

M（4,2）是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（）

A.76B.73C.-D.如

22

【答案】D

22

【解析】因为倾斜角为;的直线勺双曲线C：与―4=1（。＞0,匕＞0）相交于A,B两点,

4a2b2

TT

所以直线的斜率&=tan—=l,

4

设A（石,乂）,8（生必），

22

则与—与=1①

a2b2

22

与-q=1②

a2b2

由⑴一②得（4-9）,+々）=（x-%）（X+%）

a2b2

…Vi-yb1%,+

则k"）92=f」_2_

X,-x2a-M+%

因为例（4,2）是弦AB的中点，

xt+x2=8,y+%=4

因为直线的斜率为1

,b2