高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (十)(含解析)

第八章第4节《空间点'直线'平面之间的位置关系》解答题(10)

1.用符号表示下列点、线、面的关系.

(1)直线4与直线6平行；

(2)直线/与平面a平行；

(3)平面a与平面0平行；

(4)直线/与平面/?垂直.

2.如图，三棱锥P-48C中，P4=PC,4B=BC,ZJPC=120°,^ABC=90°,=V3PB.

(1)求证：AC1PB,

(2)求直线4c与平面PAB所成角的正弦值.

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，P4J"平面ABC。，AD1CD,AD//BC,PA==CD=2,

BC=3.E为的中点，点F在PC上，且£=：.

G

B

(1)设点G在PB上，且9=j求证：A,G,E,F四点共面;

rD3

(2)求二面角尸-AE-P的余弦值.

4.在四棱锥P-HBCD中，四边形ABC。为平行四边形，三角形APB为

等腰直角三角形，PA=PB,己知力。=y/2,AB=2,PDLAB,PC=

V5.

(1)求证：BDLAD；

(2)求四棱锥P-ABC。的体积.

5.如图所示，在四棱锥P-ABC。中，P4_L底面ABC。，ABLAD,AC1CD,/.ABC=60°,PA=

AB=BC,E是PC的中点，证明:

(1)4E1CD；

(2)PD_L平面ABE.

6.给出如下点、线、面的图示.

(1)如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系？

(2)如何用数学符号语言表述上述关系？

7.如图，-ABCD,PALnABCD,AD//BC,AD1CD,且4。=。0=夜,8。=

2®PA=2.

(1)求证：AB1PC；

(2)在线段PO上，是否存在一点M,使得二面角M—AC-D的大小为45。，如果存在，求

与平面MAC所成角，如果不存在，请说明理由.

8.如图所示，在长方体力BCD-4B1GD1中，直线B/i与长方体

的六个面之间的位置关系如何？

9.如图，已知平面a和/?相交于直线/，点4Ca,点86a,点Ce.，/在

且AC/,CW/,直线AB与/不平行，那么平面4BC与/A*/

平面/?的交线与/有什么关系?证明你的结论.V------------------(

.c(3

10.如图，平面a,B，y满足a〃夕，any=a,BCy=b,判断。与b,a与

£的位置关系并证明你的结论.

11.如图，在四棱锥P-4BCD中，P4JL平面A8CC,P4=AB=2,BC=CD=1,PC=3,CO1BC.

(1)求证：四边形ABC。是直角梯形;

(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

12.如图，在正方体4BCD-AiBiGDi中，EF与异面直线AC,4。都垂直.求证:EFf/BD^

13.如图,在直三棱柱ABC-A%G与四棱锥。-441GC中,AM/Bg儿。=ZBCDQ所

确定的平面交BBi于点E

（回）证明:直线4E,4/i，0Q交于一点;

（团）若三棱柱ABC-4/1Ci的体积为18,求四棱锥A-BCCiE的体积.

14.如图，底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA1面ABC。，^ABD=60。，E为PC上一动点,

PA=AC.

(1)求证：BD1.AE-,

（2）求AD与平面PBD所成角的正弦值.

15.如图，在四棱锥P-4BC。中，平面P4。_L平面ABCZ）,四边形ABC。是边长为2的菱形，且

^BAD=p△PAD为等边三角形.

(1)求证：PBLAD；

(2)求二面角D-PA-C的正弦值.

16.四棱锥P-4BCD中，底面ABC。为直角梯形，CD//AB,/.ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,

侧面PAD，平面ABCD,PA=PD=2.

(1)求证：BD1PA-,

(2)已知平面尸4。与平面P8C的交线为/,在/上是否存在点N,使二面角P-DC-N的余弦值

为”若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由.

17.已知空间四边形ABCD的对角线4c=20,B。=19,异面直线AC与8D所成的角的余弦值为橙

点尸，Q,M,N分别是48,BC,CD,D4的中点.

A

(1)求证：四边形PQMN是平行四边形;

(2)求四边形PQMN的面积.

18.如图所示，四边形ABEF和ABCO都是直角梯形，/.BAD=/.FAB=90°,BC//AD,BC=^AD,

BE//FA,BE=\FA,G,H分别为FA,的中点.

(1)证明：四边形5C//G是平行四边形;

(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么？

19.如图，在正方体48co-41当6。1中，E,F分别为441，CQ的中点，求证：四边形BF/E是

平行四边形.

20.如图，已知长方体4BCD-&B1GD1中，4力=48,E,尸分别是

BO1和4。的中点，求证：CDr1EF.

【答案与解析】

1.答案:解：(l)a〃b;

31〃a；

⑶a〃伙

(4)/1/?.

解析：由平行和垂直的符号，表示即可.

本题考查运用符号表示线线、线面和面面的位置关系，考查数学抽象概念，属于基础题.

2.答案：(1)证明：取AC的中点O,连接PO,B0,因为PA=PC,所以P01AC.

因为4B=BC,所以B。LAC.

因为POCBO=O,POu平面POB,BOu平面POB,所以ACJ■平面P08,

所以4c1PB.

(2)解：不妨设AC=2V3.因为AC=V3PB，则PB=2,因为4B=BC,AABC=90°,贝加。=AO

-AC=V3.

2

因为PA=PC,^APC=120°,则N4P0=60。，在RtAPOA中，PO=A0=1,

tan60°

因为8。2+PO2=PB2=4,所以P。1BO.

因为P014C,ACCtBO=0,ACu平面ABC,BOu平面ABC,

所以PO_L平面ABC.

以。为坐标原点，OB,OC,OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系。一xyz,

则力（0,-B,0），8（悔0,0）,C（0,V3,0）,P（0,0,l）,

AB=（V3,V3,0）,AP=（0,V3,l））AC=（0,2V3,0）.

设平面PAB的法向量为记=（x,y,z）,则［n-AB=>/3x+y/3y=0

Vn-AP=V3y+z=0

令2=b，则y=-1,%=1,故祠=V5）

则cos（元,=:能।=二"J=一二

、，/\n\-\AC\V5X2X/35

记直线4c与平面尸48所成角为。，则sinO=|cos值，前

所以直线AC与平面PAB所成角的正弦值为匹.

5

解析：本题考查异面直线垂直的证明，考查利用空间向量求线面的夹角，空间中直线与直线，直线

与平面的位置关系，属于中档题.

(1)取AC的中点。，连接尸O,B0,即可得到P014C,再证明B0J.4C,结合线面垂直的判定定理

即可得到AC工平面POB,进而得证AC1PB.

(2不妨设4c=2b，求出B。和P0的值，可知据BO2+PO2=PB2=4,即P01B。，再根据线面

垂直的判定定理即可得到PDJ■平面ABC.以。为坐标原点，OB,0C,分别为x轴，y轴，z轴建

立如图所示空间直角坐标系。-xyz,分布求出各点坐标，即可得到肉=(V3,V3,0),^P=(0,V3,l)-

AC=(O,2V3,O),求出平面P4B的法向量为记=(1,—1,旧)，即可得到记与左夹角的余弦值，进而求

解直线AC与平面PAB所成角的正弦值.

3.答案：解：(1)证明：取CF的中点M,连接MG,

讪上PGPM2

则有而=7

所以MG=-BC'

3

由题意得力。=-FC.

3

故40=MG'

所以四边形AOMG为平行四边形，

所以AG〃MD,

因为E,F分别是PD,的中点，

所以EF〃MD,

所以EF〃4G,

故4、G、E、尸四点共面；

(2)如图，以4为坐标原点建立空间直角坐标系，

E

D

B

则4(0,0,0),尸(|，|彳)，E(0,l,l),P(0,0,2),

所以荏=（0,1,1），犷=（!，!，》•

设平面AEF的法向量为汨=。［，月/］）,

Jn^-AE=y1+z1=0

1m'f苏•而=|%i+|yi+|zi=0'

＜：：：：：«

不妨令Z］=-1,

得汨=（1,1,一1）.

而易知平面PAE的一个法向量为荻=（1,0,0）,

则8S何同=器=今

由图可知二面角F-AE-P为锐角，

所以二面角F-AE-P的余弦值为立.

3

解析：本题主要考查了空间点、线、面的位置关系，以及利用空间向量求二面角的大小.属于中档

题.

⑴取C尸的中点M,连接MD,MG,利用已知条件得到四边形AOMG为平行四边形，所以4G〃MD,

又EF“MD,利用平行线的传递性，即可证出结论；

（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知条件写出点的坐标和向量的坐标，设平面

AEF的法向量为声=（匕,'1/1）,求出法向量可=（1,1,一1）,易知平面PAE的一个法向量为布=

（1,0,0）,代入cos（福•，芯）=焉篇，即可得出结果.

4.答案：（1）证明：设A8的中点为£,连接PE,DE,

•••△PAB是等腰三角形,PA=PB,.-.PELAB,

XvABJLPD,PDCPE=P,ABPED,

则4B1DE,BD=AD=V2.

•；AB=2,.•.△ABD是等腰直角三角形，且BDJ.4D；

(2)解：由(1)可知AB±平面PED,而ZBu平面ABD,

二平面PEO1平面ABD,

又•：PC=或,CD//AB,：.CDLPD,得P。=1.

又PE=DE=1,PDE为正三角形，

设OE的中点为0,则P。1平面ABCD,且P0=叵,

2

S四边形ABCD=AB.DE=2，

•••四棱锥P-ABCD的体积U=工x2x立=3.

323

解析：(1)设48的中点为E,连接PE,DE,证明ABJL平面PE。，可得ZB1DE,进一步可得△ABD

是等腰直角三角形，得BD_L40；

(2)由(1)可知AB，平面PED,得到平面PEO_L平面ABD,设QE的中点为0,贝UP。_L平面ABCD,

求得P0=在，再求出底面四边形A8CD的面积，代入棱锥体积公式求四棱锥P-ABC0的体积.

2

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，

是中档题.

5.答案：证明：(1)•••PA1底面ABCD,CDu底面ABCD,

CD1PA.

又CD1AC,PAOAC=A,PAcffi]PAC,ACc®PAC,

CDIffiPAC,AEu面PAC,

•••CDLAE.

(2)P4=AB=BC,乙ABC=60°,

PA=AC,E是PC的中点，

AE1PC,

由(1)知CD1AE,PCr\CD=C,PC,CDu平面PCD,

AE1面PCD.

"PDu平面PCD,

AE1PD.

PA1底面ABCD,ABu平面ABCD,

AB1PA.

又AB1AD,PADAD=A,PAu平面PAD,ADu平面PAD,

ABJ■平面PAD.

PDu平面PAD,

BA1PD.

vAEA.PD,ABCtAE=A,AB,AEa[SiABE,

PD1面ABE.

解析：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想

象能力和推理论证能力，属于基础题.

(1)由PA1底面ABCD,可得CD1PA,又CDA.AC,故CDL面PAC,从而证得CD1AE.

(2)由等腰三角形的底边中线的性质可得AE1PC,由(1)知CD1AE,从而AE，面PCD,AE1PD,

再证AB1PD可得PD1面ABE.

6.答案：解：(1)图⑴：点A在平面a外，点8在平面a内，直线/经过点4,B,直线/与平面a相交；

图(2)：平面a和平面口相交于直线a,直线8经过平面a内不在直线a上的点P,且经过平面£内不在

直线。上的点。；

(2)图(1)：Aea,Bea,AeI,Bel,，na=B；

图(2)：aC°=a,P0a,Q生a,PEa,Qe。,P&b,Q€b,bda=P,bC0=Q.

解析：(1)结合图象以及相对应的位置进行描述即可；

(2)规范使用符号进行表示，点和直线的关系用6,占点和平面的关系用W,C，直线和平面的关系

用U,0.

本题主要考查了点、线、面的位置关系，熟悉位置关系符号的表示是解题的关键，侧重考查符号语

言和图形语言的相互转化，属于基础题.

7.答案：证明：(1)如图，由己知得四边形A8C。是直角梯形，

由已知4。=CD=V2.BC=2y12,

可得△ABC是等腰直角三角形，即4B14C,

又PA平面4BC£>,则PA1AB,又APCl力C=4,所以力B_L平面PAC,

所以ZB1PC.--------------------D

BC

解：（2）存在，观察图形特点，点M可能是线段的一个三等分点（靠近点D）,

下面证明当M是线段PO的三等分点时，二面角M-AC-。的大小为45。，

过点M作MN14D于N,则MN〃P4则MN_L平面ABCD.

过点M作MG_LAC于G,连接NG,

则NMGN是二面角M—AC—。的平面角，

因为M是线段的一个三等分点（靠近点D）,则MN=g,AN=：夜，

在四边形ABCD中求得NG=则NMGN=45°,

所以当M是线段PD的一个靠近点D的三等分点时，二面角M-AC-。的大小为45。，

在三棱锥M-ABC中，可得除-.Be=[SA4B「MN,

设点B到平面MAC的距离是h,VB-MAC='h,

则SfBC•MN=SAMAC.h,解得h=y/2,

在中，可得BM=2A/^，

设BM与平面MAC所成的角为。，则4九8=占=；,

所以8M与平面MAC所成的角为30。.

解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思

维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题.

⑴四边形ABC。是直角梯形,推导出SB1AC,PA1AB,从而1平面PAC,由此能证明AB1PC.

（2）点M可能是线段PO的一个三等分点（靠近点。），再证明当M是线段PO的三等分点时，二面角

M—AC-D的大小为45°,设点8到平面MAC的距离是人，由〃.火,MN=•儿得八=夜，

由此能求出8M与平面MAC所成的角.

8.答案：解：为。1在平面41G内,Bi%与平面BQ,4%,CD1都相交,当皆与平面AC平行.

解析：略

9.答案：解：平面A8C与平面0的交线与/相交.

证明：AB与/不平行，且48ua,Ica,

.••4B与/一定相交.设4Bn/=P,则P64B,Pel.

XvABa5F®ABC,，u0,Pe平面ABC,Pep.

点P是平面ABC与£的一个公共点.

而点C也是平面A8C与6的一个公共点，且尸，C是不同的两点，

••・直线PC就是平面ABC与。的交线，

即平面4BCn£=PC,而PCn2=P.

平面ABC与夕的交线与/相交.

解析：本题考查两平面的交线与已知直线的位置关系的判断，属于中档题.

推导出AB与/一定相交.设ABn/=P,则PC力B,Pel,则点尸是平面ABC与0的一个公共点,

从而直线PC就是平面A8C与0的交线，由此能证明平面ABC与£的交线与/相交.

10.答案：解：a//b,a//p.

证明：因为a〃夕,aua,bu0,

所以。与b异面或平行，

又因为a,buy,

所以a〃b;

因为a〃/?,aua,

所以a〃/?.

解析：本题主要考查线面平行与面面平行的判定与性质，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.

利用利用面面平行的性质定理可得结论.

11.答案：解：(1)连接AC,因为PA_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以P41AC,

因为P4=2,PC=3,所以AC?=pc2-pA2=5,

因为4B=2,BC=1,所以4c2=AB2+BC2,所以AB1AC,

在平面ABC。中，因为COJ.BC,AB1BC,所以4B〃C0,

又因为CDHAB,所以四边形ABC。是直角梯形.

(2)在平面PAC内过C作CF〃PA,则CF1平面ABCD,

由(1)知CD1BC,所以以C为原点，CD,CB,CF所在直线分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示：

A

y

则C(0,0,0),D(l,0,0),B(0,l,0),4(2,1,0),P(2,l,2),

则而=(-2,0,-2)，PD=(-1,-1,-2).CP=(2,1,2).

设平面PBC的一个法向量为元=(x,y,z),

.,(n-PB=0(2%+2z=0

%m.CP=0,叫pi]2x+y+2z=0，

令z=l,则y=0,x=—1,则元=(1,0,-1)，

设直线PO与平面P8C所成的角为a,

所以sina=|cos(PD,n)|=-7^-7==

所以直线P。与平面P8C所成角的正弦值为立.

6

解析：本题考查直线与直线垂直的判定，直线与平面所成角的求法，考查计算能力，属于中档题.

(1)证明2414C,求出AC的值，由4c2=AB2+BC?,可得431AC,进而可得48〃C。且CO丰AB,

即可证明；

(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz,求出相关点的坐标，平面PBC的法向量，设尸。

与平面尸8c所成角为a,利用空间向量求解尸。与平面PBC所成角的正弦值.

12.答案：证明：如图所示，连接A/,BCBD,------------不]

因为叫J■平面4BCO,ACu平面ABC。//

所以DDi1AC,

又因为BD14C,D%CBD=D,

所以4cJ_平面3。。近1，

所以AC1BDi，

同理可证HD[1B]C,

又ACflBiC=C,

所以L平面4B1C.

因为EF1ArD,又A\D“B\C,

所以EF1BC

因为EF1AC,4CnBiC=C

所以EF!_平面48传，

所以EF〃BD「

解析：本题考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

连接ZBi，BCBD,由线面垂直得DDi14C,由BDJLAC,得ACJLBD「同理可证BD】_LB】C,

从而BO】_1_平面48传，再由EFJ＞平面4B]C,能推导出EF〃BD「

13.答案：证明：(I)因为B1CJ/4D,且4iD=2BiG，

设与。G交于一点。，则。是平面力DCF与平面4BB14的交点,

又因为平面力DGE与平面的交线为AE,

所以。在直线AE上，

所以AE,4当，DC1交于一点.

(口)由(I)可知翳=翳=警，

设BiG-a,EB]—b,

点4到平面BCGBi的距离为b,

所以44i=2b,

所以％BC-AiBiG=:2b=18,即ab/i=18,

13

而SBCQE=2ab--ab=-ab,

1a

所以匕-BCQE-3'2ahb=9-

解析：本题平面的基本性质，以及棱锥的体积，属于中档题。

(I)利用题目条件，结合面面相交公理三，即可得证得；

(H)利用题目条件，与棱柱的体积，即可求得.

14.答案：解:(1)连接AC,菱形ABCDnAClBC,

又PAIffiABCD,

BDu面A.BCD,

则R41BD,

PAC\AC=A,PA,ACc®PAC

则BD，面PAC,又4Eu面PAC,

所以BO1AE

(2)设ACflBC=0,

以。为坐标原点，作。z_L砺IBC。，以汉，用，花为£,y,z正方向建系，

设AB=2,71(73,0,0),6(0,1,0),0(0,-1,0),P(V3,0,273).DB=(0,2,0),AD=(-V3,-1,0),DP

(遮,1,2b)，

设平面PBD的法向量为元=(%,y,z),

又j元•"=0='回+y+2V3z=0今元=(-2,0,1)

(n»DB=0I2y=0

设AO与平面PB。所成角为0,sin0=^=西，

v5x25

所以40与平面P8O所成角的正弦值为叵。

5

解析：本题考查了线面垂直的性质即判定，考查线面角问题，是一道中档题.

（1）结合菱形的性质，根据线面垂直推出线线垂直即可；

（2）建立坐标系，根据AE是平面尸30的一个法向量，代入公式求出即可.

15.答案：证明：（1）取AO的中点。，连结OP,OB,

因为△PAD为等边三角形，所以POJ.AD,

因为四边形ABC。是边长为2的菱形，且

所以△BAD为等边三角形，所以BO1AC,又OPCOB=B,所以40_L平面POB,

所以401PB.

解：（2）因为平面24。_L平面A8CD,

平面PADn平面2BCD=/W,POA.AD,OPu平面PAD,

所以OP1平面ABCD,

所以以｛成，而，灰｝为基底建立空间直角坐标系。-xyz,

因为△??!£）为等边三角形，△BAD为等边三角形，AD=2,

所以OP=OB=百，

因为平面P4D•!"平面ABCD,平面PADn平面4BCC=AD,BOLAD,BOu平面ABCD,

所以B。JL平面PAD,所以布=(0,g,0)为平面PA。的法向量，

因为Q=(-l,0，V3)>AC=(-3,V3,0)>

设元=(x,y,z)为平面PAC的法向量，

则巴.亚=0,即卜:+啤=0亦即卜=土,

5.4C=0(-3%+V3y=0{y=V3x

所以取记=(b,3,1),

3\[33

所以cos<n,OB>=

V3XA/3+9+1而

设二面角。一P/-C的平面角为仇

所以sM9=J1一看=警,

所以二面角0-P4-C的正弦值为独1

13

解析：【试题解析】

本题考查了空间儿何体中的直线与平面的位置关系，直线与直线的垂直，运用空间向量求解二面角

大小，关键是求解法向量，属于中档题.

(1)取8。的中点O,连结OP,OB,根据题目条件得出：POLAD,BBOLAD,即可得出40_1_平

面PO8,进而得证结果.

(2)分别以6?，0B.而为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，证明函=(0,遮,0)为平

面PA。的法向量，设平面PAC的法向量为k=(x,y,z),利用向量的数量积求解夹角的余弦值，进

而可得正弦值.

16.答案：(1)证明：取4。的中点E,连接PE,

vCD//AB,/.ABC=90°,ABCLCD,

BC=CD—2,BD=2V2,乙CBD—45。，

•••^DBA=45°,AD=VBD2+AB2-2BD-AB-cos^DBA=2&，

•••AD2+BD2=AB2,：.AD1BD,

PA=PD,E是4力的中点，PE14D,

•••平面PAD_L平面ABC。，平面R4Dn平面4BCD=孙PEc5?®PAD,PELAD,

PEJL平面ABCD,PE1BD,

又ADnPE=E,ADu平面PAD,PEu平面PAD,

BD，平面PAD,又u平面PAD,

BD1PA.

(2)解：延长BC,AD,设BC的延长线和A。的延长线交点为M,连接PM,

则平面PAD和平面PBC的交线/为直线PM,

以B为原点，以84、BM、平面48CZ)的过点8的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz,

则P(3,LV2),C(0,2,0),£>(2,2,0),M(0,4,0),

ACD=(2,0,0),'PD=(-1,1.-V2),PM=(-3,3,-必，

设丽=APM=(-3A,3A,-V2A),则而=PA7-PD=(1-3A,3A-1,V2(l-4)),

设平面PCD的法向量为记=%,月,zj,则何,曳=°,即产二°万.

^m-PD=0t-xi+yi-V2z1=0

令zi=1可得]=(o,V^,i),

设平面crw的法向量为记=(小,、2*2)，贝I伊,曳二°,即

(元•ON=0

(2X2—0

t(l-3A)X2+(3A-l)y2+V2(l-A)z2=0'

令丫2=V2可得前=(0,y/2,，

一h、_沆灰_2+TT

cos<

|24-1-3-|1

若二面角P-DC-N的余弦值为j则一i=9

38xj2+(号)2

解得:或;I=[,

令布•元=0可得2=0，解得4=I，

1—A5

故当0</1<|时，二面角P-。C-N为锐二面角，当寸，二面角P-DC-N为钝二面角,

•••A=i,即在直线/上存在点M当N为PM的中点时，二面角P—DC-N的余弦值为也

解析：(1)根据勾股定理的逆定理证明AD1BD,结合侧面PAD1面A8C。可得BDJ•平面PA。，于

是BD1P4；

(2)作出直线/,建立空间直角坐标系，设丽=2而，求出平面PCQ和平面CLW的法向量，根据

二面角P-DC-N的余弦值为1列方程计算；I的值得出N的位置.

本题考查了线面垂直的判断与性质，考查空间向量与二面角计算，属于较难题.

17.答案：(1)证明因为P,。分别是AB,BC的中点，

所以PQ〃AC,PQ=\AC,

同理MN〃AC,MN=\AC,

所以PQ〃