高中数学基础知识归类基本

高中数学基础知识归类

注意：*号部分可以选看

一.集合与简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如：｛x|y=lgx｝一函数的定义域；｛yly=lgx｝一函数的值域；

｛（x,y）|y=lgx｝-函数图象上的点集•

2.集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集，记为A=A.

②空集是任何集合的子集，记为0=A.

③空集是任何非空集合的真子集；注意：条件为在讨论的时候不要遗忘了A=0的情

况，如：A=｛x|ax2—lx—1=0｝,如果AH*=0,求a的取值.（答：a<0）

①C〃（AB）=C”CuB,Cu（AB）=gACb,B；（A（8）「C=A（BC）:

（AUB）l,C=v4|J（B|JC）.

②AB=A^A避aG’AoACvB=0B=R.

③A3元素的个数：card（AB）-cardA+cardB-card（AB）.

④含〃个元素的集合的子集个数为2";真子集（非空子集）个数为2"-1:

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数/（%）=4--2（p-2）x-2p2-p+1在区间［一1,1］上至少存在一个实数c,

使/（c）>0,求实数〃的取值范围.（答：（-3*））

2

4.原命题：p=q：逆命题：qnp；否命题：「p=—刈；逆否命题：「q=—0；互为

逆否的两个命题是等价的.如：“sinawsin/?”是“aw尸”的条件.（答：充分非必要

条件）

5.若〃=>“且4H>〃，则p是q的充分非必要条件（或夕是p的必要非充分条件）.

若p=q且夕=〃，则p是q的充分必要条件（注必须两者能互推）.

不等式

1.两个实数大小的比较设a、beR,则一人>0;。<人<=>。一人<0

2.不等式的基本性质（注意推出方向）

性质1：a>b,c>dna+c>b+d（叠加性）；

性质2：a>b,a>b,c>0=>ac>bc\a>h,c<0=>ac<be（可乘性）；

性质3：a>h>0,c>d>0=>ac>bd（叠乘性，特别注意符号的限制，需满足正号）；

性质4：（可乘方性，特别注意符号的限制，需满足正号）；

性质5：a>b,ab>0=>—<—（可倒性，注意。力要同号）

ab

2,掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其

注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法.

3.掌握重要不等式，（1）均值不等式：若凡〃>0,则年（当且仅当a=b时取等号）使用

条件：“一正二定三相等“，裁用改方法为:,折"诙"，土左餐;

⑵公式注意变形如：£1^>,ab<（―）2:

222

4*含绝对值不等式：同号或有0=|a+〃|=|a|+|〃|N||a|-网|="-力|;。,力异号或有0

<^>\a-b\^a\+\b\>^a\-\b^a+b\.

5.证明不等式常用方法：⑴作差比较：A—840OA45.注意：若两个正数作差比较有困

难，可以通过它们的平方差来比较大小；(2)分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…，只

需证…；⑶反证法：正难则反；⑷最值法，如：a>/(x)最大值，则a>/(x)恒成立.a<f(x)最小值,

则a</(x)恒成立.

三.函数

1.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.

求定义域：使函数解析式有意义(如：分母wO；偶次根式被开方数非负；对数真数>0,底数

>0且01；零指数幕的底数式0)；实际问题有意义；若/(x)定义域为[邑0,复合函数

定义域由a4g(x)4b解出;若/[g(x)]定义域为|a,6],则/(x)定义域相当于xe[a,切时g(x)

的值域.

2,求值域常用方法：①配方法(二次函数类)；②数形结合：根据函数的几何意义，利用数形结

合的方法来求值域；③换元法(特别注意新元的范围).④单调性法；⑤判别式法(慎用)：

3.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；(2)代换(配凑)法：

⑶方程的思想——对已知等式进行赋值，从而得到关于/(x)及另外一个函数的方程组。

4.函数的奇偶性

⑴必须先检验定义域是否关于原点对称

⑵奇函数关于原点对称、偶函数关于y轴对称，可据此用特殊值法，例如定义域含零的奇函数

必过原点(/(0)=0)；既奇又偶的函数有无数个(如/(x)=0定义域关于原点对称即可)

⑶任何定义域关于原点对称的函数都可表示成奇函数+偶函数！

⑷奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇乂偶=奇，奇乂奇=偶，偶X偶=偶

⑸复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”

5.函数的单调性

⑴单调性针对的是定义域上的一个子区间而不是整个定义域

⑵注意理解任意性，并且是充要条件

⑶会用作差法证明单调性：作差，因式分解，判断差的符号

⑷能利用图像法，同增异减等技巧判断单调性

⑸函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

⑹复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒：求单调区间时注意定义域)

如：函数y=logj(—f+2x)的单调递增区间是.(答：(1,2))

6.函数图象的几种常见变换

⑴平移变换：左右平移----------“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下

减”(注意是针对/(x)而言).

⑵翻折变换：/(X)T/(x)l；f(x)^f(]x\).

⑶对称变换：①证明图像G与G的对称性，即证G上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在

c2上，反之亦然.

②函数y=/(x)与y=/(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称；函数y=/(x)与函数

y=/(-x)的图像关于直线y=0(x轴)对称；函数y=/(幻与y=的图像关于原点

成中心对称

③函数y=/(x)与函数y=J-。)的图像关于直线y=x对称：

④若函数y=/(x)对xeR时，f(a+x)=f(a—x)或/(x)=/(2a-x)恒成立，则y=f(x)图像

关于直线x=a对称；若y=/(x)对尤£R时，/(〃+1)=恒成立，则y=f(x)图像关

于直线x=i对称；

2

⑤函数y=/(x),y=n-f(m-x)的图像关于点('，)对称；

22

⑥曲线G：/(x,y)=O关于点(〃,力的对称曲线G方程为：f(2a-x,2b-y)=o.

曲线G：/(x，y)=O，关于y=x+〃，y=-x+a的对称曲线。2的方程为

/(y—a,x+a)=0(或f(—y+a,—x+a)=0;

7函数的周期性:(1)若y=/(%)对R时/(x+a)=/(x-a)恒成立，则/(%)的周期为2|々|;

⑵若y=/(x)是偶函数，其图像又关于直线X=a对称，则/(此的周期为2|。|;

⑶若y=/(x)奇函数，其图像又关于直线X=a对称，则/(X)的周期为4|a|;

⑷若y=y(x)关于点(00),e0)对称，则/(%)的周期为2|0—川;

(5)y=/(x)的图象关于直线％=〃，％=仇〃。与对称，则函数y=/(x)的周期为21a-加：

(6)y=f(x)对xeR时，f(x+a)=-f(x)或/(x+tz)=--1―,则y=/(x)的周期为2|a|;

f(x)

n

8,对数：⑴\ogab=\oganb(4>0,。。1乃>0,〃£氏+);⑵对数恒等式

a*w=N(a>0MWl,N>0);(3)对数换底公式log.N：108^(a>0,aHl,6>0,b*l);

log"a

M

⑷log„(M-N)=logoM+log„N;log”一=log„M-logMN;log«M"=〃log“M;推论:

N

log“VM=1log„M;loga-log,c•log,,a=1nlog((1a2-log(,；/-log%a„=log((1an.

(以上”>0,N>0,a>0,a^],b>0,bl,c>0,c\,a},a2,an>0且4,%,an均不等于1)

9.方程k=/(x)有解okwD(。为f(x)的值域)：a>/(x)恒成立=a2"(x)]摄人值，

a<f(x)恒成立oa<"(x)]最小值.

10.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；

⑶数形结合

11.二次函数解析式的三种形式：①一般式：/(x)=a?+bx+c(aH0)；②顶点式：

2

f(x)-a(x-h)+k(a^0);③零点式：f(x)=a(x-x})(x-x2)(a0).

12.二次函数在闭区间上的最值，：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

13.一元二次方程实根分布：先画图再研究开口，A>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号；

14.复合函数：(1)复合函数定义域求法：若/(幻的定义域为[a,旬，其复合函数/[g(x)]的定义

域可由不等式a4g(x)解出；若/[g(x)]的定义域为[。向，求的定义域，相当于

可时，求g(x)的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.

15.对于反函数，应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数：⑵奇函数的反函

数也是奇函数；(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；

(5)互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；(6)y=/(x)与y=/T(x)互为

反函数，设/(x)的定义域为A,值域为8,则有/[7-'(x)]=x(xeB),f'[/(x)]=x(xGA).

16.函数丫=^^9*0,44工机,)的图像是双曲线：对称中心是点(-4,@)：

cx+dcc

17.函数y=ax+-(a>0,b>0):增区间为(一叫一,内)，减区间为0),(0,

函数/（x）=—在区间（-2,+00）上为增函数，则实数4的取值范围是络：力））.

x+2

四.数列

1,等差数列｛。〃｝o一《I=d（d为常数）=2an=an+l+4T（n>2,neN*）;

2

<=>a=an+b（a=d,b=a,-d）<=>Sn=An+Bn（A=-,B=a--）;

22

ama,1

n=am-v（n-m）d,d=-~-:①S〃=〃（%：％）②=叫+〃（耳1）（/

m-n22

2.等差数列的性质：

①若｛6｝、依｝是等差数列，则｛3,,+也｝（左、f是非零常数）是等差数列；

②，〃+〃=/+%=>a,“+综=4+a*特别地，当m+n=2pHt,有am+an-2a”

③等差数列的黑,$2,”一6“,53,“-52„,,仍是等差数列；

④首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等

式

Q20ftz<0

\n~（或"一）.也可用S,,=A〃2+8〃的二次函数关系来分析.

K.^oK,>（）

⑤若an=m,am=n（m丰ri）,则am+n=0;若S“=m,Sm=n（m丰n）,则Sm+n=-｛m+附）；

若S0,=Sn（mHri）,则S»,=0；S3m=3（S2„-S,„）;Sm+n=Sm+Sn+mnd.

3.等比数列{a.}=9巴=q（qH0）oa：=an_tan+i（n>2,neN*）<^an=.

叫（q=l）〃%（g=l）

4.等比数列的性质：①；②S.=.

\-q\~q.i-q"q

④〃?+”=/+%=aman=a,ak（反之不一定成立）；Sm+n=Sm+q"'S„=S„+q"Sm.⑤等比数列

中S,“,S2,“-S,“,S3,“-S2„,,（注：各项均不为0）仍是等比数列•

5.①如果数列｛%｝是等差数列，则数列｛A%）（A”总有意义）是等比数列；如果数列｛%｝是等比

数列，则数列｛log”|为|｝（a>0,ar1）是等差数列；

②若｛（?,,｝既是等差数列又是等比数列，则｛2｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数

列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项，

那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项；

④三个数成等差的设法：a-d,a,a+d:四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d;

三个数成等比的设法：-,a,aq\四个数成等比的错误设法：二,3aq,a/（为什么？）

4（1'（1

6.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

…[0,（〃=1）.>

⑵已知S“（即4+4++a“="〃））求a“用作差法：a„=<.注意验证4是否

S"-S,i，（"N2）

包含在后面％的公式中，若不符合要单独列出

/⑴,5=1)

,

⑶已知・%=/(〃)求a“用作商法：a„=,f(n)(7?>2)

./(«-I)—

⑷若an+i-an=/(n)求a„用迭加法.

⑸已知3=/(〃)，求a“用迭乘法.

(,n

n

(6)已知数列递推式求对，用构造法(构造等差、等比数列)：①形如％=3_1+b,an=kan_,+b,

an=如吁1+a•〃+b(人力为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为人的等比数列

后，再求《.②形如q的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.

kan-\+h

7.数列求和的方法：

①公式法：等差数列，等比数列求和公式；

②分组求和法；③倒序相加；④错位相减，适用于等差乘等比数列；

⑤分裂通项法.公式：1+2+3+…+〃=』〃(〃+1);I2+22+32+.+/?=1〃(〃+1)(2〃+1);

26

13+23+33++/=［些/上。『；1+3+5++n=n2;常见裂项公式一,—=;

2n(n+1)nn+1

L=J_(1—」_)；-----1-----=!〔」---------1一］：注意等差、等比(或等差乘等

n(n+k)knn+k+2n(n+1)(〃+1)(〃+2)

比)数列求和可以用So=0带入脸算

8.“分期付款”、类应用问题：这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解

过程中，务必“卡手指”，细心计算''年限”.复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模

型：若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一

次还款日，如此下去，分〃期还清.如果每期利率为r(按复利)，那么每期等额还款x元应满足：

p(l+r)n=x(l+r)"T+x(l+r)*2++x(l+r)+x(等比数列问题)•

9.数列极限：常用的几个数列极限：limC=C(C为常数)；lim’=0,lim/=0(mi<l,q

>oo"->8

为常数).无穷递缩等比数列各项和公式S=limS“(0<|<7|<1).

“T81-q

10.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明(注意步骤，两步缺一不可，特别是

〃=Z,〃=Z+1之间的关系).

五.三角函数

1.a终边与。终边相同<=>a=e+2Avr(A:eZ);

。终边与。终边关于x轴对称oa=—e+Jbr(ZeZ);

a终边与。终边关于y轴对称oa=4一。+24万(％wZ);

a终边与。终边关于原点对称=。=4+夕+2左4(ZwZ)

a终边与。终边共线。。=8+版■(AcZ)；；

2.弧长公式：l=\0\r;扇形面积公式：s(AK=-lr=-\0\r；1弧度(Irad)257.3°.

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦，三切四余弦”.

4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx>sinx-cosx”的关系.如(sinx±cosx)?=l±2sinxcosx等.

5.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；(注意：公式中始终视a为锐角)

6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角

与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

如：a=（cz+尸）一4；2e=（a+尸）+（0-〃）；2a=（4+。）一（力一a）；a+0=2."0,,

2

^1£=9一，）一（±一£）等；“1”的变换：1=sin2x+cos2x=tanx-cotx=2sin30°=tan45°;

222

7.重要结论：asinx+bcosx=sin(x+cp)其中tan=-);

a

<.sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin£1-cos2a2_1+cos2a

重要公式：/、：sin2a=-------,WoCX----------

cos［a+/?)=cosacos〃一sinasin/?22

sina1-cos._____\Q§e

a_+1cosaa2

tan—x/l±sin6>=A/(cos-±sin-)=|cos-±sin-|.

2V1+cosa1+cosasinaY2222

2tana

万能公式：sin2a=2tan：；cos2a=--胃产tan2a-

1+tan~a14-tana1-tan2a

kre+----(p

8.正弦型曲线y=Asin(5+°)的对称轴x=------(^GZ),即取最值时；对称中心

co

(丝二2,0)(%eZ)即取零点时；

3

9.正弦定理：_L='_=二=2R;常用于边角互化

sinAsinBsinC

22222

余弦定理：a2=b2+c2-2/?ccosA,cosA=，｝""=(〃+()“一］;常用于知三求1

2bc2bc

正弦平方差公式：sin2A-sin2j?=sin(A+B)sin(A-B)；三角形的内切圆半径r=；

a+b+c

at)c

面积公式：SA=-abs>\nC=-;射影定理：a=bcosC+ccosB.

24R

10.A4BC中，易得：A+B+C=»,

①sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(B+C).

A.AB+CA.B+CA

②sin=cos,cos=sm,tan=cot

22222

③a>boA>8<=>sinA>sinN

④锐角/SABC中，A+B>^,sinA>cosB,cosA<cosB,a2+Z?2>c2,类比得钝角zXABC结

2

论.

⑤tanA+tanB+tanC=tanAtan4tanC.

11.角的范围：异面直线所成角(0,-］;直线与平面所成角［0二］;二面角和两向量的夹角［0,4］；

22

直线的倾斜角[0,乃）；4与。的夹角（（）,£].注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.

2

六.平面向量

1.向量的平行于垂直：设〃=（%,乂），/?=（%2，%）•（1）〃〃〃<=>玉％-工2）、=。。=几g：

（2）a.Lba•b=0x}x2+y]y2=0.

2.平面向量的数量积⑴设a=（X[,y）,Z?=（x2,y2），则a/=|a||/?|cos6=X]X2+必必；则

cos。=ab="入2+｝）2,特别地若a=（x,y）,则.a=|a|2

3.〈4,5〉为锐南=>〃•力>0：（a,b）为直角<=>〃•"=（）：（a,b）为钝角=a・b<0,注意方向

4数量积的几何意义是。功等于。的长度与〃在。的方向上的投影的乘积：

。在"的方向上的投影|a|cose=±2=笄,+M左.

|加也+£

4.平面向量分解定理：如果q和02是同一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任一

向量。，有且只有一对实数4、4,使〃+41.

5.三点A、B、C共线=04=405+（1-㈤OC.

6.会用定比分点公式.若[P=；IPR；4（芭,弘），尸（x,y）£“2，%）；一个等式两个方程

%+AX

X-------------2-

1+2

则j(2^-1)

y----------

1+A

七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角a的范围是。乃）；直线的倾斜角与斜率的变化关系k=tana（aH'）：

2

2.直线方程七种形式：

⑴一般式（答案的标准）：任何直线均可写成Ax+By+C=0（A,B不同时为0）的形式.

⑵点法式：直线法向量?=（a向，过点（x（）,），o）,则直线方程7（万-/）+6（），-%）=0

⑶点方向式：方向向量;;=3/）,过点（x°,y。）,则直线方程殳二电=9孑

ab

⑷两点式：已知直线经过2（々，必）两点，则直线方程为上』=土三，它不包括

力-乂々一玉

垂直于坐标轴的直线.

⑸点斜式：已知直线过点（/，为）斜率为k,则直线方程为y—%=Z（x—%）,它不包括垂直

于x轴的直线.

⑹斜截式：已知直线在y轴上的截距为。和斜率k,则直线方程为y="+人，它不包括垂直

于x轴的直线.

⑺截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为。力，则直线方程为x+y=],它不包括垂直于坐

ab

标轴的直线和过原点的直线.

提醒：直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式和斜截式不适用于斜率不存在的直线）

3.直线《：4x+Bj+G=0与直线4：4兀+32丁+。2=0的住置关系：（可以用矩阵）

（1）平行。4与-AS,=0（斜率）且4c2-小6Xo（在y轴上截距）；

⑵相交o4与一外线40；

⑶重合U>A^B-,—A,Bj=0且B]G—B,C]=0.

4.夹角公式：4与&的夹角是指不大于直角的南

2

向量表示&=2「恒0$匕*,13为法向量(或方向向量，斜率表示tan8=|：；：'|(左上'一11

卜用I+也

5.点P(x°,%)到直线Ar+胡+C=0的距离公式"=』。；8)'。—1:

-JA2+B2

两条平行线Ax+By+G=0与Ax+By+C,=0的距离是d=f一。」.

VA2+B2

6.设三角形AABC三顶点A(X|，x),B(x2,y2),C(£,%),则重心G(西十：十」，乂十,+%)；

*7.有关对称的一些结论

⑴点(〃乃)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是(〃,一。)，(一〃,加，(一々,一。)，(Z?M).

⑵曲线/(x,y)=O关于下列点和直线对称的曲线方程为：

①点(。乃)：f(2a-x,2b-y)=0;

②x轴：f(x9-y)=0;

③y轴：f(-x,y)=O;

④原点：f(-x9-y)=0;

⑤直线y=x：/(y,x)=0;

⑥直线y=-x:f(-y9-x)=0;

⑦直线x=a：f(2a-x,y)=0.

9.⑴圆的标准方程：。一4+⑶―》)2=/.

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+£>+F=0(D2+£2-4F>0).

IY—/J_|_「cos0

(3)圆的参数方程(理)：、(。为参数)，其中圆心为①力)，半径为八圆的参数方

[y=b+rs\n0

程主要应用是三角换元：x2+y2=r2—>x=rcos0,y=rsin0;

10.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点P(%,%)及圆的方程

222222

(x-a)+(y-b)=r.0(x0-a)+(%-b)>r<=>点—在圆外;

22

②(垢-。了+(y°—bpo点尸在圆内；③(垢>+(y0-h)=r<^>点尸在圆上.

11.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系.

①相离；②。=尸。相切；③dvro相交

利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题圆的弦长、圆心到弦的距离d以及圆的半径

r满足以下关系式：恒q=2"_

提醒：过圆外一点作圆的切线，一定有两条,如果只求出了一条，那么另一条就是斜率不存在.

12,圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距

为d,两圆的半径分别为r,R:+两圆相离；d=/?+尸。两圆相外切；

|R-r|<d</?+ro两圆相交；d=|两圆相内切；d<|R—厂|o两圆内含；d=0o

两圆同心.

13戋解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦

心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

八.圆锥曲线方程

22

1.椭圆方程:鼻+与=l(a>6>0),焦点耳(—c,0),K(c,O),c?=a-b,\PFt\+\PF2\=2a

ab

22

2.双曲线方程：二一二=l(a>0,6>0),焦点为耳(一c,0),g(c,O),|P居|_|PBI=±2。

a~b~

r22

渐近线方程为——4=o.渐近线几何意义：与双曲线不断接近但不相交

a2b2

共渐近线y=±"x的双曲线标准方程为「=2（4为参数，Z^O）.

aa

3.抛物线方程：；/=2〃氏（夕>0）上任意一点，焦点§,（））,准线x=.

对于y2=2px（p丰0）抛物线上的点的坐标可设为（£■,%）,以简化计算.

4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|阴=5（芭_々）2+5_%）2或|A耳=，1+严|与_电|

y=kx+b

（端点4>1，乂）,5（%2，%），由方程4.消去y得到

产（九,y）=0

px2+qx+r=0,（〃w0）,A>0,k为斜率）.

*5.抛物线V=2px（p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB,A（%],y）、刈/，为），则有如下

211

结论：（1）|AB\=x.+x2+p；（2）X,X2=^,yxy2=-p^（3）——+——=—.

4\AF\\BF\p

r22

6.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆j+2T=1

ab

中，以P（%,%）为中点的弦所在直线斜率忆=-1;在双曲线。—4=1中，以P（%,%）为

a%a~b~

中点的弦所在直线斜率2=—产；在抛物线丁=2px（p>0）中，以P（&,%）为中点的弦所在直

a'y0

线的斜率％=P.

%

7.求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成尸（x,y）=0,是求轨迹的最基本的方法.

⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，由条件确定其待定系数，代回所列的方程即

可.

⑶代入法（相关点法或转移法）.

⑷定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.

⑸交轨法（参数法）：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可

考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

九.直线、平面,简单几何体

1.平面的概念：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面（确定一个平面）

推论1:直线和线外一点，确定一个平面；推论2：经过两条相交直线，确定一个平面

推论3:经过两条平行直线，确定一个平面

2.（空间）两直线位置关系

（1）相交（2）平行——等角定理他们都能确定一个平面

（3）异面——不在同一平面内<=>不平行也不相交

异面直线所成角：经过空间任何一点，作两条异面直线的平行线，则两条平行直线所成的锐角，

求法：①通过平移一条直线构成三角形，常见于棱柱；②通过中位线找三角形，常见于棱锥

3.直线与平面的关系

（1）直线与平面平行：没有公共点；判定：面外一条直线与面内一条直线平行

性质：过直线作平面与平面相交，得到交线平行于已知直线（线面平行=>线线平行）

（2）直线与平面垂直：垂直于平面内任意一条直线

判定：直线垂直与平面内的两条相交直线

两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

性质：①线面垂直=>线线垂直②垂直于同一个平面的两条直线互相平行

（3）直线与平面的交角：平面内一条直线与他在平面内的射影所成的锐角。

求法：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，是产生线面角的关键

4.空间的距离⑴两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离

*（2）两条异面直线间的距离，两条平行直线之间的距离，平行直线与平行平面之间的距离

⑶平行平面之间的距离

5.二面角的求法：（1）定义法；（2）三垂线法；（3）垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式

5射=S制cos（9其中。为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

6.建立空间直角坐标系（理科必须掌握，文科建议掌握）

（1）目标：三条互相垂直的直线，XYZ轴满足右手法则；尽量将已知条件放在坐标轴上

（2）常用建坐标系的方法：长方体的长宽高；线面垂直（棱锥，棱柱），面面垂直（棱锥）

（3）点的计算：多利用立方体，找各个坐标轴的垂面，垂面与坐标轴的交点即坐标

7.用向量方法求异面直线所成的角（理科）：⑴求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直

线〃、力的方向向量，则两异面直线所成的角tz=arccos小心L.（2）求线面角：设/是斜线/的

l«l|Z>l

方向向量，〃是平面a的法向量，则斜线/与平面a所成的角a=arcsin".（3）求二面角

（法一）在a内aLl,在/3内bVI,其方向如图（略），则二面角a-7—4的平面角

a=arccos"”.⑷求点面距离：设〃是平面a的法向量，在a内取一点B,则4到a的距离

d=\AB\\cos。|=।W（即AB在〃方向上投影的绝对值）.

I«l

8.棱柱基本性质：

各个侧面是平行四边形，即侧棱平行且相等；两个底面及平行底面的截面是全等的多边形

直棱柱：侧棱与底面垂直；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱

9.正四面体（设棱长为a）的性质：

①全面积S=&2；②体积丫=卢/；⑤外接球半径/?="4；⑥内切球半径

12412

10.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为a,p,y因此有

cos2a+cos2p+cos2/=1或sin2c+sin?/?+sin2y=2；若长方体的体对角线与过同一

顶点的三侧面所成的甭分别为a/y,则有sin2a4-sin2/?+sin2/=1或

cos2a+cos2p+cos2/=2.

11.旋转体公式：⑴侧面积：S圆柱=2m〃；s圆锥=m7；S球=4成?

V=V

⑵像和愉1tt=♦/?»^0ttV球成,

12.(1)大圆：过球心的截面叫大圆；不经过球心的截面叫小圆

⑵球心到截面(小圆)的距离I与球的半径R及截面半径r满足r=J/??一42

(3)球面距离：经过两点的大圆上劣孤的长度。掌握球面上两点A、B间的距离求法：

计算线段AB的长=》计算球心角NAOB的弧度数=》用弧长公式计算劣弧的的长.

13.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长，立方体中心与球心重合；

+.排列组合和概率

1,加法原理——不重复

做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有㈣种方法，在第二类办法中有加2种

+m

方法，....在第n类办法中有“2“种方法，那么完成这件事情共有N=叫+机2+n

2.乘法原理——理清做事的顺序

做一件事情完成它需要分n个步豚，做第一步有町种方法，做第二步有机2种方法，……做第

n步有种方法，那么完成这件事情共有N=叫“〃2・./«„

3.排列数公式:以1=7"人=〃(〃-1)(〃—2)…(〃一加+1),0!=I,全排歹1」以=〃!,

{n-mf.

C，”_n!_/?(/?--2)--•(n-m+1)

4.组合数公式：”(/7-/71)!m!m!

(1)C：=C；=1；⑵C：=C；；-m；(3)C；；；,=C；+C：I

5,排列组合主要解题方法：

①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；

②捆绑法(相邻问题)；要考虑是否松绑

③插空法(不相邻问题)；考虑空挡是否变化

④间接法；对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉；

⑤相同元素分组可采用隔板法(适用与指标分配，每部分至少有一个)；

⑥先选后排，先分再排(注意等分分组问题)：

4.二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：第r+1项4+|=C：a"-7/(r=(),1,2,:

(2)注意第r+1项二项式系数与第r+1项系数的区别.

⑶二项式系数之和2",系数之和令变量为1

*5.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；(2)若“为偶数，中间一

项(第2+1项)的二项式系数最大；若〃为奇数，中间两项(第上1+1和t1+1项)的二项式系

222

数最大.⑶C：+C；+C：+…+C：=2";W+C；+…=C：+C：+…=2"，

+-.概率与统计

1.(理)等可能事件的概率公式：⑴尸(A)=’;⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：

m

P(A+3)=P(A)+P(8);⑶相互独立事件同时发生的概率公式为P(A8)=P(A)P(B);

(4)：(6)如果事件A、8相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生

的概率是1-尸(钻)=1-P(A)P(8);

2.常用统计量

⑴总体：研究对象全体一一样本，总体一部分2)总体分布：频率直甫

⑶总体均值：平均麴=(&+*2+...+打)，总体众数：出现次数够

(4)总体中位数：(排好顺序后)位于中间奇数个数据可对应到桐一个，

偶数个数据是中间两微据的平均数

⑸总体方差：b?=\[(%,-MF+卜-〃了+…+(赤]标准差CT,

3.(理)理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列，由概率的

性质可知，任意离散型随机变