沪科版九年级上期末数学试卷

九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1.sin60°=（）

A.AB.近C.F立D.如

232

2.抛物线y=3x?,y=-3x2,+3共有的性质是()

A.开口向上B.对称轴是y轴

C.都有最高点D.y随x值的增大而增大

3.在比例尺是1：8000的淮北市城区地图上，淮海路的长度约为25cm,它的实际长度约为（）

A.2000mB.2000cm,C.3200mD.3200cm

5.如图.，△ABC^ADEF,相似比为1：2.若BC=1,则EF的长是（）

D.4

6.某反比例函数的图象经过点（-1,6）,则此函数图象也经过点（）

A.(2,-3)B.(-3,-3)C.(2,3)D.(-4,6)

7.如果两个圆心角相等，那么O

A.这两个圆心角所对的弦相等

B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D.以上说法都不对

8.若ab>0,则一次函数y=ax+b与反比例函数丫=生在同一坐标系数中的大致图象是（）

9.如果三角形满足一个角是另一个角的4倍,那么我们称这个三角形为"实验三角形”,下列各组数据

中，能作为一个“实验三角形"三边长的一组是（）_

A.1,1,&B.1,1,73C.1,2,如D.1,2,3

10.如图，己知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE,作EF±AE

交NBCD的外角平分线于F,设BE=x,△ECF的面积为y,下列图象中，能表示y与x的函数关系的

图象大致是（）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

11.抛物线y=x?-2x+3的顶点坐标是.

12.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,对角线AC、BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则SAAOD：SABAC

的值为.

O

c

13.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a度，AC=7米，则树高BC为米（用含a的代数

式表示）.

14.如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=9的图象相交于C,

x

B两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,F,连接CF,DE,有下列四个结论

①ACEF与△DEF的面积相等；©△AOB^AFOE；（§）△DCE^ACDF；④AC=BD,其中正确结论

的序号是.

三、解答题（共9小题，满分90分）

15.J^2cos60°+（1）1-2015°.

16.已知抛物线y=x?+bx+c经过点（1,-4）和（-1,2）.求抛物线解析式.

17.用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点

为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S,它各边上格点的个数和为x.

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如

下表，请写出S与x之间的关系式；

答：S=.

多边形的序号①②③④…

多边形的面积S22.534...

各边上格点的个数和x4568...

(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点.此时所画的各个多边形的

面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S=；

(3)请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？

答：S=.

18.如图，在。0中，CD是直径，AB是弦，且CDJ_AB,已知AB=8,CM=2,求直径CD的长.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,3)、B(-3,I)、C

(*1.3).

(1)请按下列要求画图：

①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△AiBiCi，画出AAiBiG；

©△A2B2c2与4ABC关于原点0成中心对称，画出△A2B2C2.

(2)在(1)中所得的△A|B|Ci和△A2B2c2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标.

20.某商场为缓解我市"停车难"问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，

其中，AB±BD,ZBAD=18%C在BD上，BC=0.5m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限

高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应

该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果.(参考数据：

sin!8°=0.31,cosl8°=0.95,tan18°=0.325)

(结果精确到0.1m)

21.某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车

票的无人售票窗口.某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数.(张)与售

票时间x(小时)的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售

票时间x(小时)的函数关系满足图②中的图象.

图①图②

(1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物

线的表达式为，其中自变量x的取值范围是；

(2)若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至

少需要开放多少个普通售票窗口？

(3)上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图

象的后半段一次函数的表达式.

22.设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式avxvb的实数x的所有取值的全体叫做闭区

间，表示为［a,b］,对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当msxsn时，有mSySn,我们

就称此函数是闭区间［m,n］上的"闭函数”.

(1)反比例函数y=史底•是闭区间口，2015］上的"闭函数"吗？请判断并说明理由；

x

(2)若一次函数y=kx+b(k>0)是闭区间［m,n］上的"闭函数"，求此函数的解析式.

23.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充

完整.

原题：如图1,在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AEt：一点，BF的延长线交

射线CD于点G.若第3,求色的值.

EFCG

图1图2图3

(1)尝试探究

在图1中，过点E作EH/7AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，口

CG

的值是.

(2)类比延伸

如图2,在原题的条件下，若里m(m>0),则成的值是(用含有m的代数式表示)，试写出解答过程

EFCG

(3)拓展迁移

如图3,梯形ABCD中，DC〃AB,点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F.若里a,K=b,

CDBE

(a>0,b>0),则鲤的值是(用含a、b的代数式表示).

EF

安徽省淮北市2015届九年级上学期期末数学试卷

一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)

1.sin600=()

A.1B.近C.近D.V3

232

考点：特殊角的三角函数值.

分析：根据特殊角的三角函数值可得答案.

解答：解：sin60°=Y^.

2

故选C.

点评：本题考查特殊角的三角函数值，要求学生牢记并熟练运用.

2.抛物线y=3x?,y=-3x2,y=1？+3共有的性质是()

3

A.开口向上B.对称轴是y轴

C.都有最高点D.y随x值的增大而增大

考点：二次函数的性质.

分析：根据二次函数的性质分别分析解题即可.

解答：解：(1)y=3x?开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；

(2)y=-3x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；

(3)y=|x2+3开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为(0,3).

故选：B.

点评：此题主要考查了二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的性质，正确把握相关性质是解题关键.

3.在比例尺是1：8000的淮北市城区地图上，淮海路的长度约为25cm,它的实际长度约为()

A.2000mB.2000cmC.3200mD.3200cm

考点：比例线段.

分析：首先设它的实际长度是xcm,然后根据比例尺的定义，即可得方程：1：8000=25：X,解此方

程即可求得答案，注意统一单位.

解答：解：设它的实际长度为xcm,

根据题意得：1：8000=25：x,

解得：x=200000,

V200000cm=2000m,

.•.它的实际长度为2000m.

故选A.

点评：此题考查了比例线段.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注

意统一单位.

4.下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是()

考点：中心对称图形.

分析：根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解.

解答：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

点评：掌握好中心对称图形的概念是解题的关键.

【链接】如果一个图形绕某一点旋转180。后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个

点叫做对称中心.

5.如图，AABCsADEF,相似比为1：2.若BC=1,则EF的长是()

考点：相似三角形的性质.

分析：根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解.

解答：解：VAABC^ADEF,相似比为1：2,

•••B'C_'—1—,

EF2

；.EF=2BC=2.

故选：B.

点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比.

6.某反比例函数的图象经过点(-1,6),则此函数图象也经过点()

A.(2,-3)B.(-3,-3)C.(2,3)D.(-4,6)

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

分析：将(-1,6)代入y=X即可求出k的值，再根据k=xy解答即可.

x

解答：解：反比例函数的图象经过点(-1,6),则k=-lx6=-6,各选项中只有A中的纵横坐标的

积为-6.

故选A.

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，。只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析

式.反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上.

7.如果两个圆心角相等，那么()

A.这两个圆心角所对的弦相等

B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D.以上说法都不对

考点：圆心角、弧、弦的关系.

分析：根据圆心角定理进行判断即可.

解答：解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等.

故选D.

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有

一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

8.若ab>0,则一次函数y=ax+b与反比例函数丫=生在同一坐标系数中的大致.图象是()

x

考点：反比例函数的图象；一次函数的图象.

专题：压轴题.

分析：根据ab>0,可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可.

解答：解：A、根据一次函数可判断a>0,b>0,根据反比例函数可判断ab>0,故符合题意，本选

项正确；

B、根据一次函数可判断a<0,b<0,根据反比例函数可判断abVO,故不符合题意，本选项错误；

C、根据一次函数可判断a<0,b>0,根据反比例函数可判断ab>0,故不符合题意，本选项错误；

D、根据一次函数可判断a>0,b>0,根据反比例函数可判断ab<0,故不符合题意，本选项错误；

故选A.

点评：本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解

题.

9.如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为"实验三角形”，下列各组数据

中，能作为一个“实验三角形”三边长的一组是()_

A.1,1,72B.1,1,如C.1,2,如D.1,2,3

考点：解直角三角形.

专题：新定义.

分析：根据勾股定理的逆定理对A、C进行判断；利用等腰三角形的性质和锐角三角函数对B进行判

断；根据三角形三边的关系对D进行判断._

解答：解：A、若三边为1,1,由于『+12=(&)2,则此三边构成一个等腰直角三角形，所

以这个三角形不是"实验三角形"，所以A选项错误；

B、由1,1,行能构成，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为30。，顶角为120。,

所以这个三角形是"实验三角形"，所以B选项正确；

C、若三边为1,2,后由于俨+(遥)2=22,则此三边构成直角三角形，最小角为30。，所以这个三

角形不是",实验三角形"，所以C选项错误；

D、由1,2,3不能构成三角形，所以D选项错误.

故选B.

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

10.如图，己知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合)，连结AE,作EF1AE

交NBCD的外角平分线于F,设BE=x,AECF的面积为y,下列图象中，能表示y与x的函数关系的

图象大致是()

考点：动点问题的函数图象.

分析：过E作EH_LBC于H,求出EH=CH,求出△BAPsaHPE,得出里空，求出EH=x，代入

PHEH

y=1cPxEH求出解析式，根据解析式确定图象即可.

2

解答：解：过E作EH_LBC于H,

；四边形ABCD是正方形，

；.NDCH=90。，

：CE平分NDCH,

NECH」NDCH=45。，

2

VZH=90°,

，NECH=NCEH=45。，

；.EH=CH,

;四边形ABCD是正方形，AP1EP,

.*.NB=NH=NAPE=90°,

.".ZBAP+ZAPB=90°,ZAPB+ZEPH=90°,

；.NBAP=NEPH,

VZB=ZH=90°,

/.△BAP^AHPE,

•AB=BP,

-4_x

-4-x+EH而’

；.EH=x,

.\y=lxCPxEH

2

=A(4-x)»x

2

y=2cx-—1x2,

2

故选B.

点评：本题考查了动点问题的函数图象，正方形性质，角平分线定义，相似三角形的性质和判定的应

用，关键是能用x的代数式把CP和EH的值表示出来.

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

11.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1,2）.

考点：二次函数的性质.

专题：计算题.

分析：己知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶

点坐标.

解答：解：y=x2-2x+3=x2-2x+l-1+3=（x-1）~+2,

二抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1,2）.

故答案为：（1,2）.

点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h,

此题还考查了配方法求顶点式.

12.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,对角线AC、BD相交于点0,若AD=1,BC=3,则S&AOD：SABOC

的值为1：9.

考点：相似三角形的判定与性质；梯形.

s

分析：如图，证明AAODSACOB,列出比例式一（鲤）2,求出包即可解决问题.

^ABOCBCBC

解答：解：如图，：AD〃BC,

.•.△AOD^ACOB,

...”AOD二（AD）2,而AD=1,BC=3,

^ABOCBC

SAAOD：SABOC的值为1：9,

故答案为1：9.

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握相似三角

形的判定及其性质.

13.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a度，AC=7米，则树高BC为7tana米（用含a的

代数式表示）.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

专题：几何图形问题.

分析：根据题意可知BCJ_AC,在R2ABC中，AC=7米，ZBAC=a,利用三角函数即可求出BC的

高度.

解答：解：VBC±AC,AC=7米，ZBAC=a,

^=tana,

AC

，BC=AC・tana=7tana（米）.

故答案为：7tana.

点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解.

14.如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=W的图象相交于C,

x

B两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,F,连接CF,DE,有下列四个结论

①ACEF与△DEF的面积相等；AOB^AFOE；DCE^ACDF；④AC=BD,其中正确结论

的序号是①⑵⑶④.

考点：反比例函数综合题.

分析：①根据函数解析式，可得图象上的点的坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；

②根据等第三角形的高相等，可得EF〃CD,根据相似三角形的判定，可得答案；

③根据联立函数解析式，可得方程，根据解方程，可得C、D点的坐标，可得CE与DF的关系，根据

自变量与函数值的关系，可得A、B点的坐标，可得/ABO=/BAO=45。，根据平行线的性质，可得

NDCE=NFDA=45。，根据SAS,可得答案：

④根据平行四边的判定与性质，可得BD=EF,AC=BD,可得答案.

解答：解：①设D(x,§),则F(x,0),

x

由图象可知x>0,

.♦.△DEF的面积是：lx|J|x|x|=2,

2x

设C(a,则E(0,

aa

由图象可知：9<0,a>0,

a

△CEF的面积是：L|a|x四=2,

2a

.,.△CEF的面积=△DEF的面积，

故①正确；

②)&CEF和^DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，

故EF〃CD,

；.FE〃AB,

AAAOB^AFOE,

故②正确；

③；C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=§的图象的交点，

解得：x=-4x=l,

经检验：X=-4或1都是原分式方程的解，

AD（1,4）,C（-4,-1）,

；.DF=4,CE=4,

•.,一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A,B两点，

AA（-3,0）,B（0,3）,

.,.ZABO=ZBAO=45\

：DF〃BO,AOZ/CE,

.".ZBCE=ZBAO=45",ZFDA=ZOBA=45°,

，NDCE=NFDA=45。，

fDF=CE

在^DCE和^CDF中，ZFDC=ZECD>

DC=CD

/.△DCE^ACDF（SAS）,

故③正确：

④：BD〃EF,DF〃BE,

四边形BDFE是平行四边形，

BD=EF,

同理EF=AC,

；.AC=BD,

故④正确；

正确的有4个.

故选：C.

点评：本题考查了反比例函数综合题，①利用了自变量与函数值的关系，三角形的面积公式，②利

用了等底等高的三角形的面积相等，相似三角形的判定，③利用了函数与方程的关系，平行线的判定，

全等三角形的判定，④利用了平行四边形的判定与性质.

三、解答题（共9小题，满分90分）

15.后2cos60°+（A）1-2015°.

2

考点：实数的运算；零指数基；负整数指数幕；特殊角的三角函数值.

分析：原式第一项利用平方根代入化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负指数事

法则计算，最后一项利用零指数幕法则计算即可得到结果.

解答：解：原式=3+2x』+2-1=3+1+2-1=5.

2

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.已知抛物线y=x?+bx+c经过点（1,-4）和（-1,2）.求抛物线解析式.

考点：待定系数法求二次函数解析式.

专题：计算题.

分析：把点（1,-4）和（-1,2）分别代入二次函数y=x2+bx+c得到关于b与c的方程组，l+b+c=

-4,1-b+c=2,然后解方程组求出b、c即可.

解答：解：把点（1,-4）和（-1,2）分别代入y=x?+bx+c得，l+b+c=-4,1-b+c=2,

解方程组得，b=-3,c=-2,

•••抛物线解析式为y=x2-3x-2.

点评：本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(aHO),

然后把图象上三个点的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确

定二次函数的解析式.

17.用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点

为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S,它各边上格点的个数和为x.

(1)上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如

下表，请写出S与x之间的关系式；

答：S=-lx.

2一

多边形的序号①②③④

多边形的面积S22.534

各边上格点的个数和X4568

(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点.此时所画的各个多边形的

面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S=Z±1；

2

(3)请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？

答：S=—+(n-1).

2

考点：一次函数综合题.

专题：压轴题：规律型.

分析：(1)由(1)可以直接得到s=L；

2

(2)由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，①的各边上格点的个数为10,面积为6,②的各边

上格点的个数为4,面积为3,③的各边上格点的个数为6,面积为4,S=lx+1；

(3)由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=R+(n-1).

2

解答：解:

2

(2)S=.lx+1；

2

(3)S=2+n-1.

2

点评：此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律.寻找规律是一件比较困难的活动,

需要仔细观察和大量的验算.

18.如图，在。O中，CD是直径，AB是弦，且CDJ_AB,已知AB=8,CM=2,求直径CD的长.

考点：垂径定理；勾股定理.

分析：连接OA,先根据垂径定理求出AM的长，设。。的半径为r,则OM=r-CD=r-2,根据勾股

定理求出r的值，进而可得出结论.

解答：解：连接OA,

：CD是直径，AB是弦，且CD_LAB,AB=8,

/.AM=AAB=4.

2

设。O的半径为r,则0M=r-CD=r-2,

VOM2+AM2=OA2,

(r-2)2+42=T2,解得r=5,

.\CD=2r=10.

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4,3）、B（-3,I）、C

（-1,3）.

（1）请按下列要求画图：

①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到AAiBiCi，画出AAiBiG；

②△A2B2c2与△ABC关于原点0成中心对称，画出AA2B2c2.,

（2）在（1）中所得的△A|B|Ci和△A2B2c2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标.

考点：作图-旋转变换；作图-平移变换.

分析：（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A［、B］、Ci的位置，然后顺次连接即

可；

②根据网格结构找出A、B、C关于原点0的中心对称点A2、B2>C2的位置，然后顺次连接即可；

（2）连接BIB2,CiC2,交点就是对称中心M.

解答：解：（1）A|B|C］如图所不；

©△A2B2c2如图所示.；

（2）连接B1B2,C1C2,得到对称中心M的坐标为（2,1).

点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位

置是解题的关键.另外要求掌握对称中心的定义.

20.某商场为缓解我市"停车难"问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，

其中，AB±BD,ZBAD=18",C在BD上，BC=0.5m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限

高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应

该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果.（参考数据：

sinl8°=0.31,cosl80=0.95,tanl8°=0.325）

（结果精确到0.1m）

考点：解直角三角形的应用.

分析：先根据CE_LAE,判断出CE为高，再根据解直角三角形的知识解答.

解答：解：在4ABD中，ZABD=90",ZBAD=18°,BA=10m,

：tan/BAD®,

BA

:.BD=10xtanl8°,

ACD=BD-BC=1Oxtan18°-0,5=2.7(m).

在^ABD中，ZCDE=900-/BAD=72°,

VCE1ED,

.♦.sin/CDE3,

CD

ACE=sinZCDExCD=sin72°x2.7=2.6(m).

V2.6m<2.7m,且CE_LAE,

小亮说的对.

答：小亮说的对，CE为2.6m.

点评：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学

问题加以计算.

21.某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车

票的无人售票窗口.某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数十（张）与售

票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售

票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象.

(1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物

线的表达式为Y=60x2,其中自变量X的取值范围是OSX&：

2

(2)若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至

少需要开放多少个普通售票窗口？

(3)上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图

象的后半段一次函数的表达式.

考点：二次函数的应用；一次函数的应用.

分析：(1)设函数的解析式为y=ax2,然后把点(1,60)代入解析式求得a的值，即可得出抛物线

的表达式，根据图象可得自变量x的取值范围；

(2)设需要开放x个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450,列出不等式解不等式，求最小整数解

即可；

(3)先求出普通窗口的函数解析式，然后求出10点时售出的票数，和无人售票窗口当x=a时，y的值,

2

然后把运用待定系数法求解析式即可.

解答：解：(1)设函数的解析式为y=ax2,

把点(1,60)代入解析式得：a=60,

则函数解析式为：y=60x2(0<x<3)；

2

(2)设需要开放x个普通售票窗口，

由题意得，80x+60x5>1450,

解得：X214卫，

8

为整数且x取最小值，

x=15,

即至少需要开放15个普通售票窗口；

(3)设普通售票的函数解析式为y=kx,

把点(1,80)代入得：k=80,

则y=80x,

•.TO点是x=2,

.,.当x=2时，y=160,

即上午10点普通窗口售票为160张，

由(1)得，当x=岛九y二135,

2

・・・图②中的一次函数过点(,，135),(2,160),

设一次函数的解析式为：y=mx+n,

把点的坐标代入得：］余n=135,

［210+11=160

解得：了50,

ln=60

则一次函数的解析式为y=50x+60.

点评：本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解

析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决.

22.设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式avxvb的实数x的所有取值的全体叫做闭区

间，表示为［a,b］,对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mWxSn时，有mSySn,我们

就称此函数是闭区间［m,n］上的"闭函数".

(1)反比例函数y=■迎»是闭区间［1,2015］上的"闭函数”吗？请判断并说明理由；

x

(2)若一次函数y=kx+b(k>0)是闭区间［m,n］上的"闭函数"，求此函数的解析式.

考点：反比例函数的性质；一次函数的性质.

专题：新定义.

分析：(1)根据反比例函数丫=空至的单调区间进行判断；

X

(2)根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组［k/b=n,通过解该方程组即可求得系数k、b

(kn+b=m

的值.

解答：解：(1)反比例函数y=%5是闭区间［1,2015］上的"闭函数”.理由如下：

X

反比例函数y=里至在第一象限，y随x的增大而减小，

x

当x=l时，y=2015：

当x=2015时,y=l,

所以，当14X42015时，有他”2015,符合闭函数的定义，故

反比例函数y=型至是闭区间［1,2015］上的"闭函数"；

X

(2)・・%>0时，一次函数户kx+b(krO)的图象是y随x的增大而增大，

.(kin+b=n

1kn+b=m

解得［k=l.

lb=0

此函数的解析式是y=x.

点评：本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚"闭函数"的定义.解题时，也要注意“分

类讨论”数学思想的应用.

23.类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充

完整.

原题：如图1,在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交

射线CD于